2008年高考數(shù)學試卷（理）（全國卷Ⅰ）（解析卷）

第頁|共頁2008年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（全國卷Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）函數(shù)的定義域為（）A．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法．【分析】偶次開方的被開方數(shù)一定非負．x（x﹣1）≥0，x≥0，解關于x的不等式組，即為函數(shù)的定義域．【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．又因為x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函數(shù)的定義域為{x|x≥1}∪{0}故選：C．【點評】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現(xiàn)，通常注意偶次開方一定非負，分式中分母不能為0，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于0，指數(shù)和對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1．另外還要注意正切函數(shù)的定義域．2．（5分）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，其圖象可能是（）A． B． C． D． 【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結合．【分析】由已知中汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù)，我們可以根據實際分析函數(shù)值S（路程）與自變量t（時間）之間變化趨勢，分析四個答案即可得到結論．【解答】解：由汽車經過啟動后的加速行駛階段，路程隨時間上升的速度越來越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀；在汽車的勻速行駛階段，路程隨時間上升的速度保持不變故圖象的中間部分為平升的形狀；在汽車減速行駛之后停車階段，路程隨時間上升的速度越來越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀；分析四個答案中的圖象，只有A答案滿足要求，故選：A．【點評】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應的量增長速度越來越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應的量增長速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應的量增長速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應的量保持不變，即不增長也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應的量降低速度保持不變．3．（5分）在△ABC中，=，=．若點D滿足=2，則=（）A． B． C． D． 【考點】9B：向量加減混合運算．【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點，把整個過程寫下來，即為所求．本題也可以根據D點把BC分成一比二的兩部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故選：A．【點評】用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的4．（5分）設a∈R，且（a+i）2i為正實數(shù)，則a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】注意到a+bi（a，b∈R）為正實數(shù)的充要條件是a＞0，b=0【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故選D．【點評】本題的計算中，要注意到相應變量的范圍．5．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 【考點】83：等差數(shù)列的性質；85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題．【分析】本題考查的知識點是等差數(shù)列的性質，及等差數(shù)列前n項和，根據a2+a4=4，a3+a5=10我們構造關于基本量（首項及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項及公差），進而代入前n項和公式，即可求解．【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．故選：C．【點評】在求一個數(shù)列的通項公式或前n項和時，如果可以證明這個數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項（首項與公差或公比）進而根據等差或等比數(shù)列的通項公式，寫出該數(shù)列的通項公式，如果未知這個數(shù)列的類型，則可以判斷它是否與某個等差或等比數(shù)列有關，間接求其通項公式．6．（5分）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關于直線y=x對稱，則f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】11：計算題．【分析】由函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關于直線y=x對稱知這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)y=ln中反解出x，后再進行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改寫為：y=e2x﹣2∴答案為A．【點評】本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間的關系及反函數(shù)的求法．7．（5分）已知曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a的值為（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】53：導數(shù)的綜合應用．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲線y=在點（3，2）處的切線的斜率k=﹣，∵曲線y=在點（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，∴直線ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故選：D．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義的求法，考查導數(shù)的運算，解題時要認真審題，仔細解答，注意直線與直線垂直的性質的靈活運用．8．（5分）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位 C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位 【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】11：計算題．【分析】先根據誘導公式將函數(shù)化為正弦的形式，再根據左加右減的原則進行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象．故選：A．【點評】本題主要考查誘導公式和三角函數(shù)的平移．屬基礎題．9．（5分）設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1） 【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合．【專題】16：壓軸題．【分析】首先利用奇函數(shù)定義與得出x與f（x）異號，然后由奇函數(shù)定義求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后結合f（x）的單調性解出答案．【解答】解：由奇函數(shù)f（x）可知，即x與f（x）異號，而f（1）=0，則f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上也為增函數(shù)，當0＜x＜1時，f（x）＜f（1）=0，得＜0，滿足；當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不滿足，舍去；當﹣1＜x＜0時，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，滿足；當x＜﹣1時，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故選：D．【點評】本題綜合考查奇函數(shù)定義與它的單調性．10．（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點，則（）A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C． D． 【考點】J9：直線與圓的位置關系．【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結果．【解答】解：直線與圓有公共點，即直線與圓相切或相交得：d≤r，∴，故選：D．【點評】本題考查點到直線的距離公式，直線和圓的位置關系，是基礎題．11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結合；4R：轉化法；5G：空間角．【分析】法一：由題意可知三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設棱長為2，求出AB1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點A1到底面的距離A1D的長度，即知點B1到底面的距離B1E的長度，再求出AE的長度，在直角三角形AEB1中求AB1與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關系求出其正弦．【解答】解：（法一）因為三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，設為D，所以三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設棱長為2，則△AA1B1是頂角為120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值為==；（法二）由題意不妨令棱長為2，點B1到底面的距離是B1E，如圖，A1在底面ABC內的射影為△ABC的中心，設為D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如圖作A1S⊥AB于中點S，過B1作AB的垂線段，垂足為F，BF=1，B1F=A1S=，AF=3，在直角三角形B1AF中用勾股定理得：AB1=2，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故選：B．【點評】本題考查了幾何體的結構特征及線面角的定義，還有點面距與線面距的轉化，考查了轉化思想和空間想象能力．12．（5分）如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48 【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專題】16：壓軸題．【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果．【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法．共有A42+2A43+A44=84．故選：B．【點評】本題也可以這樣解：按A﹣B﹣C﹣D順序種花，可分A、C同色與不同色有4×3×（1×3+2×2）=84．二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為9．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；13：作圖題．【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將l0平移與可行域有公共點，直線y=2x﹣z在y軸上的截距最小時，z有最大值，求出此時直線y=2x﹣z經過的可行域內的點的坐標，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=2x，將l0平移至過點A處時，函數(shù)z=2x﹣y有最大值9．【點評】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想．14．（5分）已知拋物線y=ax2﹣1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的三個交點為頂點的三角形面積為2．【考點】K8：拋物線的性質．【專題】11：計算題．【分析】先根據拋物線y=ax2﹣1的焦點坐標為坐標原點，求得a，得到拋物線方程，進而可知與坐標軸的交點的坐標，進而可得答案．【解答】解：由拋物線y=ax2﹣1的焦點坐標為坐標原點得，，則與坐標軸的交點為（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0），則以這三點圍成的三角形的面積為故答案為2【點評】本題主要考查拋物線的應用．考查了學生綜合運用所學知識，解決實際問題的能力．15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B為焦點的橢圓經過點C，則該橢圓的離心率e=．【考點】K4：橢圓的性質．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】設AB=BC=1，，則，由此可知，從而求出該橢圓的離心率．【解答】解：設AB=BC=1，，則，∴，．答案：．【點評】本題考查橢圓的性質及應用，解題時要注意的正確計算．16．（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點，則EM，AN所成角的余弦值等于．【考點】LM：異面直線及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：設AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，則CH⊥AB，∠CHO為二面角C﹣AB﹣D的平面角，結合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，則，=故EM，AN所成角的余弦值故答案為：【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；HP：正弦定理．【分析】本題考查的知識點是正弦定理及兩角和與差的正切函數(shù)，（Ⅰ）由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中，進行轉化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，結合角A，B，C為△ABC的內角，我們易得tanA=4tanB＞0，則tan（A﹣B）可化為，再結合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，則；（Ⅱ）由得tanA=4tanB＞0當且僅當時，等號成立，故當時，tan（A﹣B）的最大值為．【點評】在解三角形時，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，使用時要注意一般是等式兩邊是關于三邊的齊次式．18．（12分）四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．（Ⅰ）證明：AD⊥CE；（Ⅱ）設CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C﹣AD﹣E的大?。究键c】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5F：空間位置關系與距離．【分析】（1）取BC中點F，證明CE⊥面ADF，通過證明線面垂直來達到證明線線垂直的目的．（2）在面AED內過點E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CE⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大?。窘獯稹拷猓海?）取BC中點F，連接DF交CE于點O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根據，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．（2）在面ACD內過C點作AD的垂線，垂足為G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H為垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH?平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD為直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，則，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大?。军c評】本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題．19．（12分）已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】3D：函數(shù)的單調性及單調區(qū)間；3E：函數(shù)單調性的性質與判斷．【專題】16：壓軸題．【分析】（1）求單調區(qū)間，先求導，令導函數(shù)大于等于0即可．（2）已知f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，即f′（x）≤0在區(qū)間（0，）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．【解答】解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′（x）＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是．（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，∵f（x）在上為減函數(shù)，∴x∈時﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．設，則∵x∈時，＞4，∴g′（x）＜0，∴g（x）在上遞減，∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．【點評】本題考查函數(shù)單調性的判斷和已知函數(shù)單調性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導數(shù)解決，綜合性較強．20．（12分）已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物．血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗．若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗．（Ⅰ）求依方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，求ξ的期望．【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）由題意得到這兩種方案的化驗次數(shù)，算出在各個次數(shù)下的概率，寫出化驗次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗次數(shù)不少于依方案乙所需化驗次數(shù)的概率．（2）根據上一問乙的化驗次數(shù)的分布列，利用期望計算公式得到結果．【解答】解：（Ⅰ）若乙驗兩次時，有兩種可能：①先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為：②先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性（無論第二次試驗中有沒有，均可以在第二次結束），∴乙只用兩次的概率為．若乙驗三次時，只有一種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗次數(shù)，∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．【點評】期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數(shù)，學習期望將為今后學習概率統(tǒng)計知識做鋪墊．同時，它在市場預測，經濟統(tǒng)計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數(shù)學及相關學科產生深遠的影響．21．（12分）雙曲線的中心為原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點．已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．【考點】KB：雙曲線的標準方程；KC：雙曲線的性質．【專題】11：計算題；16：壓軸題．【分析】（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將AB方程代入，運用根與系數(shù)的關系及弦長公式，求出待定系數(shù)，即可求出雙曲線方程．【解答】解：（1）設雙曲線方程為，由，同向，∴漸近線的傾斜角范圍為（0，），∴漸近線斜率為：，∴．∵||、||、||成等差數(shù)列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）?2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=，而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．（2）由第（1）知，a=2b，可設雙曲線方程為﹣=1，∴c=b．由于AB的傾斜角為+∠AOB，故AB的斜率為tan（+∠AOB）=﹣cot（∠AOB）=﹣2，∴AB的直線方程為y=﹣2（x﹣b），代入雙曲線方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1?x2=，∴4=?=?，即16=﹣112b2，∴b2=9，所求雙曲線方程為：﹣=1．【點評】做到邊做邊看，從而發(fā)現(xiàn)題中的巧妙，如據，聯(lián)想到對應的是2漸近線的夾角的正切值，屬于中檔題．22．（12分）設函數(shù)f（x）=x﹣xlnx．數(shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）設b∈（a1，1），整數(shù)．證