2008年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（湖南）（解析卷）

第頁|共頁2008高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及全解全析一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)等于()A.8 B.－8 C.8i D.－8i2．“成立”是“成立”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件 3.已知變量x、y滿足條件則的最大值是()A.2 B.5 C.6 D.8 4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則c=()A.1 B.2 C.3 D.4 5.設(shè)有直線m、n和平面、,下列四個(gè)命題中，正確的是()A.若m∥,n∥,則m∥nB.若m,n,m∥,n∥,則∥C.若，m,則mD.若，m，m,則m∥ 6.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 7.設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則與()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 8.若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 9.長方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A.2 B. C. D.10.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)（如［2］=2,［］=1）,對于給定的nN*,定義x,則當(dāng)x時(shí)，函數(shù)的值域是()A. B.C. D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在對應(yīng)題號(hào)后的橫線上。11..12.已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=過頂點(diǎn)A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于.13.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn).14.已知函數(shù)（1）若a＞0,則的定義域是;(2)若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15.對有n(n≥4)個(gè)元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體和(m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從每個(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則=;所有(1≤i＜j≤的和等于.三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率;（Ⅱ）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.17.（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.18.（本小題滿分12分）數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)19.（本小題滿分13分）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.20.（本小題滿分13分）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.（I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(II)試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）.求a的最大值.一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)等于()A.8 B.－8 C.8i D.－8i【答案】D【解析】由,易知D正確.2．“成立”是“成立”的()A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件 【答案】B【解析】由得，由得，所以易知選B.3.已知變量x、y滿足條件則的最大值是()A.2 B.5 C.6 D.8 【答案】C【解析】如圖得可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為代入驗(yàn)證知在點(diǎn)時(shí),最大值是故選C.4.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則c=()A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解析】解得=2,所以選B.5.設(shè)有直線m、n和平面、,下列四個(gè)命題中，正確的是()A.若m∥,n∥,則m∥nB.若m,n,m∥,n∥,則∥C.若，m,則mD.若，m，m,則m∥ 【答案】D【解析】由立幾知識(shí),易知D正確.6.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 【答案】C【解析】由,故選C.7.設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則與()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【答案】A【解析】由定比分點(diǎn)的向量式得:以上三式相加得所以選A.8.若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 【答案】B【解析】或(舍去),故選B.9.長方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)則故選C.10.設(shè)［x］表示不超過x的最大整數(shù)（如［2］=2,［］=1）,對于給定的nN*,定義x,則當(dāng)x時(shí)，函數(shù)的值域是()A. B.C. D. 【答案】D【解析】當(dāng)x時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以;當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是.選D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。把答案填在對應(yīng)題號(hào)后的橫線上。11..【答案】【解析】12.已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=過頂點(diǎn)A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于.【答案】【解析】13.設(shè)函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2),則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn).【答案】(-1,2)【解析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,2)得:即函數(shù)過點(diǎn)則其反函數(shù)過點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)14.已知函數(shù)（1）若a＞0,則的定義域是;(2)若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】,【解析】（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由得,所以的定義域是;(2)當(dāng)a＞1時(shí)，由題意知;當(dāng)0<a<1時(shí)，為增函數(shù),不合;當(dāng)a<0時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù).故填.15.對有n(n≥4)個(gè)元素的總體進(jìn)行抽樣，先將總體分成兩個(gè)子總體和(m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2),再從每個(gè)子總體中各隨機(jī)抽取2個(gè)元素組成樣本.用表示元素i和j同時(shí)出現(xiàn)在樣本中的概率，則=;所有(1≤i＜j≤的和等于.【答案】,6【解析】第二空可分:①當(dāng)時(shí),;②當(dāng)時(shí),;③當(dāng)時(shí),;所以也可用特殊值法或i和j同時(shí)出現(xiàn)6次.三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響.求：（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率;（Ⅱ）簽約人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格.由題意知A，B，C相互獨(dú)立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.（Ⅰ）至少有1人面試合格的概率是（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3.＝＝==所以，的分布列是0123P的期望17.（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.解:解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延長AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二:如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因?yàn)?，平面PAB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而BE⊥平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是18.（本小題滿分12分）數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)解:(Ⅰ)因?yàn)樗砸话愕?，?dāng)時(shí)，＝，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.證法一(1)當(dāng)n=6時(shí)，成立.(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，.即當(dāng)n≥6時(shí)，證法二令，則所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，于是當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，19.（本小題滿分13分）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由.解:（I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（II）解法一如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法二:如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.20.（本小題滿分13分）若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0）存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2.（I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(II)試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由.解:（I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1,y22=4x2,兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因?yàn)閤1x2,所以y1+y20.設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm,ym）,則k=.從而AB的垂直平分線l的方程為又點(diǎn)P（x0,0）在直