2003年福建高考文科數(shù)學(xué)真題及答案

第頁|共頁2003年福建高考文科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）直線y＝2x關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（）A．y=?12x B．y=12x C．y2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=4A．724 B．?724 C．243．（5分）拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為（）A．18 B．?18 C．8 4．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則A．48 B．49 C．50 D．515．（5分）雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2＝120°，則雙曲線的離心率為（）A．3 B．62 C．63 6．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=2?x?1xA．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（5分）已知f（x5）＝lgx，則f（2）＝（）A．lg2 B．lg32 C．lg132 8．（5分）函數(shù)y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝（）A．0 B．π4 C．π2 9．（5分）已知點(diǎn)（a，2）（a＞0）到直線l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（）A．2 B．2?2 C．2?10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為34A．2πR2 B．94πR2 C．11．（5分）已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（）A．13 B．25 C．112．（5分）棱長都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A．3π B．4π C．33π D．6二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）不等式4x?x214．（4分）在(x?12x)915．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A﹣BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則．”16．（4分）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種．（以數(shù)字作答）三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離．18．（12分）已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項(xiàng)．求|z|．19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）證明an20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；（2）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km22．（14分）已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且BEBC=CFCD=DGDA，P

2003年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）直線y＝2x關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（）A．y=?12x B．y=12x C．y＝﹣【解答】解：∵直線y＝f（x）關(guān)于x對(duì)稱的直線方程為y＝﹣f（x），∴直線y＝2x關(guān)于x對(duì)稱的直線方程為：y＝﹣2x．故選：C．2．（5分）已知x∈（?π2，0），cosx=4A．724 B．?724 C．24【解答】解：∵cosx=45，x∈（∴sinx=?35．∴tan∴tan2x=2tanx故選：D．3．（5分）拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為（）A．18 B．?18 C．8 【解答】解：拋物線y＝ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=1a則其準(zhǔn)線方程為y=?所以a=?故選：B．4．（5分）等差數(shù)列{an}中，已知a1=13，a2+a5＝4，an＝33，則A．48 B．49 C．50 D．51【解答】解：設(shè){an}的公差為d，∵a1=13，a2∴13+d+13+4d解得d=2∴an=13+23（令an＝33，即23解得n＝50．故選：C．5．（5分）雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，∠F1MF2＝120°，則雙曲線的離心率為（）A．3 B．62 C．63 【解答】解：根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知∠OMF2＝60°，∴tan∠OMF2=OF2OM=∴a=c2∴e=c故選：B．6．（5分）設(shè)函數(shù)f(x)=2?x?1x≤0x12A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：當(dāng)x0≤0時(shí)，2?x0?1＞當(dāng)x0＞0時(shí)，x012＞故x0的取值范圍是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故選：D．7．（5分）已知f（x5）＝lgx，則f（2）＝（）A．lg2 B．lg32 C．lg132 【解答】解：令x5＝2，∴得x=2∵f（x5）＝lgx，∴f（2）＝lg215故選：D．8．（5分）函數(shù)y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝（）A．0 B．π4 C．π2 【解答】解：當(dāng)φ＝0時(shí)，y＝sin（x+φ）＝sinx為奇函數(shù)不滿足題意，排除A；當(dāng)φ=π4時(shí)，y＝sin（x+φ）＝sin（x+π當(dāng)φ=π2時(shí)，y＝sin（x+φ）＝cos當(dāng)φ＝π時(shí)，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，為奇函數(shù)，故選：C．9．（5分）已知點(diǎn)（a，2）（a＞0）到直線l：x﹣y+3＝0的距離為1，則a＝（）A．2 B．2?2 C．2?【解答】解：由點(diǎn)到直線的距離公式得：1=|a∵a＞0，∴a=2故選：C．10．（5分）已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為34A．2πR2 B．94πR2 C．【解答】解：設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為h，則3R4R=所以圓柱的全面積為：s＝2×(故選：B．11．（5分）已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4與P0重合，則tgθ＝（）A．13 B．25 C．1【解答】解：由于若P4與P0重合，故P2、P3也都是所在邊的中點(diǎn)，因?yàn)锳BCD是長方形，根據(jù)對(duì)稱性可知P0P1的斜率是12則tgθ=1故選：C．12．（5分）棱長都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A．3π B．4π C．33π D．6【解答】解：借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論：（1）一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體；（2）若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方體的體對(duì)角線就是球的直徑．則球的半徑R=3∴球的表面積為3π，故選：A．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）不等式4x?x2【解答】解：∵x＞4x∴x＞0，∵不等式4x?4x﹣x2＜x2，∴2x2﹣4x＞0，解得，x＞2，x＜0（舍去），∵4x﹣x2≥0，∴0≤x≤4，∴綜上得：不等式的解集為：（2，4]，故答案為（2，4]．14．（4分）在(x?12x)9的展開式中，x【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于(x有Tr+1＝C99﹣r?x9﹣r?（?12x）r＝（?12）r?C99﹣r?x9令9﹣2r＝3，可得r＝3，當(dāng)r＝3時(shí)，有T4=?212故答案?2115．（4分）在平面幾何里，有勾股定理“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2＝BC2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出正確的結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A﹣BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．”【解答】解：建立從平面圖形到空間圖形的類比，于是作出猜想：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．故答案為：S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2＝S△BCD2．16．（4分）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有72種．（以數(shù)字作答）【解答】解：由題意，選用3種顏色時(shí)：涂色方法C43?A33＝24種4色全用時(shí)涂色方法：C21?A44＝48種所以不同的著色方法共有72種．故答案為：72三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB＝1，AA1＝2，點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD1中點(diǎn)．（1）證明EF為BD1與CC1的公垂線；（2）求點(diǎn)D1到面BDE的距離．【解答】解：（1）取BD中點(diǎn)M．連接MC，F(xiàn)M．∵F為BD1中點(diǎn)，∴FM∥D1D且FM=12D1又EC12CC1且EC⊥MC∴四邊形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1?面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF為BD1與CC1的公垂線．（Ⅱ）解：連接ED1，有VE﹣DBD1＝VD1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，設(shè)點(diǎn)D1到面BDE的距離為d．則S△DBE∵AA1＝2，AB＝1．∴BD=BE=ED=2，EF=∴S△DBD∴d=故點(diǎn)D1到平面DBE的距離為2318．（12分）已知復(fù)數(shù)z的輻角為60°，且|z﹣1|是|z|和|z﹣2|的等比中項(xiàng)．求|z|．【解答】解：設(shè)z＝（rcos60°+rsin60°i），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為r2．由題設(shè)|z﹣1|2＝|z|?|z﹣2|，即：（z﹣1）（z?1）＝|z|∴r2﹣r+1＝rr2整理得r2+2r﹣1＝0．解得r=2r=?即|z|=219．（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝3n﹣1+an﹣1（n≥2）．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）證明an【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，∴a2＝3+1＝4，∴a3＝32+4＝13；（Ⅱ）證明：由已知an﹣an﹣1＝3n﹣1，n≥2故an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=3n?1當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式．所以an20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝2sinx（sinx+cosx）．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；（2）在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?【解答】解：（1）f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝1﹣cos2x+sin2x=1+2=1+2所以函數(shù)的最小正周期為π，最大值為1+2（2）由（1）列表得：x??ππ83π85π8y11?11+1故函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[?21．（12分）在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南θ(cosθ=210)方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km【解答】解：如圖建立坐標(biāo)系：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向．在時(shí)刻：t（h）臺(tái)風(fēng)中心P（x，y）的坐標(biāo)為x=300×2令（x′，y′）是臺(tái)風(fēng)邊緣線上一點(diǎn)，則此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）＝10t+60，若在t時(shí)，該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即(300×2即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)侵襲．22．（14分）已知常數(shù)a＞0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且BEBC=CFCD=DGDA，P【解答】解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到定點(diǎn)距離的和為定值．按題意有A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4a），D（﹣2，4a）設(shè)BEBC=CF