2025屆廣東省普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2.若雙曲線滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即.故選：C.3.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，即，因?yàn)?故選：A4.已知四棱錐的體積為4，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】四棱錐的體積，得，直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.5.設(shè)，，分別為函數(shù)，，零點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為().A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以；若，則，所以時(shí)，，即；若，則，所以時(shí)，，即.綜上所述，，故選：D.6.已知向量，，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以四邊形為直角梯?，，，則面積，故選：B.7.已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為().A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.8.一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件，事件，若事件滿足，，則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】樣本空間，這是一個(gè)古典概型，可得，，即，，從而且.由可得事件；又因?yàn)?，所?或2.(1)若，則，即，，此時(shí)不滿足；(2)若，則，且，又因?yàn)?，所以或，即?；①若，，此時(shí)或或或，也就是從事件中的四個(gè)樣本點(diǎn)中選3個(gè)，再加入6這一個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；②若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；③若，，此時(shí)或或或，即從事件的四個(gè)樣本點(diǎn)中選1個(gè)，再加入5，6，7這三個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；④若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；綜上所述，滿足條件的事件共計(jì)個(gè).故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.可以是B.若為純虛數(shù)，則的虛部是2C.D.【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；若為純虛數(shù)，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；易知，選項(xiàng)C正確；由可知，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.B.C當(dāng)時(shí)，取得最小值D.記，則數(shù)列前項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】設(shè)公差為，因?yàn)椋瑒t，解得.由得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則，選項(xiàng)B正確，二次函數(shù)性質(zhì)知道時(shí)，最小，選項(xiàng)C正確；，所以為等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得則；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（a）；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）（2）當(dāng)時(shí)，易知①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，如圖（b）；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（c）；（3）當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；如圖（d）綜上所述，在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，不一定成立，比如時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；只有時(shí)，的圖象與軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)解得，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.12.在中，，，，則________.【答案】【解析】由正弦定理，得，解得，又，所以，即.故答案為：13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】3【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，因?yàn)榈膱D象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的最小值為.故答案為：.14.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，則________；若沒有經(jīng)過點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_________.【答案】；【解析】設(shè)，易知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，離心率；設(shè)與圓相切于點(diǎn)，若垂直于軸，此時(shí)與重合，則有，所以，得，此時(shí)直線，將代入得，所以.若沒有經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1由橢圓性質(zhì)和題意可知，，所以，.由橢圓方程得，代入上式有.，則，同理，所以的周長(zhǎng).故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié)，吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況，有關(guān)部門隨機(jī)抽取了200位游客，對(duì)其出行方式進(jìn)行了問卷調(diào)查（每位游客只填寫一種出行方式），具體情況如下：出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計(jì)概率，低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行：（1）若從參加活動(dòng)的所有游客中隨機(jī)抽取3人，這3人中低碳出行的人數(shù)記為，求和；（2）據(jù)另一項(xiàng)調(diào)查顯示，80%的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，60%的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，求今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)的概率.解：（1）記“低碳出行”為事件，估計(jì).則，，；（2）由（1）知，則有，記“今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)”為事件，由題意，，所以.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：.解：（1），，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解法1：定義域?yàn)?①當(dāng)時(shí)，，，則，即；②當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，由于均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，，，即，所以在上單調(diào)遞增，，則，綜上所述，.解法2：定義域?yàn)?要證，只需證，只需證，令，，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，綜上所述，，也就是，即17.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得取由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.18.在數(shù)列中，，都有，，成等差數(shù)列，且公差為.（1）求，，，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在，使得，，，成等比數(shù)列.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意，，，成等差數(shù)列，公差為2；，，成等差數(shù)列，公差為4.則，，，.（2）由題意，.當(dāng)，時(shí)，，且滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以（3）存在時(shí)，使得，，，成等比數(shù)列證明如下：由（2）可得，，，假設(shè)，，成等比數(shù)列，則，化簡(jiǎn)得，所以，即，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，，，成等比數(shù)列.19.已知集合，，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)和時(shí)，分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)？說明理由；（2）已知，求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率；（3）寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件，并說明理由.解：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是常數(shù)函數(shù).（2）設(shè)，不妨令..若函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，則則，得，所以，得或，，所以或，，同理或，，或，，則①集合共有13個(gè)元素，從中任取3個(gè)元素組成集合，共個(gè)，而滿足①的集合有，，，，，共5個(gè)，則使得函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率為.（3）不妨令，因?yàn)?，若函?shù)是常數(shù)函數(shù)，則得，所以，得，，所以，，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可以拆分成組兩項(xiàng)（，）的和，每一組為定值時(shí)，也為定值，所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可以拆分成1組三項(xiàng)的和與組兩項(xiàng)（，）的和，每一組為定值時(shí)，也為定值，所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是.綜上所述，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是.廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹?，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2.若雙曲線滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即.故選：C.3.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，即，因?yàn)?故選：A4.已知四棱錐的體積為4，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】四棱錐的體積，得，直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.5.設(shè)，，分別為函數(shù)，，零點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為().A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以；若，則，所以時(shí)，，即；若，則，所以時(shí)，，即.綜上所述，，故選：D.6.已知向量，，，則四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以四邊形為直角梯?，，，則面積，故選：B.7.已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為().A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，解得，則的最大值為.故選：B.8.一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件，事件，若事件滿足，，則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.8 C.16 D.24【答案】C【解析】樣本空間，這是一個(gè)古典概型，可得，，即，，從而且.由可得事件；又因?yàn)椋?或2.(1)若，則，即，，此時(shí)不滿足；(2)若，則，且，又因?yàn)?，所以或，即?；①若，，此時(shí)或或或，也就是從事件中的四個(gè)樣本點(diǎn)中選3個(gè)，再加入6這一個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；②若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；③若，，此時(shí)或或或，即從事件的四個(gè)樣本點(diǎn)中選1個(gè)，再加入5，6，7這三個(gè)樣本點(diǎn)，即有個(gè)滿足條件的事件；④若，，同理有個(gè)滿足條件的事件；綜上所述，滿足條件的事件共計(jì)個(gè).故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.可以是B.若為純虛數(shù)，則的虛部是2C.D.【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；若為純虛數(shù)，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；易知，選項(xiàng)C正確；由可知，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，可得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（）A.B.C當(dāng)時(shí)，取得最小值D.記，則數(shù)列前項(xiàng)和為【答案】BCD【解析】設(shè)公差為，因?yàn)?，則，解得.由得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則，選項(xiàng)B正確，二次函數(shù)性質(zhì)知道時(shí)，最小，選項(xiàng)C正確；，所以為等差數(shù)列，，前項(xiàng)和為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，在上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得則；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（a）；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A正確；圖（a）圖（b）圖（c）圖（d）（2）當(dāng)時(shí)，易知①當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，如圖（b）；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，如圖（c）；（3）當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；如圖（d）綜上所述，在上單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，不一定成立，比如時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；只有時(shí)，的圖象與軸可能有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)解得，選項(xiàng)D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.12.在中，，，，則________.【答案】【解析】由正弦定理，得，解得，又，所以，即.故答案為：13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】3【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，因?yàn)榈膱D象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的最小值為.故答案為：.14.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，則________；若沒有經(jīng)過點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_________.【答案】；【解析】設(shè)，易知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，離心率；設(shè)與圓相切于點(diǎn)，若垂直于軸，此時(shí)與重合，則有，所以，得，此時(shí)直線，將代入得，所以.若沒有經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1由橢圓性質(zhì)和題意可知，，所以，.由橢圓方程得，代入上式有.，則，同理，所以的周長(zhǎng).故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié)，吸引大批游客前來觀賞.為了解交通狀況，有關(guān)部門隨機(jī)抽取了200位游客，對(duì)其出行方式進(jìn)行了問卷調(diào)查（每位游客只填寫一種出行方式），具體情況如下：出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計(jì)概率，低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行：（1）若從參加活動(dòng)的所有游客中隨機(jī)抽取3人，這3人中低碳出行的人數(shù)記為，求和；（2）據(jù)另一項(xiàng)調(diào)查顯示，80%的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，60%的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng)，求今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)的概率.解：（1）記“低碳出行”為事件，估計(jì).則，，；（2）由（1）知，則有，記“今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)”為事件，由題意，，所以.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：.解：（1），，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解法1：定義域?yàn)?①當(dāng)時(shí)，，，則，即；②當(dāng)時(shí)，.設(shè)，，由于均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，，所以，所以在上單調(diào)遞增，，，即，所以在上單調(diào)遞增，，則，綜上所述，.解法2：定義域?yàn)?要證，只需證，只需證，令，，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，，綜上所述，，也就是，即17.如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2菱形，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證；平面；（2）若，，，求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，.點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系