2024屆河北省衡水市棗強縣名校協(xié)作高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省衡水市棗強縣名校協(xié)作2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題得，所以在復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點在第四象限.故選：D.2.已知集合滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合是集合的子集，即，即.故選：C.3.已知直線與圓有公共點，則b的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，圓心到直線的距離，解得，故的取值范圍是.故選：A4.已知函數(shù)滿足，則實數(shù)m的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】函數(shù)，，所以.故選：B5.在正方體的8個頂點中任取4個點，能構(gòu)成正三棱錐的個數(shù)為（）A.16個 B.12個 C.10個 D.8個【答案】C【解析】如圖，以為頂點，可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有8個；可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有2個；其余情況均不合題意，所以符合條件的正三棱錐的個數(shù)為.故選：C.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A.3 B.0 C. D.2【答案】A【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，結(jié)合的任意性可得，可得，則，即，若，則，令，解得或，可知的定義域為，關(guān)于原點對稱，符合題意；若，則，可知的定義域為，不關(guān)于原點對稱，不符合題意；綜上所述：.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象與直線有3個交點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直線恒過定點，且的周期為，也過；畫出函數(shù)的圖象如下圖實線部分所示：若兩函數(shù)圖象有3個交點可知，直線的斜率；若直線與相切，可得，易知，則，結(jié)合圖象可知時滿足題意.故選：D8.已知雙曲線：的左、右焦點為，，，P為雙曲線右支上一點，，的內(nèi)切圓圓心為M，與的面積的差為1，則雙曲線的離心率（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因為，即，可得，又因為，可知，，可得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由題意可得：，即，由的面積可知：，即，整理得，即，解得，即，所以雙曲線離心率.故選：A.二、選擇題9.如圖，正三棱柱的各條棱長都為2，M，N分別是AB，的中點，則（）A. B. C. D.平面【答案】CD【解析】取的中點，連接，由題意可知：，因為平面，且平面，可得，則，即兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，對于選項A：因為，即不相互垂直，故A錯誤；對于選項B：因為，即不相互平行，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：因為，所以平面，故D正確；故選：CD.10.已知m，n都是正整數(shù)，且，下列有關(guān)組合數(shù)的計算，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，，所以，即A正確；對于B，當(dāng)、時，左邊，右邊，等式不成立，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，等式左邊的系數(shù)為：，等式右邊的系數(shù)為：，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為R，則以下選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為奇函數(shù)，則D.若，且，則為奇函數(shù)【答案】AC【解析】已知函數(shù)的定義域為R，對于選項A：若，則，故A正確；對于選項B：例如，滿足，但，不滿足，故B錯誤；對于選項C：若，且為奇函數(shù)，則，可得，故C正確；對于選項D：例如，滿足，且，但，不滿足，即不為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：AC.12.數(shù)列的通項公式為，下列命題正確的為（）A.先遞增后遞減 B.為遞增數(shù)列C.， D.，【答案】BD【解析】對A、B：，，，由、、，故，即數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確、A錯誤；對C、D，假設(shè)，，即需要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，故在上單調(diào)遞減，故，故對，有，故，，故D正確，C錯誤.故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若與共線，則實數(shù)______．【答案】【解析】因為與共線，所以，解得.故答案為：.14.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的直角扇形，則此圓錐的表面積為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，解得，所以，該圓錐的表面積為.故答案為：15.已知拋物線，圓，過點M的直線l與E交于A，B兩點，與圓M交于C，D兩點（A，C都在x軸上方），若，則直線l的斜率為______．【答案】【解析】如圖，由題意可知，直線的斜率，，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，，因為，所以，由拋物線定義可得，，即，所以，整理得，解得或（舍去），所以.故答案為：16.已知函數(shù)，A，B是直線與曲線的兩個交點，若的最小值為，，，則______．【答案】【解析】因為A，B是直線與曲線的兩個交點，設(shè)則有兩個根，即，又因為=，所以，，所以，，又因為，所以，所以.故答案為：.四、解答題17.在中，角的對邊分別為，（1）求；（2）設(shè)邊的中線，且，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，又因，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，因為，所以，則，所以，則，所以，故，解得或（舍去），所以的面積．18.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來測量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是．中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)如下表所示：BMI＜18.5≥28體重情況過輕正常超重肥胖為了解某單位職工的身體情況，研究人員從單位職工體檢數(shù)據(jù)中，采用分層隨機抽樣方法抽取了90名男職工、50名女職工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的BMI值，并進行分類統(tǒng)計，如右表所示：性別BMI合計過輕正常超重肥胖男106011990女15255550合計25851614140（1）參照附表，對小概率值a逐一進行獨立性檢驗，依據(jù)檢驗，指出能認(rèn)為職工體重是否正常與性別有關(guān)聯(lián)的a的一個值；（2）在該單位隨機抽取一位職工的BMI值，發(fā)現(xiàn)其BMI值不低于28．由上表可知男女職工的肥胖率都為0.1，視頻率為概率，能否認(rèn)為該職工的性別是男還是女的可能性相同？若認(rèn)為相同則說明理由，若認(rèn)為不相同，則需要比較可能性的大?。產(chǎn)0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：解：（1）由表可得到與體重是否正常與性別之間的列聯(lián)表：正常不正常合計男603090女252550合計8555140則，由，故能認(rèn)為職工體重是否正常與性別有關(guān)聯(lián)的a的值為0.1；（2）設(shè)事件為“抽到的員工為男員工”、設(shè)事件為“抽到的員工BMI值不低于28”，則，，即不能認(rèn)為該職工的性別是男還是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.19.記為數(shù)列的前n項和，當(dāng)時,．且．（1）求，；（2）（i）當(dāng)n為偶數(shù)時，求的通項公式；（ⅱ）求．解：（1）令，可得；令，可得；因為，可得，.（2）（i）當(dāng)n為偶數(shù)時，則，，可得，且，可知數(shù)列的偶數(shù)項成首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以（n為偶數(shù)）；（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時，則，即，可得，所以，所以.20.如圖，在四棱錐中，底面，，，，，．（1）求證：；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求三棱錐的體積．（1）證明：因為底面ABCD，底面，所以，又，，，則為直角梯形，可得，且，所以，又平面，平面，，所以平面，平面，所以；（2）解：由（1）可知，兩兩垂直，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，又平面的法向量為，由已知，解得，所以，.21.已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）直線與C相交于A，B兩點，若直線AF，BF的傾斜角互補，求面積的最大值．解：（1）由，故，即，由在橢圓上，故，即有，即，整理得，即，故或（舍），故，即橢圓C的方程為；（2）設(shè)、，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，消去可得，，即，、，由直線AF，BF的傾斜角互補，故兩直線斜率相反，即有，即，即，故，此時，即，即直線，、，則，點到直線的距離，故，令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，符合題意故面積的最大值為.22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若有兩個零點，求m的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，所以，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，且易得，所以當(dāng)時，，在在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值.（2）結(jié)合上問可知：當(dāng)時，，此時只有極小值，不滿足有兩個零點，故舍去；當(dāng)時，結(jié)合（1）可知，，此時無零點，故舍去；當(dāng)時，，且，易知在單調(diào)遞增，由，所以存，使得，所以當(dāng)，，在單調(diào)遞減；所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；由，，令,則，易知在單調(diào)遞增,，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以在有且只有一個零點.當(dāng)時，，，所以在有且只有一個零點.綜上：當(dāng)時，有兩個零點.河北省衡水市棗強縣名校協(xié)作2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題得，所以在復(fù)平面內(nèi)該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點在第四象限.故選：D.2.已知集合滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合是集合的子集，即，即.故選：C.3.已知直線與圓有公共點，則b的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，圓心到直線的距離，解得，故的取值范圍是.故選：A4.已知函數(shù)滿足，則實數(shù)m的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】函數(shù)，，所以.故選：B5.在正方體的8個頂點中任取4個點，能構(gòu)成正三棱錐的個數(shù)為（）A.16個 B.12個 C.10個 D.8個【答案】C【解析】如圖，以為頂點，可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有8個；可知三棱錐為正三棱錐，符合題意，此類三棱錐共有2個；其余情況均不合題意，所以符合條件的正三棱錐的個數(shù)為.故選：C.6.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（）A.3 B.0 C. D.2【答案】A【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，則，結(jié)合的任意性可得，可得，則，即，若，則，令，解得或，可知的定義域為，關(guān)于原點對稱，符合題意；若，則，可知的定義域為，不關(guān)于原點對稱，不符合題意；綜上所述：.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象與直線有3個交點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直線恒過定點，且的周期為，也過；畫出函數(shù)的圖象如下圖實線部分所示：若兩函數(shù)圖象有3個交點可知，直線的斜率；若直線與相切，可得，易知，則，結(jié)合圖象可知時滿足題意.故選：D8.已知雙曲線：的左、右焦點為，，，P為雙曲線右支上一點，，的內(nèi)切圓圓心為M，與的面積的差為1，則雙曲線的離心率（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因為，即，可得，又因為，可知，，可得，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由題意可得：，即，由的面積可知：，即，整理得，即，解得，即，所以雙曲線離心率.故選：A.二、選擇題9.如圖，正三棱柱的各條棱長都為2，M，N分別是AB，的中點，則（）A. B. C. D.平面【答案】CD【解析】取的中點，連接，由題意可知：，因為平面，且平面，可得，則，即兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，對于選項A：因為，即不相互垂直，故A錯誤；對于選項B：因為，即不相互平行，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：因為，所以平面，故D正確；故選：CD.10.已知m，n都是正整數(shù)，且，下列有關(guān)組合數(shù)的計算，正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于A，因為，，所以，即A正確；對于B，當(dāng)、時，左邊，右邊，等式不成立，故B不正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，等式左邊的系數(shù)為：，等式右邊的系數(shù)為：，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為R，則以下選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且為奇函數(shù)，則D.若，且，則為奇函數(shù)【答案】AC【解析】已知函數(shù)的定義域為R，對于選項A：若，則，故A正確；對于選項B：例如，滿足，但，不滿足，故B錯誤；對于選項C：若，且為奇函數(shù)，則，可得，故C正確；對于選項D：例如，滿足，且，但，不滿足，即不為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：AC.12.數(shù)列的通項公式為，下列命題正確的為（）A.先遞增后遞減 B.為遞增數(shù)列C.， D.，【答案】BD【解析】對A、B：，，，由、、，故，即數(shù)列為遞增數(shù)列，故B正確、A錯誤；對C、D，假設(shè)，，即需要證明，即證，即證，即證，即證，令，，，故在上單調(diào)遞減，故，故對，有，故，，故D正確，C錯誤.故選：BD.三、填空題13.已知向量，，若與共線，則實數(shù)______．【答案】【解析】因為與共線，所以，解得.故答案為：.14.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為8的直角扇形，則此圓錐的表面積為______．【答案】【解析】如圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，則，解得，所以，該圓錐的表面積為.故答案為：15.已知拋物線，圓，過點M的直線l與E交于A，B兩點，與圓M交于C，D兩點（A，C都在x軸上方），若，則直線l的斜率為______．【答案】【解析】如圖，由題意可知，直線的斜率，，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，，因為，所以，由拋物線定義可得，，即，所以，整理得，解得或（舍去），所以.故答案為：16.已知函數(shù)，A，B是直線與曲線的兩個交點，若的最小值為，，，則______．【答案】【解析】因為A，B是直線與曲線的兩個交點，設(shè)則有兩個根，即，又因為=，所以，，所以，，又因為，所以，所以.故答案為：.四、解答題17.在中，角的對邊分別為，（1）求；（2）設(shè)邊的中線，且，求的面積．解：（1）因為，由正弦定理得，又因，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，因為，所以，則，所以，則，所以，故，解得或（舍去），所以的面積．18.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BodyMassIndex，縮寫B(tài)MI）來測量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是．中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)如下表所示：BMI＜18.5≥28體重情況過輕正常超重肥胖為了解某單位職工的身體情況，研究人員從單位職工體檢數(shù)據(jù)中，采用分層隨機抽樣方法抽取了90名男職工、50名女職工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的BMI值，并進行分類統(tǒng)計，如右表所示：性別BMI合計過輕正常超重肥胖男106011990女15255550合計25851614140（1）參照附表，對小概率值a逐一進行獨立性檢驗，依據(jù)檢驗，指出能認(rèn)為職工體重是否正常與性別有關(guān)聯(lián)的a的一個值；（2）在該單位隨機抽取一位職工的BMI值，發(fā)現(xiàn)其BMI值不低于28．由上表可知男女職工的肥胖率都為0.1，視頻率為概率，能否認(rèn)為該職工的性別是男還是女的可能性相同？若認(rèn)為相同則說明理由，若認(rèn)為不相同，則需要比較可能性的大小．a(chǎn)0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：解：（1）由表可得到與體重是否正常與性別之間的列聯(lián)表：正常不正常合計男603090女252550合計8555140則，由，故能認(rèn)為職工體重是否正常與性別有關(guān)聯(lián)的a的值為0.1；（2）設(shè)事件為“抽到的員工為男員工”、設(shè)事件為“抽到的員工BMI值不低于28”，則，，即不能認(rèn)為該職工的性別是男還是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.19.記為數(shù)列的前n項和，當(dāng)時,．且．（1）求，；（2）（i）當(dāng)n為偶數(shù)時，求的通項公式；（ⅱ）求．解：（1）令，可得；令，可得；因為，可得，.（2）（i）當(dāng)n為偶數(shù)時，則，，可得，且，可知數(shù)列的偶數(shù)項成首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以（