【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】專(zhuān)題2.2 最值模型之將軍飲馬 專(zhuān)項(xiàng)講練（原卷版）

第第頁(yè)專(zhuān)題2.2最值模型之將軍飲馬專(zhuān)項(xiàng)講練三角形中的最值（將軍飲馬模型）問(wèn)題在考試中，無(wú)論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺(jué)有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以中高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。希望通過(guò)本專(zhuān)題的講解讓大家對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。注意：本專(zhuān)題部分題目涉及勾股定理，希望大家學(xué)習(xí)完第3章后再完成該專(zhuān)題訓(xùn)練。【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)題型1:求兩條線段和最小值例1．（2022·湖北江夏初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_(kāi)____．變式1．（2022·甘肅西峰·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_(kāi)______________．變式2．（2022·廣東新豐·八年級(jí)期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為12，，則周長(zhǎng)的最小值是______．變式3．（2021·湖北洪山·八年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__．變式4．（2021·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫(huà)出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．例2．（2022·重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．變式5．（2022.山東青島九年級(jí)一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動(dòng)線段且PQ＝（Q在P的下方），當(dāng)AP+PQ+QB最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）變式6．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)蓮花中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，CD是直線x＝1上長(zhǎng)度固定為1的一條動(dòng)線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________________．題型2:求兩條線段差最大值例3．（2022·江蘇·無(wú)錫市江南中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130變式7．（2022·河北承德·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B在直線的同側(cè)，點(diǎn)A到的距離，點(diǎn)B到的距離，已知，P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為a，的最大值為b．（1）________；（2）________．題型3:求三條（周長(zhǎng)）最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）【模型圖示】要求：點(diǎn)位定點(diǎn)，在直線，上分別找點(diǎn)，，使周長(zhǎng)（即）最小操作：分別作點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，求長(zhǎng)度通法：如上圖，一般會(huì)給一個(gè)特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），連結(jié)，，，由對(duì)稱(chēng)性可求也為特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三邊關(guān)系求出要求：點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線，上分別找，，使周長(zhǎng)（即）小操作：分別作點(diǎn)，關(guān)于直線，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和，連結(jié)與直線，的交點(diǎn)為，，例4．（2022·上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60變式8．（2022·安徽安慶·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠MAN＝_____°．課后訓(xùn)練：1.（2022·河南八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．2．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，分別以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，在直線MN上取一點(diǎn)C，連接CA，CB，點(diǎn)D是線段AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝AC，點(diǎn)P是直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，連接PD，PB，若BC＝4，則PD+PB的最小值為_(kāi)__．3．（2022·安徽蕪湖市·八年級(jí)期末）如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)__．4．（云南省紅河哈尼族彝族自治州建水縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊中，BC邊上的高，E是高AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（2022·山東山東·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，是的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C． D．6．（2022·河南安陽(yáng)市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．127.（2022?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．88．（2022·河南·安陽(yáng)市殷都區(qū)教科培中心八年級(jí)期末）如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，連接，，若，，周長(zhǎng)最小時(shí)，，之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．9．（2022·廣東廣州·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D是∠FAB內(nèi)的定點(diǎn)且AD=2，若點(diǎn)C、E分別是射線AF、AB上異于點(diǎn)A的動(dòng)點(diǎn)，且△CDE周長(zhǎng)的最小值是2時(shí)，∠FAB的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°11．（2022·湖北·武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，，為上一動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)作交直線于，過(guò)作交直線于點(diǎn)，若，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，則________．12．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為則的最大值為_(kāi)__．13．（2022·湖北十堰·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．14．（2022·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，A、B、三點(diǎn)在一條直線上，且．若D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．15．（20