高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值》專項測試卷帶答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值》專項測試卷帶答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．若函數(shù)f(x)＝x3lnx，則()A．既有極大值，也有極小值B．有極小值，無極大值C．有極大值，無極小值D．既無極大值，也無極小值2．如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞增B．當(dāng)x＝3時，f(x)取得最小值C．當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極大值D．f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，在[2,4]上單調(diào)遞減3．(2024·云南玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝()A．6B．5C．4D．34．(2024·山西太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，f(1)＝－eq\f(2,3)，則函數(shù)g(x)＝f′(x)ex在區(qū)間[0,2]上的最小值為()A．－3eB．－2eC．eD．2e5．(2024·海南八校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x在區(qū)間(1,3)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))6．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p(p≥20)元時的銷售量為Q件，且Q＝8300－170p－p2，則這批商品的最大毛利潤(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)為()A．30000元 B．60000元C．28000元 D．23000元7．如果存在函數(shù)g(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù))，使得對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)為函數(shù)f(x)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知f(x)＝－2xlnx－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，2]C．(－∞，4] D．(－∞，6]8．已知函數(shù)f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋lnx，若f(m)＝g(n)，則n－m的最小值為()A．－ln2B．ln2C．2D．－2二、多項選擇題9．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．當(dāng)x＝c時，f(x)取得最大值D．當(dāng)x＝d時，f(x)取得最小值10．已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是()A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>011．(2022·新高考全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則()A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個零點C．點(0,1)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線三、填空題與解答題12．(2024·吉林長春模擬)已知y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1，且f′(x)＝lnx＋1，則函數(shù)y＝f(x)的最小值為________．13．(2024·山東濰坊模擬)某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若該商品的成本為3元/千克，則當(dāng)銷售價格為________元/千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．14．給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的拐點．已知f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－cosx.(1)求證：函數(shù)y＝f(x)的拐點M(x0，f(x0))在直線y＝ax上；(2)當(dāng)x∈(0,2π)時，討論f(x)的極值點的個數(shù)．高分推薦題15．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2ex＋1，若對任意a，b，c∈[－3，1]，f(a)，f(b)，f(c)都可以作為一個三角形的三邊長，則m的取值范圍為________．解析版一、單項選擇題1．若函數(shù)f(x)＝x3lnx，則()A．既有極大值，也有極小值B．有極小值，無極大值C．有極大值，無極小值D．既無極大值，也無極小值解析：依題意，f′(x)＝3x2lnx＋x2＝x2(3lnx＋1)，x>0.令f′(x)＝0，解得x＝eeq\s\up15(－eq\f(1,3))，故當(dāng)x∈(0，eeq\s\up15(－eq\f(1,3)))時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(eeq\s\up15(－eq\f(1,3))，＋∞)時，f′(x)>0，故當(dāng)x＝eeq\s\up15(－eq\f(1,3))時，函數(shù)f(x)有極小值，且函數(shù)無極大值．故選B.答案：B2．如圖所示是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞增B．當(dāng)x＝3時，f(x)取得最小值C．當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極大值D．f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增，在[2,4]上單調(diào)遞減解析：根據(jù)題圖知，當(dāng)x∈(－2，－1)，x∈(2,4)時，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．所以y＝f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，在(－1,2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，故A不正確，D正確；故當(dāng)x＝－1時，f(x)取得極小值，C不正確；當(dāng)x＝3時，f(x)不是最小值，B不正確．答案：D3．(2024·云南玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝()A．6B．5C．4D．3解析：由題可得f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.因為函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，所以f′(2)＝0，即c2－8c＋12＝0，解得c＝6或2.經(jīng)檢驗當(dāng)c＝2時，函數(shù)f(x)在x＝2處取得極小值，不符合題意，應(yīng)舍去，故c＝6.故選A.答案：A4．(2024·山西太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋nx＋2，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù)，f(1)＝－eq\f(2,3)，則函數(shù)g(x)＝f′(x)ex在區(qū)間[0,2]上的最小值為()A．－3eB．－2eC．eD．2e解析：由題意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)為偶函數(shù)，∴m＝0，故f(x)＝eq\f(1,3)x3＋nx＋2，∵f(1)＝eq\f(1,3)＋n＋2＝－eq\f(2,3)，∴n＝－3.∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－3x＋2，則f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，則g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)．據(jù)此可知函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)在x＝1處存在極小值，即為最小值，g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.答案：B5．(2024·海南八校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x在區(qū)間(1,3)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))解析：f′(x)＝eq\f(3,x)－2x＋a－eq\f(1,2)，由題意易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＞0，,f′3＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)＞0，,a－\f(11,2)＜0，))解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(11,2).故選B.答案：B6．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價定為p(p≥20)元時的銷售量為Q件，且Q＝8300－170p－p2，則這批商品的最大毛利潤(毛利潤＝銷售收入－進(jìn)貨支出)為()A．30000元 B．60000元C．28000元 D．23000元解析：設(shè)毛利潤為L(p)元，由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．因為當(dāng)20≤p＜30時，L′(p)＞0，當(dāng)p＞30時，L′(p)＜0，所以L(30)是極大值，根據(jù)實際問題的意義知，L(30)也是最大值，此時，L(30)＝23000，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元．故選D.答案：D7．如果存在函數(shù)g(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù))，使得對函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)為函數(shù)f(x)的一個“線性覆蓋函數(shù)”．已知f(x)＝－2xlnx－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，2]C．(－∞，4] D．(－∞，6]解析：由題意可知，f(x)≤g(x)對任意x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)對任意x∈(0，＋∞)恒成立．設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)，則h′(x)＝eq\f(2,x)＋1－eq\f(3,x2)＝eq\f(x＋3x－1,x2)，x＞0，易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4，故a≤4.答案：C8．已知函數(shù)f(x)＝ex－3，g(x)＝1＋lnx，若f(m)＝g(n)，則n－m的最小值為()A．－ln2B．ln2C．2D．－2解析：令t＝f(m)＝g(n)，則em－3＝t,1＋lnn＝t，所以m＝3＋lnt，n＝et－1，即n－m＝et－1－3－lnt，令h(t)＝et－1－3－lnt，則h′(t)＝et－1－eq\f(1,t)(t＞0)，令h′(t)＝0，得t＝1.當(dāng)0＜t＜1時，h′(t)＜0，h(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時，h′(t)＞0，h(t)單調(diào)遞增．所以h(t)min＝h(1)＝e0－3－ln1＝－2，即n－m的最小值為－2.故選D.答案：D二、多項選擇題9．已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．f(a)<f(b)<f(c)B．f(e)<f(d)<f(c)C．當(dāng)x＝c時，f(x)取得最大值D．當(dāng)x＝d時，f(x)取得最小值解析：由f′(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，c)∪(e，＋∞)時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(c，e)時，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，c)，(e，＋∞)上單調(diào)遞增，在(c，e)上單調(diào)遞減．對于A，∵a＜b<c，∴f(a)＜f(b)＜f(c)，A正確；對于B，∵c<d<e，∴f(e)＜f(d)＜f(c)，B正確；對于C，由以上分析知，f(c)為極大值，當(dāng)x>e時，可能存在f(x0)＞f(c)，C錯誤；對于D，由單調(diào)性知f(e)＜f(d)．D錯誤．故選AB.答案：AB10．已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋x2，x0是函數(shù)f(x)的極值點，以下幾個結(jié)論中正確的是()A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0解析：∵函數(shù)f(x)＝xlnx＋x2(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋2x，易知f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∵x0是函數(shù)f(x)的極值點，∴f′(x0)＝0，即lnx0＋1＋2x0＝0.∵f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(2,e)>0，∴當(dāng)x>eq\f(1,e)時，f′(x)>0.又∵當(dāng)x→0時，f′(x)→－∞，∴0＜x0＜eq\f(1,e)，即A正確，B不正確；又f(x0)＋2x0＝x0lnx0＋xeq\o\al(2,0)＋2x0＝x0(lnx0＋x0＋2)＝x0(1－x0)＞0，故D正確，C不正確．故選AD.答案：AD11．(2022·新高考全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝x3－x＋1，則()A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個零點C．點(0,1)是曲線y＝f(x)的對稱中心D．直線y＝2x是曲線y＝f(x)的切線解析：由題意知f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)或x＝－eq\f(\r(3),3).令f′(x)>0，得x<－eq\f(\r(3),3)或x>eq\f(\r(3),3)；令f′(x)<0，得－eq\f(\r(3),3)<x<eq\f(\r(3),3)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞減，所以f(x)有兩個極值點，所以A正確．f(x)極大值＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－eq\f(\r(3),9)＋eq\f(\r(3),3)＋1>0，f(x)極小值＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(\r(3),9)－eq\f(\r(3),3)＋1>0.當(dāng)x→＋∞時，f(x)→＋∞；當(dāng)x→－∞時，f(x)→－∞，所以f(x)有一個零點，所以B錯誤．因為f(x)＋f(－x)＝x3－x＋1＋(－x)3＋x＋1＝2，所以曲線y＝f(x)關(guān)于點(0,1)對稱，所以C正確．令f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝1或x＝－1，所以當(dāng)切線的斜率為2時，切點為(1,1)或(－1,1)，則切線方程為y＝2x－1或y＝2x＋3，所以D錯誤．故選AC.答案：AC三、填空題與解答題12．(2024·吉林長春模擬)已知y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1，且f′(x)＝lnx＋1，則函數(shù)y＝f(x)的最小值為________．解析：根據(jù)題意，不妨設(shè)f(x)＝xlnx＋C(C為常數(shù))．由切線方程，得f(1)＝0，即1·ln1＋C＝0，所以C＝0，所以f(x)＝xlnx.令f′(x)＝lnx＋1＝0，解得x＝eq\f(1,e)，所以當(dāng)0<x<eq\f(1,e)時，f′(x)<0，當(dāng)x>eq\f(1,e)時，f′(x)>0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,e)·lneq\f(1,e)＝－eq\f(1,e).答案：－eq\f(1,e)13．(2024·山東濰坊模擬)某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若該商品的成本為3元/千克，則當(dāng)銷售價格為________元/千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解析：由題意得，商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3<x<6，則f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．故當(dāng)x∈(3,4)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(4,6)時，f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．答案：414．給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的拐點．已知f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－cosx.(1)求證：函數(shù)y＝f(x)的拐點M(x0，f(x0))在直線y＝ax上；(2)當(dāng)x∈(0,2π)時，討論f(x)的極值點的個數(shù)．(1)證明：∵f(x)＝ax＋eq\r(3)sinx－co