2025屆江蘇省高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)合調(diào)研考試卷附答案解析

屆江蘇省高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)合調(diào)研考試卷全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B. C. D.3.已知向量是單位向量，若，則（）A.0 B.1 C. D.24.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.5.設(shè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面三角形面積是底面面積的兩倍，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知、是軸上兩定點(diǎn)，、是軸上兩動(dòng)點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.7.若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)且和為，則正數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)連線的斜率為1，則下列各式一定為正數(shù)的是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在四棱柱中，M是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），則下列三棱錐的體積為定值的是（）A.三棱錐 B.三棱錐C.三棱錐 D.三棱錐10.有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，下列說(shuō)法正確的是（）A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則 B.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，則C.當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的極差為8 D.當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的方差最小11.已知三次函數(shù)，則（）A.函數(shù)一定有兩個(gè)極值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的極小值為0 D.在區(qū)間上的值域?yàn)槿?、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）13.若α和β都銳角，，則______．14.從集合中選取s個(gè)數(shù)，從集合中選取t個(gè)數(shù)．若這個(gè)數(shù)的和不小于，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．16.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊分別為，是邊上一點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若，且，求的面積．17.甲、乙兩人參加學(xué)校組織的航空航天知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：每輪比賽從題庫(kù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)問(wèn)題，先由甲回答第一題，然后乙回答第二題．答題者若答對(duì)則得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分．當(dāng)某輪比賽結(jié)束后出現(xiàn)一人總分比另一人多2分，則比賽結(jié)束，得分多者獲勝．已知無(wú)論之前答題情況如何，甲每題回答正確的概率為，乙每題回答正確的概率為．（1）記X為第一輪答題后甲的總分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲在這次競(jìng)賽中獲勝的概率．18.已知雙曲線的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且．（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)G，H．①若的面積是的面積的6倍，求直線的方程；②證明：直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)小于20．19.在平面直角坐標(biāo)系中，沿著平行于軸的方向，按照一定的比例對(duì)圖形的每個(gè)點(diǎn)到軸的有向距離進(jìn)行放縮得到的平面圖形，即將點(diǎn)映射到點(diǎn)的操作（為固定的參數(shù)），這種變換在數(shù)學(xué)上稱為水平錯(cuò)切．設(shè)是定義在上的函數(shù)，記，則稱是的“錯(cuò)切函數(shù)”．（1）設(shè)函數(shù)的“錯(cuò)切函數(shù)”為，①求的最小值；②若與的值域相同，求正數(shù)的取值范圍．（2）已知是上的增函數(shù)，是的“錯(cuò)切函數(shù)”，證明：是的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的零點(diǎn)．2025屆江蘇省高三數(shù)學(xué)12月聯(lián)合調(diào)研考試卷全卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.答案：A解析：,故，故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.答案：C解析：根據(jù)題意，，則.故選：C3.已知向量是單位向量，若，則（）A.0 B.1 C. D.2答案：C解析：因?yàn)閱挝幌蛄?，所以，又因?yàn)?，所以，則，所以.故選：C.4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.答案：A解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，則，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，因此，.故選：A.5.設(shè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面三角形面積是底面面積的兩倍，則其側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：D解析：如圖在正三棱錐中，設(shè)為底面的中心，連接,則平面.過(guò)作交于點(diǎn),連接，則,又，且,所以平面，則,所以為側(cè)面和底面所成二面角的平面角，在正三角形中，為中心，，由條件有，可得，在直角三角形中，.故選：D6.已知、是軸上兩定點(diǎn)，、是軸上兩動(dòng)點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.答案：B解析：設(shè)點(diǎn)，由題意可知，，，即①，，即②，①②得，整理可得，即，其中，所以，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.7.若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)且和為，則正數(shù)的最小值為（）A. B.1 C. D.答案：C解析：令，則，故，由題設(shè)有，故且，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)為，則，故，其中，故，故，故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)連線的斜率為1，則下列各式一定為正數(shù)的是（）A. B. C. D.答案：D解析：根據(jù)題意，，即，也就是，設(shè)，即，則，所以時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且，則點(diǎn)為函數(shù)與直線的交點(diǎn)，不防設(shè)，則，則，A錯(cuò)誤；設(shè)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，則，即，即，又，所以，則，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在四棱柱中，M是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），則下列三棱錐的體積為定值的是（）A.三棱錐 B.三棱錐C.三棱錐 D.三棱錐答案：BC解析：因?yàn)閹缀误w中僅為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)三棱錐的體積為定值時(shí)，應(yīng)平行于另外三點(diǎn)所確定的平面，由四棱柱的性質(zhì)可得，而平面，平面，故平面，同理平面即平面，由四棱柱可得平面，平面，故AD錯(cuò)誤，BC正確，故選：BC10.有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，下列說(shuō)法正確的是（）A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則 B.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為a，則C.當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的極差為8 D.當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的方差最小答案：ABD解析：解：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)1，2，3，5，7，8，9，a，A.若該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，則，解得，故正確；B.當(dāng)時(shí)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，符合題意；當(dāng)時(shí)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，不符合題意，綜上：，故正確；C.當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的極差為故錯(cuò)誤；D.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為由A知，當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則其方差所以要使方差最小，則取得最小值，所以，故D正確.故選：ABD11.已知三次函數(shù)，則（）A.函數(shù)一定有兩個(gè)極值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的極小值為0 D.在區(qū)間上的值域?yàn)榇鸢福築CD解析：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在上為增函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，而，故，故，所以，故B正確；對(duì)于C，，若，則，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值；若，則，此時(shí)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值；故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，取，則，考慮方程在上是否有解，設(shè)，則，，由零點(diǎn)存在定理可得在上存在零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，則,則在上的值域?yàn)?，故D成立，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）答案：解析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，其中，故，故的展開(kāi)式中無(wú)常數(shù)項(xiàng)，令，則，故的系數(shù)為，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，故答案為：13.若α和β都銳角，，則______．答案：解析：因?yàn)棣梁挺露紴殇J角，則，又，所以，即，所以，而，則，所以.故答案為：14.從集合中選取s個(gè)數(shù)，從集合中選取t個(gè)數(shù)．若這個(gè)數(shù)的和不小于，則的最小值為_(kāi)_____．答案：解析：，此時(shí)，下證：若這個(gè)數(shù)的和不小于，，證明：假設(shè)，任取個(gè)元素，其和不超過(guò)，任取個(gè)元素，其和不超過(guò)，故且取出的個(gè)元素，其和不超過(guò)，若，則，，，故，舍；若，則，，，故，舍；若，則，，，故，舍；若，則，，舍；若，則，，舍；若，則，，舍；綜上，不成立，故，故的最小值為8，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在直三棱柱中，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（1）解析：由題知面，又面，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又，所以四邊形是正方形，得到，又，面，所以平面.（2）解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因，則，，得到，，，直線與平面所成角為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，則，直線與平面所成角的正弦值為.16.已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)邊分別為，是邊上一點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若，且，求的面積．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（1）解析：由，得到，整理得到，又，所以，又，所以，得到，即.（2）解析：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得到，所以，整理得到，解得，所以，，，故的面積為.17.甲、乙兩人參加學(xué)校組織的航空航天知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：每輪比賽從題庫(kù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)問(wèn)題，先由甲回答第一題，然后乙回答第二題．答題者若答對(duì)則得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分．當(dāng)某輪比賽結(jié)束后出現(xiàn)一人總分比另一人多2分，則比賽結(jié)束，得分多者獲勝．已知無(wú)論之前答題情況如何，甲每題回答正確的概率為，乙每題回答正確的概率為．（1）記X為第一輪答題后甲的總分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲在這次競(jìng)賽中獲勝的概率．答案：（1）分布列見(jiàn)解析；.（2）（1）解析：第一輪答題后甲的總分X可取，,,X的分布列為.（2）解析：記"甲在這次競(jìng)賽中獲勝"為事件D，因?yàn)榧撰@勝發(fā)生至少經(jīng)過(guò)一輪答題，由（1）知，一輪回答后有三種情形，由全概率公式得：，是指一輪答題后甲得0分的條件下甲獲勝的概率，為0（乙獲勝，比賽結(jié)束）；是指一輪答題后甲得1分的條件下甲獲勝的概率為；是指一輪答題后甲得2分的條件下甲獲勝的概率為1；所以解得，求甲在這次競(jìng)賽中獲勝的概率．18.已知雙曲線的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且．（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)G，H．①若的面積是的面積的6倍，求直線的方程；②證明：直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)小于20．答案：（1）（2）①或；②證明見(jiàn)解析（1）解析：由雙曲線的離心率為，則①，又②，聯(lián)立①②解得，，則，故所求C的方程為.小問(wèn)2詳解】由題意，不與軸垂直，右焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立消得，，由直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即.設(shè)，則，所以有；且；設(shè)，由點(diǎn)，得直線方程為，令，得，又由，得，同理.則；；故；①；且.若的面積是的面積的6倍，則，則，解得，即，滿足條件.故所求直線的方程為或；②設(shè)中點(diǎn)，則，即，即以為直徑圓的圓心，半徑；點(diǎn)到直線即的距離；由.當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切，可看作所截弦長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相交，故直線被截得的弦長(zhǎng)，由，則，因?yàn)?，則（其中，弦長(zhǎng)）.綜上所述，直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)小于20．19.在平面直角坐標(biāo)系中，沿著平行于軸的方向，按照一定的比例對(duì)圖形的每個(gè)點(diǎn)到軸的有向距離進(jìn)行放縮得到的平面圖形，即將點(diǎn)映射到點(diǎn)的操作（為固定的參數(shù)），這種變換在數(shù)學(xué)上稱為水平錯(cuò)切．設(shè)是定義在上的函數(shù)，記，則稱是的“錯(cuò)切函數(shù)”．（1）設(shè)函數(shù)的“錯(cuò)切函數(shù)”為，①求的最小值；②若與的值域相同，求正數(shù)的取值范圍．（2）已知是上的增函數(shù)，是的“錯(cuò)切函數(shù)”，證明：是的零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的零點(diǎn)．答案：（1）①；②.（2）證明見(jiàn)解析（1）解析：①因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，由可得，由可得，所以，函?shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，函數(shù)的最小值為；②由①可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>