2024學年廈門市雙十中學高二數(shù)學上學期12月考試卷附答案解析

學年廈門市雙十中學高二數(shù)學上學期12月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項和為（

）A．54 B．63 C．66 D．722．棱長為的正四面體中，點是AD的中點，則（

）A． B． C． D．3．設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若S3=4，a4A．32B．1910C．53D．1964．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（

）A． B． C． D．5．如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點，在x軸上，A，B是橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且軸，，則此橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．6．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．7．設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．58．正方體的棱長為5，點在棱上，且，點是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點，且動點到直線的距離與點到點的距離的平方差為25，則動點到點的最小值是（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（）A．公差 B． C． D．時，最大10．在正方體中，，點是的中點，空間中一點滿足，則（

）A．當時，B．當時，三棱錐的體積為定值C．當時，有且僅有一個點，使得平面D．當時，有且僅有一個點，使得與所成角為11．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡，當此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）B．已知，，為雙紐線上任意一點，則C．若直線與曲線只有一個交點，則實數(shù)的取值范圍為D．曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為三、填空題（本大題共3小題）12．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則．13．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，若，則.14．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)（）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點，為直線：上的動點，為圓：上的動點，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．若數(shù)列的前n項和為，且，等差數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.16．如圖，在四棱錐中，，，，，平面，與平面所成角為，為中點，

(1)證明：；(2)若直線與平面所成角為，求的值.17．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：eq\f(k1,k2)為定值．18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓

(1)求橢圓的方程；(2)當軸，求的面積；(3)若分別記的斜率分別為，求的最大值.19．已知兩個數(shù)列和的項數(shù)均為，且對于數(shù)列，其中，若存在滿足：①，都有；②，使得，則稱數(shù)列是的單極數(shù)列.(1)已知，若的單極數(shù)列為，求滿足條件的的個數(shù).(2)已知是的單極數(shù)列.（i）若，求.（ii）若，當時，證明：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，故前9項的和為.故選A.2．【答案】A【詳解】因為，所以，又，，，，所以．故選：A．3．【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，求得q3【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若q=1，則a4所以，q≠1，故a4+a5+所以，S6=S9=因此，S9S4．【答案】A【詳解】因為兩條直線與，所以，所以與間的距離為，所以圓心到直線的距離為1，因為直線被圓截得的弦長為2，所以圓的半徑為，所以圓的面積為.故選：A.5．【答案】B【詳解】橢圓方程，則點P的坐標為，，，，于是，，由得，即，故，．故選：B6．【答案】D【詳解】以為原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，，，，，．，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，故．因為直線與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為．即，解得．所以平面的一個法向量，故到平面的距離為．故選：D7．【答案】A【分析】先確定兩直線所過的定點、的坐標，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】依題意，直線過定點，直線可整理為，故直線過定點，又因為直線和直線始終垂直，為兩直線交點，所以，則，由基本不等式可得，當且僅當時取等號，所以的最大值是.故選：A.8．【答案】A【詳解】如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，過點Q作，交于，則易知平面，所以即為P到直線的距離．因為，且，所以．所以點P的軌跡是以AD為準線，點M為焦點的拋物線．如圖建立直角坐標系，則點P的軌跡方程是，點，設(shè)，所以，所以當，取得最小值.故選：A9．【答案】BC【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，由于，所以，，所以AD選項錯誤，B選項正確.，C選項正確.故選：BC10．【答案】AC【詳解】對于選項A，當時，，如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時P在線段上，由于在正方體中，平面，平面，所以，選項A正確；對于選項B，當時，，如圖所示，

由平面向量基本定理，此時P在線段上，由圖可知，三棱錐當以平面為底面時為定值，但因為頂點P在線段上運動，所以P到底面的高不確定，故三棱錐的體積不是定值，選項B錯誤；對于選項C，當時，如圖所示，

此時，由平面向量基本定理，取AB與中點M，N，則P在線段MN上運動，由圖可知，過B點且與平面平行的平面為平面，平面，所以此時平面，又P是MN與交點，即當且僅當P是MN中點時，有平面，故選項C正確；對于選項D，如圖所示，

以D為原點，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，因為，則有，又，所以，所以.于是，，所以的夾角為時有，，解得或，即或都可以使得的夾角為，選項D錯誤.故選：AC.11．【答案】BCD【詳解】對于A，由，可得，所以，即，令，解得，或；當時，得，無解；當時，得，無解；所以曲線C經(jīng)過整點，故A錯；對于B，由于，，則，所以為雙紐線上任意一點，則，B正確；對于C，直線與曲線一定有公共點，若直線與曲線C只有一個交點，所以，整理得無非零實數(shù)解，，實數(shù)k的取值范圍為，故C正確；對于D，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為，故D正確.故選：BCD.12．【答案】【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，當時，有；當時，有，不符合，故故答案為：13．【答案】【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點為的中點，所以又所以即.故答案為：.14．【答案】【詳解】令，則，依題意，圓是由點，確定的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點坐標為，則，整理得，而該圓的方程為，則，解得，點的坐標為，因此，當時，最小，最小值為，所以當時，的值最小為.故答案為：15．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），又，兩式相減得，即，故數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又當時，，得，，，，等差數(shù)列的公差為，；（2）由（1）可得，，上兩式相減得，.16．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因為，，所以，因為平面，與平面所成角為，所以為與平面所成角，即，則，又平面，所以，所以可建立如圖所示的空間直角坐標系，

則由題，所以，，所以，所以，即.（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，所以，所以由（1）得，取，則，又直線與平面所成角為，所以，解得.17．【答案】(1)x2－eq\f(y2,4)＝1(2)證明見詳解【詳解】(1)∵虛軸長為4，∴2b＝4，即b＝2，∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，∴eq\f(b,a)＝2，∴a＝1，故雙曲線C的標準方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，))得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，∴y1＋y2＝－eq\f(16n,4n2－1)，y1y2＝eq\f(12,4n2－1)，∴ny1y2＝－eq\f(3,4)(y1＋y2)，∵直線MA的斜率k1＝eq\f(y1,x1＋1)，直線NB的斜率k2＝eq\f(y2,x2－1)，∴eq\f(k1,k2)＝eq\f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1))＝eq\f(y1(ny2＋1),y2(ny1＋3))＝eq\f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq\f(－\f(3,4)(y1＋y2)＋y1,－\f(3,4)(y1＋y2)＋3y2)＝－eq\f(1,3)，為定值．18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意：，可得：，故橢圓方程；（2）設(shè)Ax當時，由在第一象限，可得，即P1,22，故求得直線方程為聯(lián)立方程，得，整理得，，所以；（3）設(shè)Ax1,y1,Bx由題意故將直線與橢圓聯(lián)立方程，代入可得整理可得：，所以，即