2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年云南省玉溪市高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分、選錯(cuò)得0分.1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.3 C. D.12.直線的斜率是（）A.1 B. C. D.3.已知圓C：關(guān)于直線對(duì)稱，則m的值為（）A. B.2 C. D.44.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O不在平面內(nèi)，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.25.如圖，二面角等于，A，B是棱l上兩點(diǎn)，，分別在半平面，內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于（）A.4 B. C. D.6.在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)，法向量為的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系）是：”.如果給出平面的方程是，平面的方程是，則由這兩個(gè)平面所成的角的正弦值是（）A. B. C. D.7.已知雙曲線C：，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足，則C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.8.定義：若點(diǎn)在橢圓上，則以P為切點(diǎn)的切線方程為.已知橢圓C：，點(diǎn)M為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，，切點(diǎn)分別為A，B，則直線恒過定點(diǎn)（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線與直線之間的距離為B.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6C.將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得到的直線為D.若直線與直線垂直，則10.已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切B.若，則直線的斜率C.若，，則為定值D.若，則的最小值為1811.已知曲線：，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線有4條對(duì)稱軸 B.的最小值是C.曲線圍成的圖形面積為 D.的最大值是1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則的值為________.13.若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.14.已知橢圓，焦點(diǎn)，，過的直線和圓相切，并與橢圓在第一象限的圖象交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是________，橢圓的離心率是________.四、解答題：本題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（13分）已知直線l：，圓M.（1）若，求直線l截圓M所得的弦長(zhǎng)；（2）已知直線l過定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及過點(diǎn)P的圓M的切線方程.16.（15分）在平面直角坐標(biāo)系中中，過點(diǎn)的直線l與拋物線C：相交于點(diǎn)A，B.（1）若直線l的斜率為1，求的面積；（2）求證.17.（15分）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并求解（1）、（2）的答案.問題：在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知________.（1）求角C；（2）若點(diǎn)D滿足，且，求的面積的最大值.（注：如果選擇兩個(gè)條件分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，是斜邊為的等腰直角三角形，，，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.19.（17分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，焦距等于，離心率為.（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓G交于M，N兩點(diǎn)，求證：為定值；（3）記B為橢圓G的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作相互垂直的兩條直線，，分別與橢圓G相交于P，Q兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率為k且，若，求k的值.

數(shù)學(xué)答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分、選錯(cuò)得0分.1.【正確答案】B拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選B.2.【正確答案】B由題意得故選B.3.【正確答案】A由，可得圓C的圓心為.因?yàn)閳AC關(guān)于直線對(duì)稱，所以由圓的對(duì)稱性可知，圓心在直線上，則，解得，故選A.4.【正確答案】B因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.故選B.5.【正確答案】A由二面角的平面角的定義知，，由，，得，，，所以，即.故選A.6.【正確答案】A由題意，因?yàn)槠矫娴姆匠淌牵苑ㄏ蛄?，由平面的方程是，所以法向量，所以，所以，故選A.7.【正確答案】A設(shè)，則由得，整理得（*），由得，代入不等式（*）中，化簡(jiǎn)得恒成立，則，即，即，即，可得，解得，又，所以，故選A.8.【正確答案】C點(diǎn)M在直線上，設(shè)，，，所以的方程為.又M在上，所以①，同理可得②.由①②可得的方程為，即，即，所以解得故直線恒過定點(diǎn).故選C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題滿分6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【正確答案】AC直線與直線之間的距離，故A正確；對(duì)于直線，令，得，令得，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，故B錯(cuò)誤；直線的傾斜角為，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得直線的傾斜角為，斜率為，故C正確；若直線與直線垂直，則，解得或故D不正確.故選AC.10.【正確答案】ACDA：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，則的中點(diǎn)，利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，而的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，∴以為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切，因此A正確；B：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理可得：，可得，，∵，∴，解得，，∴，解得，因此B不正確，C正確；D：若，則拋物線C：，不妨設(shè)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，因此D正確.故選ACD.11.【詳解】ACD當(dāng)，時(shí)，原方程化為，即，所以曲線是以圓心為，半徑為的圓在第一象限的部分，又由圖象關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱，所以曲線，如圖所示.，對(duì)于A，由圖象可得，該曲線關(guān)于x軸，y軸，和對(duì)稱，所以該曲線有4條對(duì)稱軸，所以A正確，對(duì)于B，由表示曲線上的點(diǎn)P到直線的距離的倍，結(jié)合圖象得，當(dāng)是時(shí)，距離最小值為，所以最小值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線圍成的圖形由四個(gè)直徑為的半圓和一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成，所以面積為，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)表示點(diǎn)與點(diǎn)P確定的直線的斜率，設(shè)該直線方程為，結(jié)合圖象，當(dāng)，，即，則圓心為，半徑為的圓在第四象限的部分與直線相切時(shí)，該切線的斜率是k的最大值，由，可得，解得或（舍），則k的最大值為1，所以D正確.故選ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【正確答案】【詳解】已知角終邊上一點(diǎn)，所以，所以，所以.13.【正確答案】當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，，此時(shí)直線與雙曲線的其中一支有一個(gè)交點(diǎn).若直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為.14.【正確答案】；設(shè)圓心為A，直線與圓的切點(diǎn)為B，過的直線和圓相切的直線為l，，.將p點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，即.由題意可得，所以根據(jù)勾股定理可得，由題意，，故直線l的斜率，又結(jié)合可得，解得或（舍去），所以橢圓的離心率為.故；.四、解答題：本題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【正確答案】（1）4；（2）或（1）當(dāng)時(shí)，直線l：，圓M的圓心為，半徑為3，則圓心M到直線l的距離為，則直線l截圓M所得的弦長(zhǎng)為；（2）對(duì)于直線l，令，則，所以，由題意易得切線的斜率存在，則可設(shè)直線（A為切點(diǎn)）的方程為，即，所以，解得，故所求切線方程為，即或.16.【正確答案】（1）；（2）見解析（1）由題意知，直線l的方程為，由，得，設(shè)點(diǎn)，，則，，所以.直線l的一般式方程為，點(diǎn)O到直線的距離，所以的面積.（2）證明：設(shè)l的方程為，由，消去x得，設(shè)點(diǎn)，，則，所以，所以，所以，即.17.【正確答案】（1）；（2）（1）若選①由正弦定理得，在中，，所以，即，所以，又，有，所以，由，得.若選②由正弦定理得，在中，，所以即，所以，又，有，所以，由，得.（2）不論選①或②，均計(jì)算得，由，可得兩邊平方可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，所以.18.【正確答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，（1）證明：∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面∴，又∵且，、平面∴平面，（2）取中點(diǎn)為O，連接、，又∵，∴，則∵，∴，則，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，∴由得令，則.設(shè)與平面所成角的角為，∴（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)M，使得平面與平面所成角的余弦值為，由（2）可知