2024-2025學(xué)年天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高二上冊(cè)12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題，共40分）1.已知直線，，若且，則的值為（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】由兩直線的平行與垂直求得值后可得結(jié)論.【詳解】由題意,，，，所以．故選：C．2.已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是（）A.y2＝－11x B.y2＝11x C.y2＝－22x D.y2＝22x【正確答案】C【分析】由題求出焦點(diǎn)，即可求出，得出拋物線方程.【詳解】在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得，∴拋物線的焦點(diǎn)為，即，，∴拋物線的方程是.故選：C．3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差，即可得出通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，.故選：B.4.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（）A.6 B.8 C.9 D.10【正確答案】B【分析】由拋物線的焦點(diǎn)弦長公式，由此計(jì)算．【詳解】因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選：B．5.已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（）A.5 B.4 C.10 D.2【正確答案】C【分析】先判定直線過定點(diǎn)，再由弦長公式計(jì)算即可.【詳解】由，，即過定點(diǎn)，由得，半徑，則當(dāng)時(shí)，C到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：C6.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若焦距為4，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為4，結(jié)合a,b,c之間的關(guān)系以及離心率公式可得答案.【詳解】由題得，即，由焦距為4得，解得，可得橢圓方程為，所以，，所以離心率為.故選：B.7.若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心為到直線的距離等于1，∴，解得.故選：B8.設(shè)，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的左支于，兩點(diǎn)，若直線為雙曲線的一條漸近線，，則的值為（）A.11 B.12 C.14 D.16【正確答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得,再由雙曲線的定義可得，得到,再根據(jù)得到答案.【詳解】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得,由直線為雙曲線的一條漸近線，得,解得,得.由雙曲線的定義可得①，②，①②可得,因?yàn)檫^雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于,兩點(diǎn),所以,得.故選：C.9.直線過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線過雙曲線的右頂點(diǎn)，方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【正確答案】B【分析】本題可先通過構(gòu)造幾何圖形，先設(shè)為，再利用雙曲線第一定義，列出與的關(guān)系式，與的關(guān)系式，利用幾何關(guān)系，在中，利用余弦定理即可求得答案．【詳解】如圖所示：設(shè)，由于為等邊三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，所以根據(jù)余弦定理有：，整理得：，即，所以離心率．故本題正確答案為B．圓錐曲線跟幾何問題機(jī)關(guān)的解法，常從以下幾個(gè)方向考慮：圓錐曲線第一定義．圓錐曲線第二定義．幾何關(guān)系所涉及的解三角形知識(shí)．二、填空題（本大題共6小題，共30分）11.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，遞推公式為（），______【正確答案】##1.6分析】根據(jù)遞推公式依次代值計(jì)算即可.【詳解】由（），，則，，，.故答案為.12.圓心在直線上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程為______【正確答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓所過的兩點(diǎn)可得出關(guān)于的等式，求出即求出圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，則，解得，故圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，故所求圓的方程為.故答案為.13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，且滿足，則______，的面積為______．【正確答案】①.②.【分析】利用橢圓的定義可求得；取線段的中點(diǎn)，連接，分析可知，利用勾股定理求出，再結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：在橢圓中，，，，則，由橢圓的定義可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，故.故；.14.已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離是______【正確答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式來求得正確答案.【詳解】設(shè)，則到直線的距離為：，所以當(dāng)時(shí)，距離取得最小值為.故15.如圖，過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)．若，且，則此拋物線的方程為______.【正確答案】【分析】過點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，結(jié)合拋物線的定義及三角形的幾何性質(zhì)易得，進(jìn)而求得，再結(jié)合三角形相似求解，進(jìn)而求解即可.【詳解】過點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，則，由拋物線的定義得，，所以在中，，在中，，所以，又，則，解得，所以，，，由，得，即，解得，所以拋物線方程為.故答案為.16.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的角平分線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________，________.【正確答案】①.4②.【分析】延長，相交于點(diǎn)，易知，得到中點(diǎn)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可求得，由可求得結(jié)果；結(jié)合橢圓定義可求得，，由勾股定理確定，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】如圖，延長，相交于點(diǎn)，由題意知：，且平分，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，.由橢圓定義知：，，，又，，，.故；.本題考查橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到橢圓的定義和對(duì)稱性的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)于橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.三、解答題（本大題共4小題，共50分）17.已知等差數(shù)列的公差為正數(shù),與的等差中項(xiàng)為,且.求的通項(xiàng)公式；從中依次取出第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng),，第項(xiàng),按照原來的順序組成一個(gè)新數(shù)列,判斷是不是數(shù)列中的項(xiàng)？并說明理由.【正確答案】；是數(shù)列中的項(xiàng)，理由見解析.【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知與的等差中項(xiàng)為，利用等差數(shù)列的定義列出式子求出公差為，，進(jìn)而列出的通項(xiàng)公式；寫出，將代入驗(yàn)證即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得與的等差中項(xiàng)為，所以，又因?yàn)?，?所以，，因?yàn)楣顬檎龜?shù),所以.則，則.的通項(xiàng)公式.結(jié)合可知，，，，.令，即，符合題意，即.所以是數(shù)列中的項(xiàng).本題考查等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的求法，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知橢圓（）的半焦距為，離心率，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程．【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.【詳解】依題意，，所以橢圓方程可化為，由消去并化簡得，，①，設(shè)，則，所以，，滿足①，所以，所以橢圓方程為.19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求平面與平面的夾角的大??；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析；（2）（3）【分析】（1）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）求得平面和平面的法向量坐標(biāo)，再利用面面角的向量求法求解.（3）先根據(jù)相似三角形的邊長成比例確定F的位置，再求得平面的法向量坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.小問1詳解】在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑒t，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個(gè)法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.【小問3詳解】因?yàn)榈酌?，底?所以底面是正方形，所以,,平面,所以平面,平面,所以，所以在為直角三角形，又由題知，所以在也為直角三角形，故與相似，則，,，而，所以，所以是線段PB中靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，由第（1）小問可知，，，，因?yàn)槭蔷€段PB中靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，所以點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，，則有，令，則，，，，，設(shè)B點(diǎn)到平面的距離為，則；故B點(diǎn)到平面的距離為.20.已知橢圓，若橢圓的短軸長為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）（2）面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；（3）存在，，理由見解析【分析】（1）由短軸長求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；（2）直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，舍去，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出的面積為，利用基本不等式求出最值，并得到此時(shí)直線的方程；（3）由角相等得到，轉(zhuǎn)化為，在第二問的基礎(chǔ)上，代入化簡得到答案.【小問1詳解】由題意得，解得，將代入橢圓方程，得到，故，故橢圓方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積最大值為，此時(shí)直線的方程為或；【小問3詳解】在x軸上存在點(diǎn)使得恒成立，理由如下：因?yàn)?，所以，即，整理得，即，所以，則，解得