2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．已知直線與.若，則（）A． B．1 C． D．25．已知向量，，.若，，共面，則（）A．11 B． C．9 D．36．直線截圓所得的弦長為（

）A． B．1 C．4 D．27．芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線過定點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（

）A．P的坐標(biāo)為B．當(dāng)時，l在y軸上的截距為C．若l與直線垂直，則D．點(diǎn)P在圓的外部10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A． B．C．在上單調(diào)遞增 D．在上恰有10個零點(diǎn)11．若平面，平面，平面，則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，，記平面為，平面ABCD為，，（

）

A．若，則B．存在點(diǎn)H，使得平面C．線段長度的最小值是D．存在點(diǎn)H，使得三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓，則圓的半徑為.13．某校高三年級男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級所有學(xué)生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，則被抽取的女生人數(shù)為.若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1個男隊長的概率為.14．已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動點(diǎn)，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求的大小;(2)求的面積.16．已知在中，.(1)求直線AB的方程;(2)求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)過點(diǎn)B作的外接圓的切線，求該切線方程.17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABCD.(2)若，求點(diǎn)N到平面AMF的距離.18．如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面(1)證明：平面(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)棱BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值2，則點(diǎn)的軌跡就是阿氏圓，記為.(1)求的方程；(2)若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，不在軸上的點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，直線HE，HF與的另一個交點(diǎn)分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

答案1．【正確答案】C【詳解】直線的斜率為，傾斜角為.故選：C2．【正確答案】D【詳解】.故選：D.3．【正確答案】C【詳解】因為，所以故選：C.4．【正確答案】B【詳解】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B5．【正確答案】A【詳解】依題意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故選：A6．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意可得圓心，圓的半徑為3，點(diǎn)到直線的距離，故所求弦長為.故選：D.7．【正確答案】A【詳解】依題意得，，所以，又，，所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為，則故選：A.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，，因為，所以，即，所以點(diǎn)在以為圓心，4為半徑的圓上.點(diǎn)在直線上，所以直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得故選:B.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，由題意得直線，即，由，解得，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線l為，令x=0，，所以在y軸上的截距為，故B正確；對于C，由，解得，故C錯誤；對于D，因為，所以點(diǎn)P在圓的外部，故D正確.故選：ABD10．【正確答案】ABD【詳解】由圖可知，，，即，又，則，故A正確；此時，又，且，則，故B正確；此時，當(dāng)時，，因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯誤；當(dāng)時，，因為函數(shù)在上有10個零點(diǎn)，所以在上恰有10個零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABC【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點(diǎn)共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即，過點(diǎn)A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點(diǎn)H，使得平面，B正確，對于C：，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點(diǎn)H，使得，D錯誤.故選：ABC12．【正確答案】4【詳解】根據(jù)題意圓，可得圓的半徑為.故413．【正確答案】2/0.6【詳解】根據(jù)題意易得被抽取的這5人中女生的人數(shù)為，則男生的人數(shù)為3，女生人數(shù)為2，設(shè)被抽取的這5人中男生分別為A，B，C，女生分別為a，b，則從被抽取的這5人中抽取2人的所有情況有，，共10種情況，其中恰有1個男隊長的情況有6種，故所求概率為.故2；.14．【正確答案】【詳解】如下圖所示：正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點(diǎn)，連接并延長交底面于點(diǎn)，則為正的中心，且平面，連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，，，因為平面，平面，則，可得，的面積為，正四面體的體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，可得，因為，，可得，當(dāng)點(diǎn)位于正四面體的頂點(diǎn)時，取最大值，所以.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理可得，因為，所以，所以，因為，所以.（2）由題意可得的面積為.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由已知可得，所以直線AB的方程為，即.（2）設(shè)的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得故的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由（2）得外接圓的圓心為.因為，所以切線的斜率為，故所求切線方程為，即.17．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因為，，都垂直于平面，則.取的中點(diǎn)，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.（2）連接.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，，可得.故點(diǎn)到平面的距離.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【詳解】（1）因為底面ABCD是正方形，所以又因為平面ABCD，平面ABCD，所以因為，且，平面，所以平面（2）因為平面，平面，所以，，又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為（3）若存在點(diǎn)P滿足題意，則可設(shè)點(diǎn)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故易得平面的一個法向量為，所以，解得或舍去)，故棱BC上存在一點(diǎn)P，當(dāng)時，二面角的余弦值為19．【正確答案】(1).(2)證明見解