2024-2025學年福建省廈門市高三上冊11月聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省廈門市高三上學期11月聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知向量，的夾角為，，，則（

）A．2 B． C． D．54．已知，則（

）A． B． C． D．5．某三棱錐的體積為，表面積為，則該三棱錐的內切球的直徑為（

）A． B． C． D．6．設等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，.則下列結論錯誤的是（）A． B． C． D．的最大項為7．已知，直線，直線，若為的交點，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1B．數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23C．已知數(shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的極差和方差分別為12，8D．數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，則，，，，，，，的平均數(shù)為87，方差為10.210．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．點是圖象的一個對稱中心B．的單調遞增區(qū)間為，C．在上的值域為D．將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則11．如圖，棱長為的正方體的內切球為球，，分別是棱，的中點，在棱上移動，則下列選項正確的是（）A．該內切球的球面面積為B．存在點，使得平面C．平面被球截得的截面圓的面積為D．當為的中點時，過，，的平面截該正方體所得截面的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，，則．13．酒駕新規(guī)來了，2024年3月1日起實施，新國標將酒駕的上限從降低到了，也就是說，只要駕駛員血液中酒精含量超過了，就屬于違法行為.某人飲酒后，體內血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量會以每小時的速度減少，則按照新規(guī)他至少經(jīng)過小時后才能開車.（參考數(shù)據(jù)：）14．已知數(shù)列滿足：，定義：表示整數(shù)除以4的余數(shù)與整數(shù)除以4的余數(shù)相同，例.設，其中，數(shù)列的前項和為，則滿足的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，，已知．(1)求；(2)若的面積為，求的周長．16．如圖，在四面體中，，，，，M是的中點，是的中點，點在線段上，且.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.17．已知函數(shù)(1)求的圖象在點處的切線方程；(2)討論的單調區(qū)間.18．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，以的四個頂點為頂點的平行四邊形的面積為，直線與橢圓交于兩點（不與橢圓的頂點重合）.(1)求的標準方程；(2)若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：直線與圓相切；(3)若動直線過點，點關于軸的對稱點為，直線AD與軸的交點為，求面積的最大值.19．生命的誕生與流逝是一個永恒的話題，就某種細胞而言，由該種細胞的一個個體進行分裂，分裂后成為新細胞而原細胞不復存在，多次分裂后，由該個細胞繁殖而來的全部細胞均死亡，我們稱該細胞“滅絕”.現(xiàn)已知某種細胞有的概率分裂為...（即死亡），...，有的概率分裂為個細胞.記事件：細胞最終滅絕，：細胞第一次分裂為個細胞.記該細胞第一次分裂后有個個體（分裂后的細胞互不影響），在概率論中，我們用的數(shù)學期望作為衡量生物滅絕可能性的依據(jù)，如果，則在理論上細胞就不會滅絕；相反，如果，則理論上我們認為細胞在足夠多代的繁殖后會滅絕，而這兩種情況在生物界中都是普遍存在的.(1)直接寫出的數(shù)學期望.(2)用只含和的概率式表示并證明該細胞滅絕的概率為關于方程：的最小正實根.(3)若某種細胞發(fā)生基因突變，當時.（ⅰ）若當其分裂為兩個細胞后，有一個細胞具有與原細胞相同的活力，而另一細胞則在此后喪失分裂為兩個的能力（即只有可能分裂成個或個），求證：該細胞的滅絕是必然事件.（ⅱ）受某種輻射污染，若當其分裂為兩個細胞后分裂生成的兩個細胞此后均喪失分裂為個的能力，并等可能分裂為個或個細胞.我們稱為“泛濫型細胞”，已知：，求出一個該種泛濫型細胞經(jīng)過次分裂，得到個細胞的概率.

答案1．【正確答案】A【詳解】因為，所以復數(shù)在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.2．【正確答案】A【分析】利用投影向量公式進行求解.【詳解】在上的投影向量為.故選A.3．【正確答案】C【詳解】.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】設該三棱錐的體積為，表面積為，該三棱錐的內切球的半徑為，則，所以，故該三棱錐的內切球的直徑為.故選：B.6．【正確答案】C【詳解】對于A，若，因為，則，，不滿足，若，因為，則，，不滿足，顯然，所以，故A正確；對于B、C，因為，，且，所以，故B正確，C錯誤；對于D，由等比數(shù)列可得當時，，當時，，所以的最大項為，故D正確；故選：C.7．【正確答案】B【詳解】直線過定點，直線過定點，且直線與直線垂直，所以點的軌跡是以為直徑的圓，故圓心是，半徑為則點的方程是令，因為，所以，則所以，可得點則.

8．【正確答案】C【詳解】設，，則，根據(jù)雙曲線性質可知，所以，，又因所以為直角三角形，可得，所以可得，解之可得或（舍），可求出，在中根據(jù)余弦定理，解之可得，所以.故選：C9．【正確答案】ACD【詳解】選項A：依題意，得個體m被抽到的概率為，故A正確；選項B：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，因為，第七個數(shù)為23，第八個數(shù)為24，則第70百分位數(shù)為，故B錯誤；選項C：因為已知數(shù)據(jù)，，，的極差為6，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的極差為，方差為，故C正確；選項D：因為數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為90，方差為3；數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為85，方差為5，所以，，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】AC【詳解】因為，所以點是圖象的一個對稱中心，A正確；令（），則（），故的單調遞增區(qū)間為（），B錯誤；因為，所以，故在上的值域為，C正確；將的圖象先向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，D錯誤.故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，根據(jù)已知條件球為以為圓心，半徑，內切球的球面面積為，A正確；對于B：以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則由題意可得，，，，設點，其中，對于，，，設平面法向量為，，，則，令，則y=?1，，為平面的一個法向量，若存在點，使平面，只需，因為不成立，所以B錯誤；對于C：設平面法向量為m=x1,，，則，令，則，，為平面的法向量，又因為，則到平面的距離為，則，設平面被球截得的截面圓的半徑為，，所以平面被球截得的截面圓的面積為，C選項正確；對于D，當為中點時，過的平面截該正方體所得截面為正六邊形，，在中，，所以邊長，所以截面面積，D正確；故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】由已知，所以，故13．【正確答案】7【詳解】設他至少經(jīng)過x小時后才能開車，則，即，故（小時），即他至少經(jīng)過7小時后才能開車，故714．【正確答案】40【詳解】由，即，因為，所以，，則都不是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，所以不是的倍數(shù)，，不是的倍數(shù)，不是的倍數(shù)，是的倍數(shù)，依次可得當為的倍數(shù)時，也是的倍數(shù)，當不為的倍數(shù)時，也不是的倍數(shù)，由，則有當是4的倍數(shù)時，，當不是4的倍數(shù)時，，則；當，，當，即時，有，，故滿足的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)10【詳解】（1）因為，所以即．因為，所以，所以，因為，所以．（2）由（1）可知，則．因為的面積為，所以，解得由余弦定理得，則．故的周長為．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，且，由余弦定理可得，即，即，所以，即，又，且，平面，所以平面，又，則，即，以為原點，分別以為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，又M是的中點，則，是的中點，則，且，則，則，所以，因為平面，取為平面的一個法向量，且，因為，所以，則平面.（2）由（1）可知，設平面的法向量為m=x,y,z則，解得，取，則，則平面的一個法向量為，設平面的法向量為n=a,b,c則，解得，取，則，則平面的一個法向量為，設二面角為，顯然為銳角，則.所以二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；（2）先將f'x整理為，只需考慮的符號即可，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質對參數(shù)分類討論可得結果.【詳解】（1）.故的圖象在點1,f1處的切線方程為.（2）.①當時，令，解得，有0,111,+f+0-極大值故單調遞增區(qū)間為0,1，單調遞減區(qū)間為1,+∞②當時，令，解得或.當時，11,+f-0+0-極小值極大值故單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，當時，的單調遞減區(qū)間為0,+∞，無單調遞增區(qū)間.當時，0,11f-0+0-極小值極大值單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.綜上，當時，的單調遞增區(qū)間為0,1，單調遞減區(qū)間為1,+∞；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；當時，單調遞減區(qū)間為0,+∞，無單調遞增區(qū)間；當時，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為.由已知，，即，又，由可得:，因為的焦點在軸上，所以的標準方程是（2）當直線有斜率時，設直線的方程為，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，即，設Ax1,聯(lián)立方程，得，即，，化簡得，設到直線距離為，則，所以直線與圓相切.當直線無斜率時，設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，由于AB為直徑的圓經(jīng)過原點，故，故圓的圓心到直線的距離，故直線與圓相切.綜上，直線與圓相切.（3）設直線的方程為，代入橢圓方程，得，即.設點Ax1則.因為點關于軸對稱，則.設點，因為三點共線，則，即，即，即，得所以點為定點，，.令，則.當且僅當時取等號，所以的面積的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)，，證明見解析(3)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）.（2），則：，，由于分裂后細胞相互獨立，.，所以.若能取到中的所有數(shù)，則令：，有：，為該方程