2024-2025學年福建省廈門市高二上冊期中考試數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年福建省廈門市高二上學期期中考試數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知圓的方程是，則圓心的坐標是（

）A． B． C． D．2．直線的一個方向向量為，且直線經過點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．4．直線與曲線有公共點，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．5．棱長為2的正四面體ABCD中，點E是AD的中點，則（

）

A．1 B．－1 C． D．6．已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（

）A． B．C． D．7．已知直線與直線相交于點A，點B是圓上的動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過點做傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線：，：，則（

）A．當時，直線的傾斜角為60° B．當時，C．若，則 D．直線始終過定點10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（）

A． B．C．平面 D．異面直線與夾角的余弦值為11．（多選）已知橢圓，分別為它的左右焦點，點分別為它的左右頂點，已知定點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．存在點，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．圓關于直線對稱，則．13．在直四棱柱中，底面為菱形，，，為棱的中點，，分別為直線，上的動點，則線段的長度的最小值為.14．如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和3，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知、，動點滿足，設動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的標準方程；（2）求過點且與曲線相切的直線的方程.16．如圖，四邊形與均為菱形，且，(1)求證：平面平面(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．17．已知A0,3和P3,32(1)求C的離心率;(2)若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．18．如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形，線段的中點為且底面，，，是的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離；(3)點在棱上，且直線與底面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，阿波羅尼斯圓指的是已知動點與兩定點，的距離之比(且)，是一個常數，那么動點的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點分別為橢圓：的右焦點與右頂點，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，過右焦點斜率為的直線與橢圓相交于，(點在x軸上方)，點，是橢圓上異于，的兩點，平分，平分.①求的取值范圍；②設、的面積分別為，，當時，求直線的方程.

答案1．【正確答案】A【詳解】圓的方程可化為，圓心的坐標是.故選：A.2．【正確答案】A【詳解】直線的一個方向向量為則直線的斜率為，直線過點，則，即．故選：A．3．【正確答案】B【詳解】由點，可得，設直線所成的角為，可得，所以，又由，所以點到直線的距離是.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】由，即曲線為以原點為圓心的半圓，如圖所示，因為直線與曲線有公共點，而，即為直線在縱軸上的截距，易知當直線與相切時縱截距最大，即，所以；過時縱截距最小，即，所以.故選：B5．【正確答案】A【詳解】，所以．故選：A．6．【正確答案】C【分析】根據圓的位置關系及橢圓的定義可判斷P點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：和：的圓心、半徑分別為，由可知圓內含于圓內，設動圓半徑為,由題意，，,兩式相加可得,故P點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，所以，所以橢圓方程為.故選C7．【正確答案】C求出點A的軌跡方程，確定A點軌跡，然后通過幾何意義求得最大值．【詳解】由，消去參數得，所以A在以為圓心，為半徑的圓上，又點B是圓上的動點，此圓圓心為，半徑為，，所以的最大值為．故選C.【方法總結】本題考查交軌法求軌跡方程，考查兩點間的距離公式．由圓的性質知某點到圓上的點間距離的最大值可以轉化為到圓心的距離與半徑的和．8．【正確答案】D【分析】根據題意寫出直線方程，與橢圓方程聯立，運用韋達定理與構建出關于a、b、c的齊次方程，根據離心率公式即可解得.【詳解】設，，，過點做傾斜角為的直線，直線方程為：，聯立方程，可得根據韋達定理：，因為，即，所以所以即，所以，聯立，可得故選：D.9．【正確答案】BCD【詳解】對于A，當時，直線：，故斜率，則傾斜角為120°，A錯誤，對于B，等價于，解得，故B正確，對于C，若，且，故，故C正確，對于D，：變形為：，令且，解得，故恒過，D正確，故選：BCD10．【正確答案】ACD【詳解】因為平面平面，所以，在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

而，從而A0,0,0，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，平面的一個法向量為，故C正確；對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．故選：ACD．11．【正確答案】BCD【詳解】對于A中，由橢圓，可得，且，可得，所以，所以A錯誤；對于B中，設Px,y，則，且，可得，則為定值，所以B正確；對于C中，由橢圓的定義，可得，則，當且僅當時，即時等號成立，所以C正確；對于D中，由點Q在橢圓外，設直線與橢圓相交于，如圖所示，則，因為，且，可得，即，所以，所以，所以D正確.故選BCD.

12．【正確答案】3【詳解】由可得圓的標準方程為：，則由題意得直線過圓心，代入直線方程有，解得，故3.13．【正確答案】/【詳解】

連接，，設，由題意，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設與，都垂直的向量為，則，即，令，則，，所以為與，都垂直的一個向量，則線段的長度的最小值為.故14．【正確答案】【詳解】作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點，則，，過作，垂足為，連接，，設與交于點，設兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，可知：，即軸截面中，又∵，，解得，即兩球的球心距離為.故答案為.15．【正確答案】（1）（2）或.【詳解】（1）設Px,y，則，，由，得，所以曲線的標準方程為.（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點的直線若斜率不存在，直線方程這，滿足與圓相切；過點的切線若斜率存在，設切線方程為，即，有圓心到直線距離，解得，則方程為.過點且與曲線相切的直線的方程為或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設AC與BD相交于點O，連接FO，∵四邊形ABCD為菱形，，且O為AC中點，，，又，平面BDEF，∴平面BDEF，又平面，所以平面平面。（2）連接DF，∵四邊形BDEF為菱形，且，為等邊三角形，∵O為BD中點，∴，又，，平面ABCD，平面ABCD．故OA，OB，OF兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，設，∵四邊形ABCD為菱形，，．為等邊三角形，∴．，∴，，設平面ABF的法向量為n=x,y,z，則令，解得，設AD與平面ABF所成角為，則AD與平面ABF所成角的正弦值為：．17．【正確答案】(1)12(2)直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.【詳解】（1）由題意得b=39a2+9所以e=1?b（2）kAP=3?320?3=?12，則直線AP=0?32+3?32設點B到直線AP的距離為d，則d=2×93則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移1255此時該平行線與橢圓的交點即為點B，設該平行線的方程為x+2y+C=0，則C+65=1255，解得C=6當C=6時，聯立x212+y29=1x+2y+6=0即B0,?3或?3,?3當B0,?3時，此時kl=32，直線l的方程為y=當B?3,?32時，此時kl=12，直線l當C=?18時，聯立x212+y2Δ=272綜上,直線l的方程為3x?2y?6=0或x?2y=0.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：則，，，，,因為是的中點，所以，，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，又因為平面，所以平面.（2）由（1）知，，，所以，且平面的一個法向量為，所以點到平面的距離.（3）由題意知，底面的法向量為，因為，，且，，所以，所以由題意知：，解得：，所以，因為，設平面的一個法向量為，則，即，取，所以，又平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1);(2)①，②【詳解】(1)設，由題意知(常數)，整理得，所以又，解