中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)核心專題復(fù)習(xí)攻略（講+練）專題04 分式、分式方程及一元二次方程（解析版）

專題04分式、分式方程及一元二次方程復(fù)習(xí)考點(diǎn)攻略考點(diǎn)01分式相關(guān)概念1、分式的定義一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子SKIPIF1<0叫做分式。【注意】A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（C≠0）。3、分式的約分和通分（1）約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。（2）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。（3）最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式。（4）最簡(jiǎn)公分母：各分母的所有因式的最高次冪的積叫做最簡(jiǎn)公分母?！咀⒁?】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式。【注意2】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母。4、分式的乘除①乘法法則：SKIPIF1<0。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。②除法法則：SKIPIF1<0。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。③分式的乘方：SKIPIF1<0。分式乘方要把分子、分母分別乘方。④整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：SKIPIF1<0。5、分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。①同分母分式的加減：SKIPIF1<0；②異分母分式的加法：SKIPIF1<0。【注意】不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。6、分式的混合運(yùn)算（1）含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．（2）混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．【例1】若分式SKIPIF1<0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x=1C．x=0 D．x＞1【答案】B【解析】∵分式SKIPIF1<0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，∴1﹣x=0，即x=1，故選：B．【例2】若分式SKIPIF1<0的值不存在，則SKIPIF1<0__________．【答案】-1【解析】∵分式SKIPIF1<0的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案為：-1．【例3】分式SKIPIF1<0的值是零，則x的值為（）A．5B．2C．－2D．－5【答案】D【解析】解：依題意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案為x=-5．故選：D．【例4】下列變形正確的是（）A．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0–1=SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0【答案】D【解析】A．SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；B．SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；C．SKIPIF1<0-1=SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤，故選D．考點(diǎn)02分式方程相關(guān)概念1．分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母。（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．【注意】解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．4．分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝SKIPIF1<0，時(shí)間＝SKIPIF1<0等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．【例5】方程SKIPIF1<0的解為_______________．【答案】SKIPIF1<0

【例6】若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有正數(shù)解，則（）A．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】將方程的兩邊同時(shí)乘以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根據(jù)解為正數(shù)可得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．故選B．【例7】已知關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0的解滿足SKIPIF1<0，且k為整數(shù)，則符合條件的所有k值的乘積為（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．無法確定【答案】A【解析】關(guān)于x的分式方程SKIPIF1<0得x=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0解得-7＜k＜14∴整數(shù)k為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合條件的k中，含負(fù)整數(shù)6個(gè)，正整數(shù)13個(gè)，∴k值的乘積為正數(shù),故選A．【例8】數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：一組人平分10元錢，每人分得若干；若再加上6人，平分40元錢，則第二次每人所得與第一次相同，求第一次分錢的人數(shù)．設(shè)第一次分錢的人數(shù)為x人，則可列方程_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】解：根據(jù)題意得，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0考點(diǎn)03一元二次方程相關(guān)概念1．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，SKIPIF1<0分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意SKIPIF1<0，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．3.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：適合于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0形式的方程．（2）配方法：①化二次項(xiàng)系數(shù)為1；②移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把方程整理成SKIPIF1<0的形式；⑤運(yùn)用直接開平方法解方程．公式法：①把方程化為一般形式，即SKIPIF1<0；②確定SKIPIF1<0的值；③求出SKIPIF1<0的值；④將SKIPIF1<0的值代入SKIPIF1<0即可．（4）因式分解法：把方程化成SKIPIF1<0的形式，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．4.一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系（1）根的判別式：一元二次方程SKIPIF1<0是否有實(shí)數(shù)根，由SKIPIF1<0的符號(hào)來確定，我們把SKIPIF1<0叫做一元二次方程根的判別式．（2）一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程SKIPIF1<0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程SKIPIF1<0有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；③當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，方程SKIPIF1<0沒有實(shí)數(shù)根．（3）根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0）有根時(shí)，設(shè)其兩根分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5.利用一元二次方程解決實(shí)際問題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容．（1）增長(zhǎng)率等量關(guān)系①增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)量÷基礎(chǔ)量．②設(shè)SKIPIF1<0為原來量，SKIPIF1<0為平均增長(zhǎng)率，SKIPIF1<0為增長(zhǎng)次數(shù)，SKIPIF1<0為增長(zhǎng)后的量，則SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為平均下降率時(shí)，則有SKIPIF1<0．（2）利潤(rùn)等量關(guān)系：①利潤(rùn)=售價(jià)－成本．②利潤(rùn)率=SKIPIF1<0×100％．（3）面積問題①類型1：如圖1所示的矩形SKIPIF1<0長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，空白“回形”道路的寬為SKIPIF1<0，則陰影部分的面積為SKIPIF1<0．②類型2：如圖2所示的矩形SKIPIF1<0長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，陰影道路的寬為SKIPIF1<0，則空白部分的面積為SKIPIF1<0．③類型3：如圖3所示的矩形SKIPIF1<0長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，陰影道路的寬為SKIPIF1<0，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0．圖1圖2圖3（4）碰面問題（循環(huán)問題）①重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=1②不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng).∵A與B比賽在A的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無重疊.∴m=n【例9】若方程SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．m≠?1 B．m=?1C．m≥?1 D．m≠0【答案】A【解析】根據(jù)一元二次方程的定義可得：m+1≠0，解得：m≠?1.故選A．【例10】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0的值是_________．【答案】4或-1【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0兩邊同除以SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因式分解得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的值是4或SKIPIF1<0故答案為：4或SKIPIF1<0．【例11】關(guān)于x的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2【答案】D【解析】解：由韋達(dá)定理，得：SKIPIF1<0＝k－1，SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0,化簡(jiǎn)，得：SKIPIF1<0，解得：k＝±2，因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，△＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故選D.【例12】某中學(xué)組織初三學(xué)生籃球比賽，以班為單位，每?jī)砂嘀g都比賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，則共有多少個(gè)班級(jí)參賽？A．4 B．5C．6 D．7【答案】C【解析】設(shè)共有x個(gè)班級(jí)參賽，根據(jù)題意得：SKIPIF1<0=15，解得：x1=6，x2=﹣5（不合題意，舍去），則共有6個(gè)班級(jí)參賽，故選C．【例13】如圖，要在長(zhǎng)、寬分別為50米、40米的矩形草坪內(nèi)建一個(gè)正方形的觀賞亭．為方便行人，分別從東、南、西、北四個(gè)方向修四條寬度相同的矩形小路與亭子相連，若小路的寬是正方形觀賞亭邊長(zhǎng)的，小路與觀賞亭的面積之和占草坪面積的，求小路的寬．【答案】小路的寬為2米．【解析】設(shè)小路的寬為x米，由題意得，（5x）2+（40+50）x﹣2×x×5x=SKIPIF1<0×40×50，解得x=2或x=﹣8（不合題意，舍去）答：小路的寬為2米．第一部分選擇題一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）一、選擇題（本題有10小題，每題4分，共40分）1.使得式子SKIPIF1<0有意義的x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x>4 C．x≤4 D．x<4【答案】D【解析】使得式子SKIPIF1<0有意義，則：4-x>0，解得：x<4，即x的取值范圍是：x<4，故選D．2.要使分式有意義，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】根據(jù)題意可知，，即．故選：B．3.下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是A． B． C． D．【答案】D【解析】A、=，錯(cuò)誤；B、=，錯(cuò)誤；C、=，錯(cuò)誤；D、是最簡(jiǎn)分式，正確．故選D．4.分式方程的根為（）A．或 B．C． D．或【答案】C【解析】去分母得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)是增根，所以分式方程的根為.故選C．八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍．設(shè)騎車學(xué)生的速度為x千米/小時(shí)，則所列方程正確的是（）A．-=20 B．-=20 C．-= D．=【答案】C【解析】根據(jù)八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以得到，-=，故選：C．6.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．且【答案】B【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，故選B．7.定義新運(yùn)算，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如，若（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個(gè)實(shí)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】解：根據(jù)新運(yùn)算法則可得：，則即為，整理得：，則，可得：，；，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故答案選：B.同學(xué)聚會(huì)，每?jī)扇硕嘉帐忠淮?，共握?5次，設(shè)x人參加聚會(huì)，列方程為（）x（x–1）=45 B．x（x–1）=

C．x（x–1）=45 D．x（x+1）=45【答案】C【解析】由題意列方程得：x（x﹣1）=45．故選C9.若菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，邊CD的長(zhǎng)是方程x2﹣10x+24＝0的一個(gè)根，則該菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．16 B．24 C．16或24 D．48【答案】B【解析】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分兩種情況：①當(dāng)AB＝AD＝4時(shí)，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)AB＝AD＝6時(shí)，6+6＞8，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4AB＝24．故選：B．10.某校“研學(xué)”活動(dòng)小組在一次野外實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出個(gè)小分支，依題意，得：，解得：（舍去），．故選C．填空題填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11.方程的解為__________．【答案】x=-2【解析】解：則：，解得x=-2．故答案為x=-2．若關(guān)于的分式方程QUOTEk?1x+1=2的解為負(fù)數(shù)，則QUOTEk的取值范圍為_______________．【答案】且【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，去分母得，解得，由分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得且，即，解得且．若關(guān)于x的分式方程有增根，則_________．【答案】．【分析】先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計(jì)算即可求出的值．【解析】解：去分母得：，整理得：，∵關(guān)于的分式方程有增根，即，∴，把代入到中得：，解得：，故答案為：．某物流倉(cāng)儲(chǔ)公司用A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人搬運(yùn)物品，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多搬運(yùn)20kg，A型機(jī)器人搬運(yùn)1000kg所用時(shí)間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800kg所用時(shí)間相等，設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)xkg物品，列出關(guān)于x的方程為_______________．【答案】【解析】設(shè)B型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)x

kg物品，則A型機(jī)器人每小時(shí)搬運(yùn)（x+20）kg物品，根據(jù)題意可得，故答案為：．15.若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為_______________．【答案】或

【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，所以，即，整理得，解得，．故的值是或．16.一元二次方程的兩根為，則_____【答案】【解析】∵，∴，，，∴，，∴，=，=．故答案為第三部分解答題三、解答題（本題有6小題，共56分）17..先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x=4【答案】【解析】===SKIPIF1<0，當(dāng)x=4時(shí)，原式=先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】a+b,2【解析】，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，原式=SKIPIF1<0．解不等式組，并求出它的整數(shù)解