清華大學(xué)2024年強基計劃數(shù)學(xué)試題解析

A.aInb+blna>1B.alnb+blna=1C.ab<4D.ab>e3、某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段街道正中央開始走，每個點至多經(jīng)過一次，最終回到出發(fā)點.已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了()次.【解析】總體的路線形成一個多邊形，如果出發(fā)點在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，如果出發(fā)點在多邊形的頂點上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能.下面兩圖的路線分別對應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：(左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)各96次后，再左轉(zhuǎn)4次)(右轉(zhuǎn)、左轉(zhuǎn)各100次后，再右轉(zhuǎn)4次)M的個數(shù)為【答案】65【解析】設(shè)M(x?,yo),直線OA的方程為x,,A(2,1),若△OMA的面積不超過3,則滿足條件的整點并化簡得當(dāng)k=0時，29y?2≤200,y?=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=1時，29y2+4y?≤199,y=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=2時，29y?2+8y?≤196,y?=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=3時，29y。2+12y?≤191,y=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=4時，29y?2+16y?！?84,y=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=5時，29y2+20y?≤175,y=0,±1,±2,有5個整點；當(dāng)k=6時，29y。2+24y?≤164,y?=0,±1,±2,有5個整點；根據(jù)對稱性，當(dāng)k=-1,-2,-3,…,-6時，也分別有5個整點.∴共有65個整點.6、已知a?=1,,下列選項中正確的有().(用[x]表示不超過x的最大整數(shù))【解析】,顯然{a}單調(diào)遞增，當(dāng)n≥2時，又因為,A選項正確7、正整數(shù)a,b,c∈{1,2,…,100},且,a>b>c,11911則k|p,(k+d)lp,(k+2d)Ip,則(a,b,c)=m((k+d)(k+2d),k(k+取d=1,(a,b,c)=m(6,3,2),m=取d=2,(a,b,c)=m(15,5,3),取d=3,(a,b,c)=m(28,7,4取d=4,(a,b,c)=m(45,9,5),m=1,2;共16+6+3+2+1+1=29種②若k=3,則(a,b,c)=m(3+d)(3+2d),3+6d,3+3d),∴(3+d)(3+2d)≤100∴d=1,2,3,4,考慮到(k,d)=1,從而d=1,2,4取d=1,(a,b,c)=m(20,15,12),m=1,2,3,4,5;項中正確的有().A.進行4次這樣的操作回到A點的概率C.進行4次這樣的操作回到A點的概率【解析】每次操作有3種不同的路線，2次操作，有32=9種路線，其中有3條可以回到A點，因此進行2∴a=21,∴進行4次這樣的操作回到A點的概率為AC選項都錯.9、圓周上A,A?,…,A,七個點兩兩相連，任選兩條線段，則這兩條線段無公共點的概率為(【答案】【答案】2°若aI>a=a_2>a_,說明此情況下數(shù)列在第1項到第1項遞減.若a_,<a,,則將原來的/改為i-1同理考慮即可.11、直線/:ax+by+c=0,P(x?,y?),Q(x?,y?),下列選項中正確的有().A.若x>1,則/與射線PQ相交B.若x=1,則/與直線PQ平行C.若x=-1,則/與直線PQ垂直D.若x存在，則Q在1上可知ABC正確.【答案】1056【解析】總共有C3=1140種，如圖三點共線(紅色)有8組四點共線有9組(圖中藍色加上5條豎線)五點共線有4組于是一共能組成C-8C}-9C-4C,=1140-8-36-40=1056.下列選項中正確的有().是等比數(shù)列D.于是可求得【解析】由題可知利用不動點方法求得于是可求得故介介AP·AD=(AM+MP)·(AM+MD)=|AMP+MP·A則∠BPC=().A.140°B.130°C.110°D.【解析】若a,b,c中有0,則至多有一個0,不妨設(shè)c=0,此時所設(shè)y?=1-x,y?=1-x?,y?=1-x?,則y,y?,y?∈(-1,1),共5+2+I=8種③若k=5,則(a,b,c)=m((5+d)(5+2d),5+10d,5+5d),∴(5+d)(5+2d)≤100取d=3,(a,b,c)=m(88,5共2+I+1=4種④若k=7,則(a,b,c)=m((7+d)(7+2d),7+7d,7+7d),∴(7+d)(7+2d)≤100取d=2,(a,b,c)=m(99,7共2種共16+5+2+1=24種取d=5,(a,b,c)=m(63,2共6+2+1+1=10種共3+1=4種共2+1=3種取k=12,(a,b,c)=m(91,84,78)共2種綜上所述，(a,b,c)共有29+8+4+2+24+10+4+3+2=86組13、幾個人討論某個比賽的成績，討論內(nèi)容如下張三：甲是第4名李四：乙不是第2或第4名王五：丙排在乙前面劉六：丁是第一名已知只有一個人說假話，下列正確的是()【答案】ABCD【解析】分類討論即可若張三說假話，則丁第1名，因為乙不是第2或第4名，于是乙只能是第3名，又因為丙排在乙前面，于是丙只能為第2名，推出甲為第4名，與張三說假話矛盾!若李四說假話，則丁第1名，甲第4名，因為丙排在乙前面，故丙第2名，乙第3名，與李四說假話矛盾!若王五說假話，則丁第1名，甲第4名，因為乙不是第2或第4名，所以故丙第3名，乙第2名，這與王五說假話矛盾!若劉六說假話，則甲第4名，結(jié)合乙不是第2或第4名與丙排在乙前面可知乙只能為第3名，故丙為第1或2名，但丁不為第1名，故丙第1名，丁第2名綜上，選ABCD.【答案】【解析】這是一個強基考爛了的裂過B作BH⊥VC于H,設(shè)HP=x,則BC2-BV2=HC2-HV2,即8=6x,或49,解得(a,b)=(11,1)或(49,1);故一共有18組.可知(7k2,7k)型的數(shù)有16組【解析】取f(x)=x,則有A,恒等于1,則CD選項錯誤.26、過拋物線x2=4y焦點F的直線與拋物線交于點A(x,y?),B(x?,y?)兩點，/過B且與拋物線在A處的切線平行，I交拋物線與另一點D(x?,y?),交y軸與E,則下列選項中正確的有().A.x?+x?=3x,B.|FBHFE|C.△ABD面積的最小值為16D.yiy?=1【解析】點A處的切線方程為x,x=2(y+y?),斜率為,直線/的方程為代入x2