江蘇省2024-2025學年高一上學期數(shù)學期末專題復習講義02：不等式部分

2024-2025學年度江蘇省高一上學期數(shù)學期末專題復習--不等式部分知識點一：不等式的主要性質(zhì)(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(4)乘法法則：；，(5)乘方法則：(6)開方法則：要點詮釋：不等式性質(zhì)中要注意等價雙向推出和單向推出關(guān)系的不同.知識點二：基本不等式兩個重要不等式①，那么（當且僅當時取等號“=”）；②基本不等式：如果是正數(shù)，那么（當且僅當時取等號“=”）.算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)：稱為的算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)：稱為的幾何平均數(shù)；因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的應用,且（定值），那么當時，有最小值；,且（定值），那么當時，有最大值.要點詮釋：在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應具備的三個條件①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.幾個常用變形不等式：①（當且僅當a=b時等號成立）；②（a+b）2≥4ab（當且僅當a=b時等號成立）；③；特別地：；④.知識點三：三個“二次”的關(guān)系一元二次不等式或的解集：設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)：（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：①時，求根（注意靈活運用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解（3）寫出解集.要點詮釋：若，可以轉(zhuǎn)化為的情形解決.一、單選題1．（23-24高一上·江蘇常州·期末）設a，b，m都是正數(shù)，且，記，則（

）A． B．C． D．與的大小與的取值有關(guān)2．（23-24高一上·江蘇連云港·期末）在中，，且，則的面積的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．83．（23-24高一上·江蘇揚州·期末）已知，則的值不可能是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．85．（23-24高一上·江蘇南京·期末）設為實數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則的值不可能是（

）A．13 B．14 C．15 D．167．（23-24高一上·江蘇揚州·期末）某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買20克黃金，他要求先將10克的砝碼放在左盤，將黃金放在右盤使之平衡；然后又將10克的砝碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，則該顧客實際所得黃金（

）A．小于20克 B．不大于20克 C．大于20克 D．不小于20克8．（22-23高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，使得”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）十六世紀中葉，英國數(shù)學教育家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.下列關(guān)于不等式的命題，正確的是（

）A．如果，，那么B．如果，那么C．若，，則D．如果，，，那么10．（22-23高一上·江蘇南京·期末）設，，已知，，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值為 D．有最小值為11．（23-24高一上·江蘇常州·期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（

）A．B．點在第二象限C．的最小值為2D．關(guān)于的不等式的解集為三、填空題12．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知，且，則的最大值為.13．（23-24高一上·江蘇蘇州·期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為.14．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．（23-24高一上·江蘇無錫·期末）已知函數(shù)，.(1)若在區(qū)間上最大值為2，求實數(shù)的值；(2)當時，求不等式的解集.16．（23-24高一上·江蘇南京·期末）設全集，已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.17．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知二次函數(shù)，當時，；當，.(1)求，的值；(2)解關(guān)于的不等式：且.18．（23-24高一上·江蘇南通·期末）設，集合關(guān)于的方程無實根.(1)若，求；(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知不等式的解集為，設不等式的解集為集合.(1)求集合；(2)設全集為R，集合，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：1．A【分析】根據(jù)題意通過作差比較大小，得出的大小關(guān)系，從而判斷出正確答案.【詳解】由，且，即，可得，即，故選：A.2．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，求得，進而求得的面積的最小值.【詳解】因為，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以，解得，所以的面積的最小值為.故選：C.3．A【分析】由題意將不等式化為，再由基本不等式可得，由絕對值的定義去絕對值即可得出答案.【詳解】因為，則，則，當且僅當時，等號成立.當時，；當時，，所以的值可能是.故選：A.4．C【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，因此有，所以實數(shù)的最小值為，故選：C5．B【分析】分類討論解不等式，判斷不可能的解集.【詳解】關(guān)于的不等式，若，不等式為，解得，此時解集為；若，方程，解得或，時，不等式解得或，此時解集為；時，，不等式解得，此時解集為；時，，不等式解集為，時，，不等式解得，此時解集為；所以不等式的解集不可能是.故選：B6．D【分析】設方程的兩根為，由題有，后由韋達定理可得范圍，即可得答案.【詳解】設方程的兩根為，則的解集為.由題有.又，，則，則的值不可能是16.故選：D7．D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設天平的左臂長為，右臂長為（不妨設），第一次稱出的黃金重為，第二次稱出的黃金重為，由杠桿平衡的原理，可得，則，可得，當且僅當時，等號成立，所以顧客所得的黃金不小于20克.故選：D.8．B【分析】根據(jù)題意可知“，使得”為真命題，然后參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用基本不等式可解.【詳解】因為“，使得”為假命題，所以“，使得”為真命題，即在內(nèi)有解，即.因為，當且僅當時等號成立，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B9．AD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個選項推導即可.【詳解】對A，如果，，則，那么，故A正確；對B，如果，那么，則，故B錯誤；對C，若，，則，故C錯誤；對D，如果，，，則，故，則，，故D正確；故選：AD10．AD【分析】利用基本不等式直接判斷與的最值情況.【詳解】，，，當且僅當即時，等號成立，A選項正確，B選項錯誤；又，時，，即，所以，當且僅當時，等號成立，C選項錯誤，D選項正確；故選：AD.11．ACD【分析】根據(jù)題意，由原不等式的解集可得，，即可判斷ABD，然后再由基本不等式即可判斷C.【詳解】原不等式等價于，因為其解集為，所以且，，故A正確；因為，則點在第一象限，故B錯誤；由可得，，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為2，故C正確；由可得，不等式即為，化簡可得，則其解集為，故D正確；故選：ACD12．【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，即，因為，可得，整理得，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由正數(shù)，滿足，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)題意將不等式轉(zhuǎn)化為在能成立即可，再由二次函數(shù)性質(zhì)求出即可得的取值范圍是.【詳解】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即可得；即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）求出二次函數(shù)圖象的對稱軸，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即得.（2）分類討論求解含參數(shù)的一元二次不等式即得.【詳解】（1）函數(shù)圖象的對稱軸為，當，即時，，解得，則；當，即時，，解得，矛盾，所以.（2）顯然，而，因此不等式為，當，即時，不等式解集為；當，即時，不等式解集為；當，即時，不等式解集為，所以當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.16．(1)或(2).【分析】（1）求出集合A，由集合運算列式可得結(jié)果，（2）由充分條件得，根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.【詳解】（1）由，解得，所以.因為，且，所以或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或.（2）因為“”是“”的充分條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三個二次之間的關(guān)系，其中二次不等式解集的端點就是對應二次方程的根，由韋達定理即可求出和的值；（2）解含參二次不等式，可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象解不等式.【詳解】（1）由題意可知：的兩根為，故，即得，所以；（2）由（1）可知：，即，解方程，即，解得：，當時，即，所以解集為.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式得到不等式，求出，進而得到，求出并集；（2）根據(jù)充分條件得到，參變分離得到，利用基本不等式求出，從而得到.【詳解】（1）因為無實根，所以.解得，故.當時，，即，解得或.故或.所以.（2）由（1）知，，因為是的充分條件，所