《電路與信號(hào)分析》課件第3章

3.1支路分析法3.2網(wǎng)孔分析法3.3節(jié)點(diǎn)分析法3.4疊加定理與齊次性定理3.5替代定理3.6戴維寧定理和諾頓定理3.7互易定理3.8電路的對(duì)偶特性與對(duì)偶電路習(xí)題3第3章線性網(wǎng)絡(luò)的一般分析方法3.1支路分析法

支路分析法是直接以支路電流或支路電壓作為電路變量，應(yīng)用兩類約束關(guān)系，列出與支路數(shù)相等的獨(dú)立方程，先解得支路電流或支路電壓，進(jìn)而求得電路響應(yīng)的電路分析方法。在支路分析法中，若選支路電流為電路變量，則稱為支路電流法；若選支路電壓為電路變量，則稱為支路電壓法。本節(jié)以支路電流法為例來介紹支路分析法。

已知如圖3-1所示的有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路的電路，設(shè)各支路電流的參考方向如圖中所示。由于電路有6條支路，故有6個(gè)支路電流變量，為解出這6個(gè)電路變量需利用KCL、KVL建立6個(gè)以支路電流為變量的獨(dú)立方程。圖3-1支路分析法示例首先，對(duì)于電路的各節(jié)點(diǎn)建立KCL方程

(3-1)上述4個(gè)方程是不獨(dú)立的，其中任意一個(gè)方程等于其余3個(gè)方程取負(fù)相加，但若去掉4個(gè)方程中的任一個(gè)，則剩余的每一個(gè)方程含有一個(gè)其余兩個(gè)方程所沒有的支路電流變量。以選節(jié)點(diǎn)A、B和C的KCL方程為例，i4、i5和i6分別為各方程所獨(dú)有的支路電流變量，因此是一組獨(dú)立方程。通常將獨(dú)立KCL方程所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，刪去方程所對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)稱為非獨(dú)立節(jié)點(diǎn)或參考節(jié)點(diǎn)。因此對(duì)于圖3-1所示的具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，其獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)和獨(dú)立的KCL方程數(shù)為4-1=3。

將上述結(jié)論加以推廣：對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，其獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)和獨(dú)立的KCL方程數(shù)為n－1。當(dāng)然選哪些節(jié)點(diǎn)作為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，原則上是任意的。其次，對(duì)圖3-1所示電路中的每個(gè)回路列KVL方程，電路有7個(gè)回路，故可得7個(gè)KVL方程:(3-2)顯然上述7個(gè)方程是不獨(dú)立的，其中后4個(gè)方程可由前3個(gè)方程導(dǎo)出，而前3個(gè)方程(即該電路的3個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程)由于分別獨(dú)立含有i1、i2和i3支路電流變量，因此這3個(gè)方程是獨(dú)立的。通常將獨(dú)立的KVL方程所對(duì)應(yīng)的回路稱為獨(dú)立回路。因此對(duì)于圖3-1所示的具有4個(gè)節(jié)點(diǎn)、6條支路的電路，其獨(dú)立回路數(shù)和獨(dú)立的KVL方程數(shù)為6－(4－1)=3，且獨(dú)立的KVL方程數(shù)正好等于該電路網(wǎng)孔回路的個(gè)數(shù)。將上述情況推廣至一般可得到兩個(gè)結(jié)論：

(1)對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通網(wǎng)絡(luò)，其獨(dú)立回路數(shù)和獨(dú)立的KVL方程數(shù)為L=b－(n－1)。

(2)對(duì)于平面網(wǎng)絡(luò)而言，網(wǎng)孔數(shù)恰好等于獨(dú)立回路數(shù)，并且網(wǎng)孔就是獨(dú)立回路，根據(jù)網(wǎng)孔列出的KVL方程是獨(dú)立的。如圖3-1所示電路有3個(gè)網(wǎng)孔對(duì)應(yīng)3個(gè)獨(dú)立回路，按網(wǎng)孔列出的KVL方程即為獨(dú)立方程。綜上所述，一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的連通網(wǎng)絡(luò)，有

(n－1)個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，可列出(n－1)個(gè)獨(dú)立的KCL方程；有L=b－(n－1)個(gè)獨(dú)立回路，可列出L=b－(n－1)個(gè)獨(dú)立的KVL方程。因此可列出的獨(dú)立方程總數(shù)為(n－1)+［b－(n－1)］=b，這恰好等于待求的支路電流數(shù)，聯(lián)立求解這b個(gè)方程就可求得各支路電流。由以上分析可歸納出用支路電流法分析電路的步驟：

(1)確定各支路電流的參考方向；

(2)對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出n－1個(gè)獨(dú)立的KCL方程；

(3)選b－(n－1)個(gè)獨(dú)立回路(對(duì)于平面網(wǎng)絡(luò)，通常取網(wǎng)孔為獨(dú)立回路)，對(duì)獨(dú)立回路列出b－(n－1)個(gè)以支路電流為變量的KVL方程；

(4)聯(lián)立求解上述b個(gè)獨(dú)立方程，解得各支路電流，并以此求出其它響應(yīng)。

例3-1在圖3-2所示電路中，試用支路電流法求出各支路電流和支路電壓uAB。

解設(shè)各支路電流的參考方向如圖所示。由于電路的節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2，故其獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為2－1=1，若選A為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，則由KCL得

i1+i2+i3=0

由于電路為平面網(wǎng)絡(luò)，故可選網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，根據(jù)KVL得

網(wǎng)孔Ⅰ：－5+4i1－5i3+1=0

網(wǎng)孔Ⅱ：－10i2+2－1+5i3=0圖3-2例3-1圖聯(lián)立KCL和KVL方程，可解得

i1=0.5A,

i2=－0.5A,

i3=－0.4A

進(jìn)一步求解得uAB=－5i3+1=－5×(－0.4)+1=3V

支路電壓法與支路電流法類似，由于支路電壓法以支路電壓為變量，因此獨(dú)立的KCL方程中的各支路電流均應(yīng)利用支路的VCR用支路電壓表示，然后連同支路電壓的獨(dú)立KVL方程，可得到以支路電壓為變量的b個(gè)獨(dú)立方程，聯(lián)立求解即可得各支路電壓，進(jìn)一步求解可得其它響應(yīng)。

3.2網(wǎng)孔分析法

前面我們介紹了支路分析法。支路分析法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)未知支路電流或支路電壓可直接求解，缺點(diǎn)是需聯(lián)立求解的方程數(shù)目較多，且方程的列寫無規(guī)律可循。因此，我們希望適當(dāng)選擇一組電壓或電流變量，這組變量數(shù)必須最少，從而使得相應(yīng)所需聯(lián)立求解的獨(dú)立方程數(shù)目最少，同時(shí)電路中所有的支路電壓、電流變量都能很容易地用這些變量來表示，進(jìn)而可求出電路中的其他響應(yīng)。由線性代數(shù)知識(shí)可知，滿足此要求的變量必須是一組獨(dú)立的、完備的變量。“獨(dú)立的”指這組變量之間無線性關(guān)系。具體而言，即若是一組獨(dú)立的電流變量，則各電流變量之間不受KCL約束；若是一組獨(dú)立的電壓變量，則各電壓變量之間不受KVL約束?！巴陚涞摹敝钢灰@組變量求出后，電路中其他變量都能用這組變量表示。網(wǎng)孔電流便是這樣的一組電流變量。

網(wǎng)孔分析法是以網(wǎng)孔電流為電路變量，直接列寫網(wǎng)孔的KVL方程，先解得網(wǎng)孔電流，進(jìn)而求得響應(yīng)的一種平面網(wǎng)絡(luò)的分析方法。3.2.1網(wǎng)孔電流

1.網(wǎng)孔電流的定義

所謂網(wǎng)孔電流(MeshCurrent)，是指平面網(wǎng)絡(luò)中沿著網(wǎng)孔邊界流動(dòng)的假想電流，如圖3-3所示的im1、im2和im3。對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的平面網(wǎng)絡(luò)，有m=b－(n－1)個(gè)網(wǎng)孔，因而有m個(gè)網(wǎng)孔電流。圖3-3網(wǎng)孔分析法示例

2.網(wǎng)孔電流的完備性和獨(dú)立性

1)完備性

對(duì)于圖3-3所示的平面網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)各支路電流的參考方向如圖中所示，則支路電流與網(wǎng)孔電流有以下關(guān)系：

(3-3)

可見，所有的支路電流都能用網(wǎng)孔電流表示，網(wǎng)孔電流一旦求得，所有支路電流也隨之求得，進(jìn)一步求解可求得電路中其他響應(yīng)。所以網(wǎng)孔電流是一組完備的電流變量。

2)獨(dú)立性

由于每一網(wǎng)孔電流流經(jīng)某節(jié)點(diǎn)時(shí)，從該節(jié)點(diǎn)流入又流出，在KCL方程中彼此相消，如圖3-3中節(jié)點(diǎn)A的KCL方程為

－i1－i2－i4=0

將式(3-3)代入上式，得到網(wǎng)孔電流表示的KCL方程為

－(－im1)－im2－(im1－im2)=0

上式恒為零，對(duì)于其他節(jié)點(diǎn)也有類似的結(jié)果。故網(wǎng)孔電流不受KCL約束，具有獨(dú)立性，是一組獨(dú)立且完備的電流變量。3.2.2網(wǎng)孔方程

為了求出m個(gè)網(wǎng)孔電流，必須建立m個(gè)以網(wǎng)孔電流為變量的獨(dú)立方程。由于網(wǎng)孔電流不受KCL約束，因此只能根據(jù)KVL和VCR列方程。由3.1節(jié)知，網(wǎng)孔是獨(dú)立回路，故對(duì)各網(wǎng)孔列的KVL方程是一組獨(dú)立的KVL方程。若將KVL方程中的各支路電壓用網(wǎng)孔電流表示，則可得到m個(gè)以網(wǎng)孔電流為變量的獨(dú)立方程，該組方程稱為網(wǎng)孔方程。聯(lián)立解網(wǎng)孔方程，即可求得網(wǎng)孔電流。下面以圖3-3為例來說明網(wǎng)孔方程的建立方法。設(shè)各網(wǎng)孔電流的參考方向均為順時(shí)針方向，則可得各網(wǎng)孔的KVL方程為

(3-4)將式(3-3)代入式(3-4)并整理，得

(3-5)

上述方程就是圖3-3所示電路的網(wǎng)孔方程。聯(lián)立求解網(wǎng)孔方程，可得網(wǎng)孔電流im1、im2和im3。為了找出系統(tǒng)化地列寫網(wǎng)孔方程的方法，現(xiàn)將式(3-5)改寫成如下的一般形式：

(3-6)式中，方程左邊主對(duì)角線上各項(xiàng)的系數(shù)

R11=R1+R4+R6,

R22=R2+R4+R5,

R33=R3+R5+R6

分別為網(wǎng)孔Ⅰ、網(wǎng)孔Ⅱ和網(wǎng)孔Ⅲ所含支路的電阻之和，稱為自電阻；方程左邊非對(duì)角線上各項(xiàng)的系數(shù)

R12=R21=－R4,

R13=R31=－R6,

R23=R32=－R5分別為網(wǎng)孔Ⅰ與網(wǎng)孔Ⅱ、網(wǎng)孔Ⅰ與網(wǎng)孔Ⅲ和網(wǎng)孔Ⅱ與網(wǎng)孔Ⅲ公共支路上的電阻，稱為互電阻，當(dāng)各網(wǎng)孔電流均取順時(shí)針方向或均取逆時(shí)針方向時(shí)，其值為對(duì)應(yīng)兩網(wǎng)孔公共支路電阻的負(fù)值；方程右邊各項(xiàng)

uSm1=uS1－uS6,

uSm2=uS5,

uSm3=uS6－uS3

分別為各網(wǎng)孔中沿網(wǎng)孔電流方向電壓源電壓升的代數(shù)和。由以上分析，可得從網(wǎng)絡(luò)直接列寫到網(wǎng)孔方程的規(guī)則為

自電阻×本網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流+∑互電阻

×相鄰網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流

=∑本網(wǎng)孔中沿著網(wǎng)孔電流方向所含電壓源電壓升

對(duì)于具有n個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)絡(luò)，其網(wǎng)孔方程的一般形式可表示為

(3-7)3.2.3網(wǎng)孔分析法的一般步驟

綜上所述，用網(wǎng)孔分析法分析電路的一般步驟如下：

(1)設(shè)定網(wǎng)孔電流的參考方向(通常網(wǎng)孔電流同時(shí)取順時(shí)針方向或同時(shí)取逆時(shí)針方向)；

(2)按直接列寫規(guī)則列寫網(wǎng)孔方程；

(3)解網(wǎng)孔方程求得網(wǎng)孔電流；

(4)進(jìn)一步由網(wǎng)孔電流求得所求響應(yīng)。3.2.4網(wǎng)孔分析法在電路分析中的應(yīng)用

下面舉例說明網(wǎng)孔分析法在電路分析中的應(yīng)用。

1.含獨(dú)立電壓源網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔分析

例3-2試用網(wǎng)孔分析法求圖3-4所示電路中的電流i1和i2。

解該電路有三個(gè)網(wǎng)孔，設(shè)三個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流im1、im2、im3的參考方向如圖3-4所示。利用網(wǎng)孔方程的直接列寫規(guī)則，得三個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔方程為

網(wǎng)孔Ⅰ：(2+1+1)im1－2im2－im3=2+4

網(wǎng)孔Ⅱ：－2im1+(2+2+2)im2－2im3=0

網(wǎng)孔Ⅲ：－im1－2im2+(1+1+2)im3=8－4圖3-4例3-2圖將以上三個(gè)方程聯(lián)立，可解得

im1=3.2A,

im2=2A,

im3=2.8A

進(jìn)一步求解得

i1=im3=2.8A,

i2=im1－im2=1.2A

2.含獨(dú)立電流源網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔分析

在用網(wǎng)孔分析法分析含有獨(dú)立電流源的網(wǎng)絡(luò)，建立網(wǎng)孔方程時(shí)，由于電流源兩端的電壓不能直接用網(wǎng)孔電流表示，故在列網(wǎng)孔方程時(shí)應(yīng)根據(jù)電流源出現(xiàn)的形式不同分別進(jìn)行如下處理：

(1)電路中若含有有伴電流源(電流源與電阻并聯(lián))，則可利用諾頓電路與戴維寧電路的等效轉(zhuǎn)換，先將諾頓電路等效為戴維寧電路，再列網(wǎng)孔方程。

(2)若電路中含有無伴電流源(不與電阻并聯(lián)的電流源)，且該無伴電流源為某一網(wǎng)孔所獨(dú)有，則與其關(guān)聯(lián)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流若參考方向與電流源方向一致，即等于該電流源的電流，否則為其負(fù)值，同時(shí)該網(wǎng)孔的網(wǎng)孔方程可省去。

(3)若電路中含有無伴電流源，且該無伴電流源為兩個(gè)網(wǎng)孔所共有，則可將該電流源看做電壓源，設(shè)其兩端電壓為未知量，再按列寫網(wǎng)孔方程的一般規(guī)則寫網(wǎng)孔方程，同時(shí)應(yīng)增加用網(wǎng)孔電流表示該電流源電流的輔助方程。

例3-3已知電路如圖3-5所示。試用網(wǎng)孔分析法求電壓u。

解該電路有三個(gè)網(wǎng)孔，設(shè)三個(gè)網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流im1、im2、im3的參考方向如圖3-5所示。由于無伴電流源3A為網(wǎng)孔Ⅰ所獨(dú)有，且im1的方向與3A的參考方向一致，故im1=3A，相應(yīng)網(wǎng)孔Ⅰ的網(wǎng)孔方程可省去。而電流源1A為兩個(gè)網(wǎng)孔所公有，故將其兩端電壓設(shè)為ux，在列網(wǎng)孔方程時(shí)，將其視為電壓為ux的電壓源來處理。圖3-5例3-3圖圖示電路的網(wǎng)孔方程為

網(wǎng)孔Ⅰ：im1=3A

網(wǎng)孔Ⅱ：－20im1+(20+30)im2=ux

網(wǎng)孔Ⅲ：－10im1+(20+10)im3=－ux

輔助方程：im3－im2=1A

將以上四個(gè)方程聯(lián)立求解，得

im1=1A,

im2=0.5A,

im3=1.5A

進(jìn)一步由元件的VCR得

u=10×(3－1.5)=15V

3.含受控源網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔分析

用網(wǎng)孔分析法分析含有受控源的電路，在列網(wǎng)孔方程時(shí)，可先把受控源作為獨(dú)立電源看待，列寫網(wǎng)孔方程，最后再增加用網(wǎng)孔電流表示控制量的輔助方程。

例3-4試列寫圖3-6所示電路的網(wǎng)孔方程。

解設(shè)電路中各網(wǎng)孔電流如圖所示。電路中含有受控源，列方程時(shí)將其看做獨(dú)立源來處理，則列出該電路網(wǎng)孔方程為

網(wǎng)孔Ⅰ：(2+8+3)im1－3im2－8im3=5－10

網(wǎng)孔Ⅱ：－3im1+(3+7+5)im2－7im3=10

網(wǎng)孔Ⅲ：－8im1+7im2+(7+8+4)im3=－4u1

輔助方程：u1=3×(im1－im2)

最后必須指出，由于只有平面網(wǎng)絡(luò)才有網(wǎng)孔的概念，因此網(wǎng)孔分析法只適用于平面網(wǎng)絡(luò)。圖3-6例3-4圖

3.3節(jié)點(diǎn)分析法

節(jié)點(diǎn)分析法就是以節(jié)點(diǎn)電壓為電路變量，直接列寫?yīng)毩⒐?jié)點(diǎn)的KCL方程，先解得節(jié)點(diǎn)電壓，再求得其它響應(yīng)的一種網(wǎng)絡(luò)的分析方法。3.3.1節(jié)點(diǎn)電壓

1.節(jié)點(diǎn)電壓的定義

所謂節(jié)點(diǎn)電壓(NodeVoltage)，是指在網(wǎng)絡(luò)中任選一點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電位差。習(xí)慣上節(jié)點(diǎn)電壓的參考極性均以參考節(jié)點(diǎn)為負(fù)極，且參考節(jié)點(diǎn)用符號(hào)“⊥”表示。參考節(jié)點(diǎn)的電位一般設(shè)為零。顯然，對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，去掉一個(gè)參考節(jié)點(diǎn)，有n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓。以圖3-7所示電路為例，它有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，若選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則其余3個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)參考節(jié)點(diǎn)的電壓分別為un1、un2和un3。圖3-7節(jié)點(diǎn)分析法示例

2.節(jié)點(diǎn)電壓的完備性與獨(dú)立性

1)完備性

由于電路中任一支路都連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上，根據(jù)KVL，不難斷定支路電壓就是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓之差。如圖3-7所示電路，若選節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)1、2和3的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2及un3。設(shè)各支路電流的參考方向如圖中所示，且各支路電壓、電流選擇關(guān)聯(lián)參考，則各支路電壓與節(jié)點(diǎn)電壓具有如下關(guān)系：

可見，所有支路電壓都能用節(jié)點(diǎn)電壓表示，節(jié)點(diǎn)電壓一旦求得，所有支路電壓也隨之求得，進(jìn)一步求解可求得電路中其他響應(yīng)。所以節(jié)點(diǎn)電壓是一組完備的電壓變量。

2)獨(dú)立性

由于節(jié)點(diǎn)電壓是節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電位差，僅僅由節(jié)點(diǎn)電壓不能構(gòu)成閉合回路，如圖3-7所示，因此各節(jié)點(diǎn)電壓不受KVL約束，具有獨(dú)立性，是一組獨(dú)立的電壓變量。

綜上所述，節(jié)點(diǎn)電壓是一組獨(dú)立且完備的電壓變量。3.3.2節(jié)點(diǎn)方程

為了求出n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓，必須建立n－1個(gè)以節(jié)點(diǎn)電壓為變量的獨(dú)立方程。由于節(jié)點(diǎn)電壓不受KVL約束，因此只能根據(jù)KCL和VCR列方程。由3.1節(jié)介紹已知，對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，去掉一個(gè)參考節(jié)點(diǎn)，剩下的n－1個(gè)節(jié)點(diǎn)即為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)所列的n－1個(gè)KCL方程為一組獨(dú)立的KCL方程。若將KCL方程中的各支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示，則可得到n－1個(gè)以節(jié)點(diǎn)電壓為變量的KCL方程，該組方程即稱為節(jié)點(diǎn)方程。聯(lián)立解節(jié)點(diǎn)方程，即可求得節(jié)點(diǎn)電壓。下面以圖3-7為例來說明節(jié)點(diǎn)方程的建立方法。設(shè)節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，則可得獨(dú)立節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3的KCL方程為

(3-8)將式(3-8)各支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示，得到

(3-9)將式(3-9)代入式(3-8)并整理，得

(3-10)上述方程組是對(duì)圖3-7每個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)所列的以節(jié)點(diǎn)電壓為變量的KCL方程，稱為圖3-7的節(jié)點(diǎn)方程。聯(lián)立求解節(jié)點(diǎn)方程，可得節(jié)點(diǎn)電壓un1、un2及un3。為了找出列寫節(jié)點(diǎn)方程的一般規(guī)律，將式(3-10)改為如下一般形式:

(3-11)式中，方程左邊主對(duì)角線上各項(xiàng)的系數(shù)

G11=G1+G4,

G22=G2+G4+G5,

G33=G3+G5

分別為與節(jié)點(diǎn)1、2、3相連的所有支路的電導(dǎo)之和，稱為節(jié)點(diǎn)1、2、3的自電導(dǎo)；方程左邊非對(duì)角線上的各項(xiàng)系數(shù)

G12=G21=－G4,

G13=G31=0,

G23=G32=－G5

分別為節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2、節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)2與節(jié)點(diǎn)3公共支路上電導(dǎo)之和的負(fù)值，稱為互電導(dǎo)(注：此處由于節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)3之間沒有相連的電導(dǎo)支路，故G13=G31=0)；方程右邊iS11、iS22、iS33分別代表流入節(jié)點(diǎn)1、2、3的所有電流源電流的代數(shù)和，如iS11=iS1－iS3。由以上分析，可得由網(wǎng)絡(luò)直接列寫節(jié)點(diǎn)方程的規(guī)則為

自電導(dǎo)×本節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓+∑互電導(dǎo)

×相鄰節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓

=∑流入本節(jié)點(diǎn)的電流源電流將式(3-11)節(jié)點(diǎn)方程的一般形式進(jìn)一步推廣，則有對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點(diǎn)方程的一般形式可表示為

(3-12)3.3.3節(jié)點(diǎn)分析法的一般步驟

綜上所述，用節(jié)點(diǎn)分析法分析電路的一般步驟如下：

(1)選定參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)注節(jié)點(diǎn)電壓；

(2)對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)按節(jié)點(diǎn)方程的直接列寫規(guī)則列寫節(jié)點(diǎn)方程；

(3)解方程求得節(jié)點(diǎn)電壓；

(4)由節(jié)點(diǎn)電壓求所求響應(yīng)。3.3.4節(jié)點(diǎn)分析法在電路分析中的應(yīng)用

下面舉例說明節(jié)點(diǎn)分析法在電路分析中的應(yīng)用。

1.含獨(dú)立電流源網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)分析

例3-5用節(jié)點(diǎn)分析法求圖3-8所示電路電壓u。

解選節(jié)點(diǎn)3為參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)以接地符號(hào)“⊥”，設(shè)其余兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2，如圖3-8所示。圖3-8例3-5圖則由節(jié)點(diǎn)方程的直接列寫規(guī)則得如下節(jié)點(diǎn)方程:聯(lián)立求解得

un1=21V

un2=35V

故

u=un1－un2=－14V

2.含獨(dú)立電壓源網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)分析

在用節(jié)點(diǎn)分析法分析含有獨(dú)立電壓源的網(wǎng)絡(luò)，建立節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，由于流過電壓源的電流不能直接用節(jié)點(diǎn)電壓表示，因此應(yīng)根據(jù)電壓源在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的形式不同，在列節(jié)點(diǎn)方程時(shí)應(yīng)分別進(jìn)行如下處理：

(1)若電壓源以戴維寧電路形式出現(xiàn)，則可利用戴維寧電路與諾頓電路的等效轉(zhuǎn)換，先將戴維寧電路等效為諾頓電路，再列節(jié)點(diǎn)方程。

(2)若電壓源是無伴的(電壓源不與電阻串聯(lián))，則在選參考節(jié)點(diǎn)時(shí)可將該電壓源的一端所連節(jié)點(diǎn)選為參考節(jié)點(diǎn)，其另一端所連節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓就等于該電壓源的電壓或?yàn)槠湄?fù)值，相應(yīng)該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程可省去。

(3)若電壓源是無伴的，且在選參考節(jié)點(diǎn)時(shí)該電壓源兩端所連節(jié)點(diǎn)均不能選為參考節(jié)點(diǎn)，則在列節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，首先將該電壓源看做電流源，設(shè)流過該電壓源的電流為ix，再按直接列寫法列寫節(jié)點(diǎn)方程，最后列寫用節(jié)點(diǎn)電壓表示電壓源電壓的輔助方程。

例3-6已知電路如圖3-9所示。試用節(jié)點(diǎn)分析法求電流i。

解首先選10V無伴電壓源“-”極所連節(jié)點(diǎn)4為參考節(jié)點(diǎn)，如圖3-9所示，則10V電壓源“＋”極所連節(jié)點(diǎn)1的節(jié)點(diǎn)電壓為un1=10V，同時(shí)該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)方程可省去。而無伴電壓源5V的兩端均不與參考節(jié)點(diǎn)相連，故在列寫節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，將其看成電流為ix的電流源來處理，且其電流參考方向如圖3-9所示。圖3-9例3-6圖則圖示電路的節(jié)點(diǎn)方程為由于三個(gè)方程有4個(gè)未知量，故再增加一輔助方程

un2－un3=5

聯(lián)立求解得

un1=10V,

un2=10V,

un3=5V

故可得

3.含受控源網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)分析

在用節(jié)點(diǎn)分析法分析含有受控源的電路，建立節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，可先將受控源作為獨(dú)立源看待列寫節(jié)點(diǎn)方程，最后再增加用節(jié)點(diǎn)電壓表示控制量的輔助方程。

例3-7已知電路如圖3-10所示。試用節(jié)點(diǎn)分析法求i1、i2。

解選節(jié)點(diǎn)3為參考節(jié)點(diǎn)，如圖3-10所示。電路中含有受控電流源，列方程時(shí)將其看做獨(dú)立源來處理，則可列得該電路的節(jié)點(diǎn)方程為圖3-10例3-7圖聯(lián)立求解得節(jié)點(diǎn)電壓

un1=1.6V,

un2=－0.8V

故

節(jié)點(diǎn)分析法既適用于平面網(wǎng)絡(luò)，也適用于非平面網(wǎng)絡(luò)，故應(yīng)用廣泛。

3.4疊加定理與齊次性定理

由獨(dú)立源和線性元件組成的電路稱為線性電路。線性電路滿足齊次性和可加性，齊次性定理和疊加定理所表達(dá)的就是線性電路的這一基本性質(zhì)。這種基本性質(zhì)在線性電阻電路中表現(xiàn)為電路的激勵(lì)和響應(yīng)之間具有線性關(guān)系。3.4.1疊加定理

疊加定理可表述為：對(duì)于具有唯一解的線性電路，如果有多個(gè)獨(dú)立源同時(shí)作用，則電路中任一響應(yīng)(電流或電壓)等于各獨(dú)立源單獨(dú)作用(其它獨(dú)立源置零)時(shí)在該處所產(chǎn)生的分響應(yīng)(電流或電壓)的代數(shù)和。

下面首先利用圖3-11所示電路說明疊加定理。圖3-11疊加定理示意圖圖3-11(a)所示電路含有兩個(gè)獨(dú)立電流源，圖3-11(b)、(c)分別給出了獨(dú)立電流源單獨(dú)作用時(shí)的電路。對(duì)于圖3-11(a)所示電路，由節(jié)點(diǎn)分析法可得節(jié)點(diǎn)電壓U1、U2與激勵(lì)之間關(guān)系方程為聯(lián)立求解上面方程，得節(jié)點(diǎn)電壓U1

(3-13)

由圖3-11(b)所示電路可得電流源IS1單獨(dú)作用時(shí)的節(jié)點(diǎn)電

壓U

1′

(3-14)由圖3-11(c)所示電路可得電流源IS2單獨(dú)作用時(shí)的節(jié)點(diǎn)電

壓U

1″

(3-15)

顯然，式(3-14)、式(3-15)分別是式(3-13)等式右邊的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)。可見，由兩個(gè)電流源共同作用所產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)電壓等于每個(gè)電流源單獨(dú)作用時(shí)在該節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的電壓的代數(shù)和。疊加定理可以用網(wǎng)孔分析法或節(jié)點(diǎn)分析法獲得證明，此處從略。

疊加定理說明了線性網(wǎng)絡(luò)的可加性這一性質(zhì)，這種性質(zhì)在線性電路的分析中起著重要的作用，它是分析線性電路的基礎(chǔ)。在應(yīng)用疊加定理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)疊加定理適用于線性網(wǎng)絡(luò)，不適用于非線性網(wǎng)絡(luò)；

(2)應(yīng)用疊加定理計(jì)算某一激勵(lì)單獨(dú)作用的分響應(yīng)時(shí)，其他激勵(lì)置零，即獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源開路，電路其余結(jié)構(gòu)都不改變；

(3)任一激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)，該電源的內(nèi)阻、受控源均應(yīng)保留；

(4)受控源不能單獨(dú)作用；

(5)由于疊加的結(jié)果為代數(shù)和，因此要考慮總響應(yīng)與各個(gè)分響應(yīng)的參考方向或參考極性，當(dāng)分響應(yīng)的參考方向與總響應(yīng)的參考方向一致時(shí)，分響應(yīng)取“+”號(hào)，否則取“-”號(hào)；

(6)疊加定理只適用于計(jì)算線性網(wǎng)絡(luò)的電壓和電流，不能用于功率和能量的計(jì)算，因?yàn)樗鼈兪请妷夯螂娏鞯亩魏瘮?shù)。3.4.2齊次性定理

齊次性定理可表述為：在線性電阻電路中，若電路只有一個(gè)激勵(lì)(獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源)作用，則電路中的任一響應(yīng)(電壓或電流)和激勵(lì)成正比；若電路中含有多個(gè)激勵(lì)，則當(dāng)所有激勵(lì)(獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源)都同時(shí)增大或縮小k倍時(shí)(k為任意實(shí)常數(shù))，其響應(yīng)也將相應(yīng)增大或縮小k倍。用齊次性定理可以方便地分析梯形電路。齊次性定理可以方便地用疊加定理證明，這里不在贅述。

需要指出的是，齊次性定理與疊加定理是線性網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)，不能用疊加定理代替齊次性定理，也不能片面認(rèn)為齊次性定理是疊加定理的特例。3.4.3疊加定理和齊次性定理的應(yīng)用

下面舉例說明疊加定理和齊次性定理的應(yīng)用。

例3-8試用疊加定理求圖3-12(a)所示電路的響應(yīng)u。

解利用疊加定理求圖3-12(a)所示電路中電壓，可分別先求出9A電流源單獨(dú)作用(見圖3-12(b))和24V電壓源單獨(dú)作用(見圖3-12(c))時(shí)電路的分響應(yīng)u′和u″，再疊加得到。圖3-12例3-8圖當(dāng)9A電流源單獨(dú)作用時(shí)，電壓源不作用，應(yīng)將其用短路替代，如圖3-12(b)所示，由分流公式及元件伏安關(guān)系得

當(dāng)24V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，電流源不作用，應(yīng)將其用開路替代，如圖3-12(c)所示，由分流公式及元件伏安關(guān)系得

根據(jù)疊加定理得兩電源共同作用時(shí)

u=u′+u″=15+8=23V

例3-9試用疊加定理計(jì)算圖3-13(a)所示電路中電壓u、電流i及2Ω電阻所吸收的功率。

解求圖3-13(a)所示電路中10V電壓源和5A電流源單獨(dú)作用的分響應(yīng)電路分別如圖3-13(b)和圖3-13(c)所示。在用疊加定理分析含受控源電路時(shí)應(yīng)注意：疊加定理中說的只是獨(dú)立源單獨(dú)作用，受控源不能單獨(dú)作為電路的激勵(lì)；在求獨(dú)立源單獨(dú)作用的分響應(yīng)時(shí)，受控源應(yīng)和電阻一樣，始終保留在電路內(nèi)，其控制量和受控源之間的控制關(guān)系不變，只不過控制量不再是原電路中的變量，而變?yōu)榉猪憫?yīng)電路中的相應(yīng)變量，如圖3-13(b)和圖3-13(c)所示。圖3-13例3-9圖當(dāng)10V電壓源單獨(dú)作用時(shí)，電流源不作用，應(yīng)將其用開路替代，而受控源保留且受控源的控制量為i′，如圖3-13(b)所示，由基爾霍夫電壓定律及元件伏安關(guān)系得

2i′+i′+2i′=10

故

i′=2A

u′=1×i′+2i′=6V當(dāng)5A電流源單獨(dú)作用時(shí)，電壓源不作用，應(yīng)將其用短路替代，而受控源保留且受控源的控制量為i″，如圖3-13(c)所示，由基爾霍夫定律及元件伏安關(guān)系得

2i″+(5+i″)+2i″=0

故

i″=－1A

u″=(5+i″)+2i″=2V根據(jù)疊加定理得兩電源同時(shí)作用時(shí)

u=u′+u″=6+2=8V

i=i′+i″=2－1=1A

p2Ω=i2×2=2W

在此應(yīng)注意電阻的功率不能由疊加定理直接求得，因?yàn)楣β逝c電流(電壓)的二次函數(shù)有關(guān)，不是線性關(guān)系，一般不服從疊加定理。

例3-10在圖3-14所示電路中，N0為線性電阻與受控源組成的網(wǎng)絡(luò)，已知當(dāng)uS=3V,iS=2A時(shí)，i2=0.3A；當(dāng)uS=2V，

iS=1A時(shí)，i2=0A。求當(dāng)uS=4V，iS=－3A時(shí)，u2為多少？

解由于N0內(nèi)部不含有獨(dú)立源，則電路只有兩個(gè)激勵(lì)uS、iS，根據(jù)線性網(wǎng)絡(luò)的線性性質(zhì)可得

i2=k1uS+k2iS圖3-14例3-10圖將已知條件代入上式，有

所以當(dāng)uS=4V，iS=－3A時(shí)

i2=k1uS+k2iS=－0.3×4+0.6×(－3)=－3A

u2=－3×103=－3000V

本例分析中體現(xiàn)了線性網(wǎng)絡(luò)的線性性質(zhì)。在分析計(jì)算此類問題時(shí)，必須先建立響應(yīng)和激勵(lì)的關(guān)系式，再求解。3.5替代定理

替代定理又稱置換定理，其內(nèi)容為：在具有唯一解的任意集總參數(shù)電路中，設(shè)已知某支路k的電壓uk或電流ik，且該支路k與電路中其它支路無耦合，則該支路可用一電壓為uk的獨(dú)立電壓源或電流為ik的獨(dú)立電流源替代，替代后電路仍具唯一解，且替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。

替代定理可用圖3-15所示電路來說明。圖3-15替代定理示意圖對(duì)于圖3-15(a)所示電路，可通過計(jì)算得i1=3A，i2=2A，u=8V?，F(xiàn)將4Ω電阻所在支路用iS=i2=2A，方向與原支路電流一致的獨(dú)立電流源替代，如圖3-15(b)所示，或用uS=u=8V，極性與原支路電壓一致的獨(dú)立電壓源替代，如圖3-15(c)所示。由替代后所得兩電路不難求得i1=3A，i2=2A，u=8V，即替代前后電路中各支路電壓和電流保持不變。替代定理的價(jià)值在于：一旦網(wǎng)絡(luò)中某支路(或單口網(wǎng)絡(luò))的電壓或電流為已知量時(shí)，則可用一個(gè)獨(dú)立源來替代該支路(或單口N網(wǎng)絡(luò))，從而簡化電路的分析與計(jì)算。應(yīng)用替代定理分析電路應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)替代定理適用于任意集總參數(shù)電路，無論電路是線性的還是非線性的，時(shí)變的還是時(shí)不變的。

(2)替代定理要求替代前后的電路必須有唯一解。

(3)所替代的支路與其它支路間需無耦合。

(4)“替代”與“等效變換”是兩個(gè)不同的概念，“替代”是用獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源替代已知電壓或電流的支路，替代前后替代支路以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)不能改變，因?yàn)橐坏└淖?，替代支路的電壓和電流將發(fā)生變化；而等效變換是將兩個(gè)具有相同端口伏安特性的電路簡單相互轉(zhuǎn)換，與變換以外電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)無關(guān)。

(5)不僅可以用電壓源或電流源替代已知電壓或電流的支路，而且可以替代已知端口電壓或端口電流的二端網(wǎng)路。因此應(yīng)用替代定理可將一個(gè)大網(wǎng)絡(luò)“撕裂”成若干個(gè)小網(wǎng)絡(luò)，用于大網(wǎng)絡(luò)的分析，如圖3-16所示。圖3-16大網(wǎng)絡(luò)的撕裂

3.6戴維寧定理和諾頓定理

第2章介紹了利用等效化簡的方法求含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路，盡管該方法直接、簡便，但只在某些特殊場合使用較為方便(例如電阻串、并聯(lián)時(shí))，當(dāng)電路較復(fù)雜時(shí)用此方法求等效電路則很麻煩。因此本節(jié)將介紹另一種求含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路及VCR的方法——戴維寧定理和諾頓定理，這兩種方法對(duì)求含源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電路及VCR能提出普遍適用的形式，故它們可適用于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的分析計(jì)算，應(yīng)用更廣泛。3.6.1戴維寧定理

戴維寧定理(Thevenin’sTheorem)是由法國電訊工程師戴維寧于1883年提出的。戴維寧定理可表述如下：任意一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N(如圖3-17(a)所示)，就其兩個(gè)輸出端而言，總可與一個(gè)獨(dú)立電壓源和一個(gè)線性電阻串連的電路等效(如圖3-17(b)所示)，其中獨(dú)立電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)N輸出端的開路電壓uOC(如圖3-17(c)所示)，串聯(lián)電阻R0等于將該二端網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)所有獨(dú)立源置零時(shí)從輸出端看入的等效電阻(如圖3-17(d)所示)。

定理中的獨(dú)立電壓源與電阻串連的電路通常稱為二端網(wǎng)絡(luò)N的戴維寧等效電路(如圖3-17(b)所示)。圖3-17戴維寧定理示意圖戴維寧定理可用疊加定理和替代定理證明，下面給出該定理的證明。圖3-18(a)所示是線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N與外電路相連接的電路。假設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)N輸出端鈕ab上的電壓、電流分別為u和i，則根據(jù)替代定理，可用iS=i的獨(dú)立電流源替代外電路，如圖3-18(b)所示，替換后網(wǎng)絡(luò)N端口電壓、電流不變。又由于含源二端網(wǎng)絡(luò)N是線性網(wǎng)絡(luò)，故根據(jù)疊加定理，圖3-18(b)所示電路中的電壓u可看成兩個(gè)電壓分量之和，即u=u′+u″，其中u′是iS=0時(shí)由網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)部所有獨(dú)立源作用時(shí)在端口所產(chǎn)生的電壓分量，即網(wǎng)絡(luò)N的開路電壓，則有u′=uOC，如圖3-18(c)所示；u″為網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)部所有獨(dú)立源置零且僅有獨(dú)立電流源iS單獨(dú)作用時(shí)在ab端所產(chǎn)生的電壓分量，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)N成為一無源二端網(wǎng)絡(luò)N0，因此可用其輸出電阻R0等效替代，它在電流iS的作用下產(chǎn)生的電壓為u″=－R0iS=－R0i，如圖3-18(d)所示。所以有

u=u′+u″=uOC－R0i

(3-16)

式(3-16)即為線性含源二端網(wǎng)絡(luò)N在端口ab處的伏安關(guān)系的一般表示形式，它與戴維寧電路對(duì)外供電時(shí)的伏安關(guān)系完全一致。這說明：線性含源二端網(wǎng)絡(luò)N就其端口a、b而言，可等效為一個(gè)實(shí)際電壓源模型(戴維寧電路模型)，如圖3-18(e)所示。由此證明了戴維寧定理。圖3-18戴維寧定理證明用圖3.6.2諾頓定理

諾頓定理(Norton’sTheorem)是由美國貝爾電話實(shí)驗(yàn)室工程師諾頓于1926年提出的。諾頓定理與戴維寧定理有對(duì)偶關(guān)系，其內(nèi)容表述如下：任意一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N(如圖3-19(a)所示)就其兩個(gè)輸出端而言，總可與一個(gè)獨(dú)立電流源和一個(gè)線性電阻并聯(lián)的電路等效(如圖3-19(b)所示)，其中獨(dú)立電流源的電流等于該二端網(wǎng)絡(luò)N輸出端的短路電流iSC(如圖3-19(c)所示)，并聯(lián)電阻R0等于將該二端網(wǎng)絡(luò)N內(nèi)所有獨(dú)立源置零時(shí)從輸出端看入的等效電阻(如圖3-19(d)所示)。圖3-19諾頓定理示意圖定理中的獨(dú)立電流源與電阻并聯(lián)的電路通常稱為二端網(wǎng)絡(luò)N的諾頓等效電路(如圖3-19(b)所示)。諾頓定理的證明和戴維寧定理的證明相似，這里不再贅述。

應(yīng)用戴維寧定理和諾頓定理時(shí)的幾點(diǎn)說明：

(1)應(yīng)用戴維寧定理和諾頓定理時(shí)，要求被等效的含源二端網(wǎng)絡(luò)N是線性的，且與外電路之間無耦合關(guān)系。

(2)在求戴維寧等效電路或諾頓等效電路中的電阻R0時(shí)，應(yīng)將二端網(wǎng)絡(luò)中的所有獨(dú)立源置零，但受控源應(yīng)保留在電路中。

(3)當(dāng)R0≠0且R0≠∞時(shí)，有源二端網(wǎng)絡(luò)既有戴維寧等效電路又有諾頓等效電路，且uOC、iSC、R0存在如下關(guān)系：3.6.3戴維寧定理和諾頓定理的應(yīng)用

戴維寧定理和諾頓定理在電路分析中應(yīng)用廣泛。在一個(gè)復(fù)雜的電路中，如果對(duì)某些二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的電壓、電流無求解需求，就可用這兩個(gè)定理對(duì)這些二端網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行化簡，特別是僅對(duì)電路的某一元件感興趣時(shí)，這兩個(gè)定理尤為適用。

例3-11試求圖3-20(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。圖3-20例3-11圖

解

(1)求開路電壓uOC。求開路電壓電路如圖3-11(b)所示，因?yàn)閕=0，所以

故

(2)求等效電阻R0。將二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源置零得圖

3-20(c)所示求等效電阻R0電路，則其輸出電阻R0為

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得所求戴維寧等效電路如圖3-20(d)所示。

例3-12試求圖3-21(a)所示二端網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效電路。

解

(1)求短路電流iSC。求短路電流iSC的電路如圖3-21(b)所示，由KVL得

6i′+3i′=0

解得受控源控制量i′為

i′=0

所以

圖3-21例3-12圖

(2)求輸出電阻R0。將二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源置零得圖

3-21(c)所示求等效電阻R0電路，由于電路中含有受控源，故本題用加壓求流法求等效電阻，設(shè)a、b端口電壓為u″，電流

為i1。

由KVL得

u″=6i″+3i″=9i″又由6Ω和3Ω并聯(lián)電阻的分流關(guān)系得

所以

因此可得所求諾頓等效電路如圖3-21(d)所示。

例3-13試用戴維寧定理求圖3-22(a)所示電路中的電壓u。

解本題為了求Ω電阻上的電壓u，可先將a、b端子以左以及c、d端子以右的有源二端網(wǎng)絡(luò)分別用戴維寧等效電路來等效，然后再求響應(yīng)。

(1)求a、b端子以左有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。

①求開路電壓uOC1。求a、b端子以左有源二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓的電路如圖3-22(b)所示，因?yàn)閕=0，故圖中受控電流源也開路，則有

uOC1=－3V圖3-22例3-13圖②求等效電阻R01。將圖3-22(b)所示二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源置零得圖3-22(c)所示求等效電阻R01電路，由于電路中含有受控源，故用加壓求流法求等效電阻，設(shè)a、b端口電壓為u′，電流為i′。則由KVL可得

u′=2i′+2(i′+2i′)=8i′

故

從而得a、b端子以左有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路如圖(f)所示。

(2)求c、d端子以右有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。

①求開路電壓uOC2。求c、d端子以右有源二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓的電路如圖3-22(d)所示，可得②求等效電阻R02。將圖3-22(d)所示二端網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源置零得圖3-22(e)所示求等效電阻R02電路，可得

從而得c、d端子以右有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路如圖3-22(f)所示。

(3)求電壓u。由圖3-22(f)得由以上例題可以看出，用戴維寧定理或諾頓定理分析線性網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于求有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端的開路電壓或短路電流以及相應(yīng)的無源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，從而得到其相應(yīng)的戴維寧等效電路或諾頓等效電路。一般而言：

(1)開路電壓、短路電流的求取，只需根據(jù)定義將原電路輸出端開路或短路，然后用節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法或其它方法求得。

(2)等效電阻的計(jì)算有三種方法：

①對(duì)于簡單電阻電路，可直接利用電阻的串并聯(lián)等效求得。

②對(duì)于復(fù)雜的無源二端網(wǎng)絡(luò)(尤其是含受控源的無源二端網(wǎng)絡(luò))，可用外加電源法求其等效電阻，即可以通過在網(wǎng)絡(luò)輸出端加電壓源(或電流源)求出輸出端的電流(或電壓)，再由式

求得等效電阻R0。

③開路短路法，即首先求出有源二端網(wǎng)絡(luò)輸出端的開路電壓uOC和短路電流iSC，再由式求出等效電阻R0。3.6.4最大功率傳輸定理

在通信技術(shù)中，常常希望負(fù)載能從信號(hào)源獲得最大功率。事實(shí)上，在信號(hào)源給定的情況下，負(fù)載不同，它從信號(hào)源獲得的功率也不同。下面我們將討論與線性有源二端網(wǎng)絡(luò)相接的負(fù)載電阻RL為何值時(shí)才能獲得最大功率。

根據(jù)戴維寧定理，與負(fù)載相連的有源二端網(wǎng)絡(luò)總可以用戴維寧等效電路等效。因而，對(duì)負(fù)載從有源二端網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率的討論可以轉(zhuǎn)化為對(duì)圖3-23所示電路的分析。由于有源二端網(wǎng)絡(luò)已給定，故圖3-23所示電路中的獨(dú)立電壓源uOC和電阻R0為定值，負(fù)載電阻RL所吸收的功率p只隨RL的變化而變化。圖3-23求最大功率傳輸在圖3-23所示電路中，負(fù)載電阻RL為任意值時(shí)，它所吸收的功率pL為

(3-17)因?yàn)楫?dāng)RL=0或RL=∞時(shí)，pL=0，所以RL為(0，∞)區(qū)間中的某個(gè)值時(shí)可獲得最大功率。由高等數(shù)學(xué)知識(shí)知，要使pL為最大，應(yīng)使dpL/dRL=0，即

(3-18)

由此可得pL為最大時(shí)的RL大小為

RL=R0

(3-19)即，在負(fù)載電阻RL與有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路的等效電阻R0相等的條件下，負(fù)載電阻RL可或最大功率，此條件稱為最大功率傳輸定理。滿足RL=R0時(shí)，稱為最大功率匹配，此時(shí)負(fù)載獲得的最大功率為

(3-20)

從式(3-20)不難看出，求解最大功率傳輸問題的關(guān)鍵在于求有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路。

例3-14已知電路如圖3-24(a)所示，其中電阻RL可調(diào)。試問RL為何值時(shí)能獲得最大功率，此最大功率為多少？

解首先求圖3-24(a)中RL以外的有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效電路，由圖3-24(b)求得

由圖3-24(c)求得

R0=10∥10=5Ω圖3-24例3-14圖圖3-24(a)所示電路可等效為圖3-24(d)所示電路，可知，當(dāng)RL=R0=5Ω時(shí)，可獲得最大功率，此時(shí)最大功率為

3.7互易定理

互易定理(ReciprocityTheorem)是互易網(wǎng)絡(luò)所具有的重要性質(zhì)之一。粗略地說，如果將一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的激勵(lì)和響應(yīng)的位置互易，而網(wǎng)絡(luò)對(duì)相同激勵(lì)的響應(yīng)不變，則稱該網(wǎng)絡(luò)具有互易性。具有互易性的網(wǎng)絡(luò)稱為互易網(wǎng)絡(luò)。由于并非所有網(wǎng)絡(luò)都是互易網(wǎng)絡(luò)，因此互易定理的適用范圍較狹窄。3.7.1互易定理

互易定理分三種形式進(jìn)行描述。

互易定理形式一的內(nèi)容如下：如圖3-25所示電路，設(shè)網(wǎng)絡(luò)NR為不含獨(dú)立源和受控源僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡(luò)，若在端子11′端加入電壓源uS作為激勵(lì)，端子22′端的短路電流i2為響應(yīng)，如圖3-25(a)所示，如將激勵(lì)和響應(yīng)的位置互換，即相當(dāng)于把此激勵(lì)移至22′端，而響應(yīng)為11′端的短路電流i1′，如圖3-25(b)所示，則在圖3-25所示電路的各電壓、電流參考方向下，有

i1′=i2圖3-25互易定理形式一互易定理形式二的內(nèi)容如下：如圖3-26所示電路，設(shè)網(wǎng)絡(luò)NR為不含獨(dú)立源和受控源僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡(luò)，若在端子11′端加入電流源iS作為激勵(lì)，端子22′端的開路電壓u2為響應(yīng)，如圖3-26(a)所示，如將激勵(lì)和響應(yīng)的位置互換，即相當(dāng)于把此激勵(lì)移至22′端，而響應(yīng)為11′端的開路電壓u1′，如圖3-26(b)所示，則在圖3-26所示電路的各電壓、電流參考方向下，有

u1′=u2圖3-26互易定理形式二互易定理形式三的內(nèi)容如下：如圖3-27所示電路，設(shè)網(wǎng)絡(luò)NR為不含獨(dú)立源和受控源僅由線性電阻組成的網(wǎng)絡(luò)，若在端子11′端加入電壓源uS作為激勵(lì)，端子22′端的開路電壓u2為響應(yīng)，如圖3-27(a)所示，如將激勵(lì)和響應(yīng)的位置互換，且將激勵(lì)換成相同數(shù)值的電流源iS，而響應(yīng)為11′端的短路電流i1′，如圖3-27(b)所示，則在圖3-27所示電路的各電壓、電流參考方向下，有u2與i1′在數(shù)值上相等。圖3-27互易定理形式三互易定理可用網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔方程組或節(jié)點(diǎn)方程組來獲得證明，此處從略。滿足互易定理的無源網(wǎng)絡(luò)NR中無受控源，這使得網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔方程組或節(jié)點(diǎn)方程組的系數(shù)行列式對(duì)稱于它的主對(duì)角線，從而保證了互易定理的成立。應(yīng)用互易定理分析電路時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)互易定理只適用于不含受控源的單個(gè)獨(dú)立源激勵(lì)的線性網(wǎng)絡(luò)，對(duì)其它網(wǎng)絡(luò)一般不適用。

(2)要注意定理中響應(yīng)和激勵(lì)的參考方向。對(duì)于形式一、形式二，若互易兩支路互易前后激勵(lì)和響應(yīng)參考方向關(guān)系一致(都關(guān)聯(lián)或都非關(guān)聯(lián))，則相同的激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)相同；否則相同激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)相差一個(gè)負(fù)號(hào)。對(duì)于形式三，若互易兩支路互易前后激勵(lì)和響應(yīng)參考方向關(guān)系不一致，則數(shù)值上相等的激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)數(shù)值上相同；否則數(shù)值上相等的激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)數(shù)值上差一個(gè)負(fù)號(hào)。3.7.2互易定理的應(yīng)用

例3-15試求圖3-28(a)所示電路中的電流i。

解由于圖3-28(a)所示電路中的Rx未知，因此直接求電流i較為困難。故應(yīng)用互易定理的形式一求解，將圖3-28(a)中的激勵(lì)5V電壓源與響應(yīng)10Ω電阻支路中的電流i的位置互換，互易后的電路如圖3-28(b)所示。根據(jù)互易定理可知圖3-28(b)中的電流i′與圖3-28(a)中的電流i應(yīng)相等。圖3-28例3-15圖由于圖3-28(b)為平衡電橋電路，故Rx中無電流，可用開路替代，因而有

利用分流公式，得出

故

例3-16已知線性無源二端網(wǎng)絡(luò)N0僅由電阻組成，如圖

3-29(a)所示，當(dāng)uS=10V時(shí)，u2=20V。求當(dāng)電路改為圖3-29(b)所示電路時(shí)的電流i。

解首先將圖3-29(a)改畫成圖3-29(c)所示電路，顯然圖(b)和圖(c)符合互易定理的形式三，因此根據(jù)互易定理的形式三及線性網(wǎng)絡(luò)的齊次性可得圖3-29例3-16圖

3.8電路的對(duì)偶特性與對(duì)偶電路

3.8.1電路的對(duì)偶特性

電路的對(duì)偶特性是指電路中的如變量、元件、定律等是成對(duì)出現(xiàn)的，且存在明顯的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

例如圖3-30所示平面網(wǎng)絡(luò)，對(duì)圖(a)網(wǎng)孔列KVL方程，有

uS=u1+u2=R1i+R2i

(3-21)

對(duì)圖(b)節(jié)點(diǎn)A可列KCL方程，得

iS=i1+i2=G1u+G2u

(3-22)圖3-30電路對(duì)偶特性示意圖在這里，電路變量電壓與電流對(duì)偶，電路結(jié)構(gòu)網(wǎng)孔與節(jié)點(diǎn)對(duì)偶，電路元件電阻與電導(dǎo)對(duì)偶，電壓源與電流源對(duì)偶，電路結(jié)構(gòu)串聯(lián)與并聯(lián)對(duì)偶，電路定律KVL與KCL對(duì)偶。在電路分析中將上述的這種對(duì)偶變量、元件、結(jié)構(gòu)及定律等統(tǒng)稱為對(duì)偶元素。若將式(3-21)中的各元素用它的對(duì)偶元素替代，即得式

(3-22)。在電路分析中，將其中一式的各元素用其對(duì)偶元素替換，若得到的另一式也成立且形式相同，則這種具有對(duì)偶性質(zhì)的關(guān)系式稱為對(duì)偶關(guān)系式。在此應(yīng)注意：“對(duì)偶”和“等效”是兩個(gè)不同的概念，不可混淆。

電路的對(duì)偶特性是電路的一個(gè)普遍特性，認(rèn)識(shí)到電路的這種對(duì)偶特性有助于學(xué)者掌握電路的規(guī)律，由此及彼，學(xué)一知二?，F(xiàn)將一些常見的對(duì)偶元素列于表3-1，以供參考使用。表3-1電路中的常見對(duì)偶元素

3.8.2對(duì)偶電路

考慮圖3-31所示兩個(gè)電路N和N′，對(duì)電路N可列網(wǎng)孔方程

(R1+R2)im1－R2im2=US1(3-23a)

－R2im2+(R2+R3)im2=uS2(3-23b)

對(duì)電路N′可列節(jié)點(diǎn)方程

(G1+G2)un1－G2un2=iS1

(3-24a)

－G2un1+(G2+G3)un2=iS2

(3-24b)圖3-31對(duì)偶電路示意圖比較這兩組方程，可以看出它們形式相同，對(duì)應(yīng)變量是對(duì)偶元素，因此是對(duì)偶方程組。電路分析中把像這樣一個(gè)電路的節(jié)點(diǎn)方程(網(wǎng)孔方程)與另一電路的網(wǎng)孔方程(節(jié)點(diǎn)方程)對(duì)偶的兩電路稱為對(duì)偶電路。因此電路N與N′是對(duì)偶電路。根據(jù)對(duì)偶性，若對(duì)某一電路進(jìn)行了分析，那么其對(duì)偶電路的對(duì)偶響應(yīng)也即可得。如圖3-31所示兩電路，若進(jìn)一步令這對(duì)對(duì)偶電路的對(duì)偶元件參數(shù)在數(shù)值上相等，即R1=G1，G2=G2，R3=G3，iS1=uS1，iS2=uS2，則求得電路N中的網(wǎng)孔電流im1，電路N′中節(jié)點(diǎn)電壓un1也已知。需指出，當(dāng)且僅當(dāng)電路為平面網(wǎng)絡(luò)時(shí)才有對(duì)偶電路存在。

那么對(duì)于給定電路，如何求其對(duì)偶電路呢？下面介紹常用的一種方法——打點(diǎn)法，其具體步驟如下：

(1)在給定電路N的每一網(wǎng)孔中安放其對(duì)偶電路N′的對(duì)偶節(jié)點(diǎn)；在外網(wǎng)孔安放N′的參考節(jié)點(diǎn)。

(2)穿過電路N中的每一元件將與該元件相關(guān)聯(lián)的兩網(wǎng)孔中的對(duì)偶節(jié)點(diǎn)相連構(gòu)成電路N′的一條支路，并在該支路上放上該支路所穿過元件的對(duì)偶元件。

(3)確定對(duì)偶電路N′中各電源的參考方向，在電路N中，設(shè)各網(wǎng)孔的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。若某網(wǎng)孔含有電壓源，且電壓源電壓升的方向與該網(wǎng)孔方向一致，則穿過此電壓源的對(duì)偶電路N′的支路上的對(duì)偶電流源的參考方向?yàn)榱魅朐摼W(wǎng)孔所對(duì)偶的節(jié)點(diǎn)；若某網(wǎng)孔含有電流源，且電流源的參考方向與該網(wǎng)孔方向一致，則穿過此電流源的對(duì)偶電路N′的支路上對(duì)偶電壓源的正極與該網(wǎng)孔中對(duì)偶電路N′的節(jié)點(diǎn)相接。

(4)最后整理得對(duì)偶電路。

注：若電路中含有受控源，作對(duì)偶電路時(shí)，受控源看成獨(dú)立源處理，且控制量轉(zhuǎn)換為對(duì)偶變量。

例3-17試用打點(diǎn)法畫出圖3-32(a)所示電路的對(duì)偶電路。

解

(1)在給定電路的每一網(wǎng)孔中安放其對(duì)偶電路的節(jié)點(diǎn)，在外網(wǎng)孔安放對(duì)偶電路的參考節(jié)點(diǎn)，如圖3-32(b)所示。

(2)穿過原電路的每一元件，將與該元件相關(guān)聯(lián)的兩網(wǎng)孔中的對(duì)偶電路的節(jié)點(diǎn)相連，得對(duì)偶電路的支路，并在該支路上放上其所穿過元件的對(duì)偶元件，得對(duì)偶電路的元件，如圖3-32(b)所示。

(3)確定對(duì)偶電路中uS′、iS′、βi3及控制量i3的方向。

(4)整理，得對(duì)偶電路如圖3-32(c)所示。圖3-32例3-17圖

習(xí)題3

3-1已知題3-1圖所示電路中，i1=1A，i2=2A。試用支路分析法求R1、R2的值。題3-1圖

3-2在題3-2圖所示電路中，已知R1=10Ω，R2=3Ω，R3=12Ω，R4=2Ω，uS1=12V，uS2=5V，試用支路分析法求各支路電流i1、i2、i3，并用功率平衡校驗(yàn)。題3-2圖

3-3在題3-3圖所示電路中，已知R1=4Ω，R2=1Ω，R3=5Ω，R4=2Ω，uS1=20V，uS2=12V，試用支路分析法求

I1、I2，以及R3消耗的功率。題3-3圖

3-4試用網(wǎng)孔分析法求題3-4圖所示電路中的電流i和電壓u。題3-4圖

3-5試用網(wǎng)孔分析法求題3-5圖所示電路中的電流I。

題3-