2024-2025學(xué)年廣東省佛山市H7教育共同體高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市H7教育共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，直線的斜率，則傾斜角；對于B，直線的傾斜角；對于C，直線的斜率，則傾斜角；對于D，直線的傾斜角，所以直線的傾斜角最大.故選：C2.已知為隨機(jī)事件，A與B互斥，B與C互為對立，且，，則（）A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】因?yàn)锽與C互為對立，，所以，因?yàn)锳與B互斥，所以.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】由題意可設(shè)，即，即，解得，所以.故選：A4.若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，由題意得，解得.故選：C.5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn).A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓的對稱性可得，則，則不妨取，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率.故選：B.6.已知，，，，，若從A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓內(nèi)，由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓上，從A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，則基本事件總數(shù)有,共10種，兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外包含基本事件個(gè)數(shù)有共3種，設(shè)事件表示從五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外，則.故選：C7.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點(diǎn)M，則光線從P到M經(jīng)過的路程為（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則光線反射后經(jīng)過的路徑所在的直線即為直線.根據(jù)的定義，有到直線的距離相等，且其連線與其垂直，故，.從而，，故，即或.但不重合，故，所以，從而，即.而，，故.根據(jù)對稱性，光線經(jīng)過的路程即為.故選：C.8.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，即，故直線的一個(gè)方向向量為，又經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，即，故的一個(gè)法向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B.若，則C是圓C.若，則C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D.若，則C是兩條平行于y軸的直線【答案】ABD【解析】對于A，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則曲線，所以C是圓，故B正確；對于C，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.故選：ABD.10.在四棱錐中,,,,，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四邊形為正方形B.四邊形的面積為C.在上的投影向量的坐標(biāo)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【解析】對于A，，則，所以，與不垂直，所以四邊形為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對于B，，所以，所以四邊形的面積為，故B正確；對于C，，則在上的投影向量為，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知,,是曲線上的任意一點(diǎn),若的值與無關(guān)，則（）A.m的取值范圍為B.n的取值范圍為C.的最大值為7D.的最小值為【答案】ACD【解析】由曲線，得，則（），所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（軸及以上部分）.設(shè)直線：與：，由，得表示點(diǎn)到直線和的距離和的2倍，對于AB，若的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行直線：與：之間，當(dāng)與該曲線相切時(shí)，，解得，則的取值范圍為，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，則的取值范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C，由圖知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，為，所以的最大值為7，故C正確；對于D，由圖可知，當(dāng)與該曲線相切，且經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線和的距離和最小，此時(shí)，則點(diǎn)到直線和的距離和最小值為，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為_______.【答案】或【解析】令，則，令，則，則，即，解得或.故答案為：或.13.在四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，若四點(diǎn)共面，則_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：.14.已知P是橢圓的一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，且P滿足，.若的角平分線與x軸交于點(diǎn)，則橢圓C的長軸長為_______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，即，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又因?yàn)榈慕瞧椒志€與x軸交于點(diǎn)，則，又因?yàn)椋?，所以，即，解得，所以，即橢圓C的長軸長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線的斜率，所以直線的方程為，即，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以.16.如圖，在正方體中，分別為和的中點(diǎn).（1）證明：直線平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以，又平面，所以直線平面；（2）A0,0,0故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，即平面與平面夾角的余弦值.17.某中學(xué)舉辦科學(xué)競技活動(dòng)，報(bào)名參加科學(xué)競技活動(dòng)的同學(xué)需要通過兩輪選拔.第一輪為筆試，設(shè)有三門考試科目且每門是否通過相互獨(dú)立，至少有兩門通過，則認(rèn)為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場面試.面試合格者代表年級組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級甲、乙兩名學(xué)生報(bào)名參加本次競技活動(dòng)，假設(shè)筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.（1）求甲能夠代表年級組參加全校的決賽的概率；（2）求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級組參加全校的決賽的概率.解：（1）由題意甲能夠代表年級組參加全校的決賽的概率為：；（2）由題意乙能夠代表年級組參加全校的決賽的概率為：，所以甲、乙兩人中有且只有一人代表年級組參加全校的決賽的概率為：.18.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn).（1）已知，且點(diǎn)在C上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求的最大值.（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且的面積等于9，求的值和的取值范圍.解：（1）（Ⅰ）由題意得，所以，所以橢圓C的方程為；（Ⅱ）設(shè)，則，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為；（2）取得中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，則，所以，由，得，即，所以，即，所以，因?yàn)镻為C上一點(diǎn)，且，則的最大值要大于等于，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則，所以，則，所以，所以，所以.19.圖1是直角梯形ABCD，，，，，，，以BE為折痕將BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面ABED；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（3）在棱上是否存在點(diǎn)P，使得二面角的平面角為？若存在，求出線段的長度，若不存在說明理由．解：（1）在圖1中，連結(jié)AE，由已知條件得，∵且，∴四邊形ABCE為菱形，連結(jié)AC交BE于點(diǎn)F，∴，又∵在中，，∴，在圖2中，，∵，∴，由題意知，且∴平面ABED，又平面，∴平面平面ABED；（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，分別為x，y軸，方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，即，令，解得，，所以，，記直線與平面所成角為，則．（3）假設(shè)存在，設(shè)，所以，，∵平面，易得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量，由，可得，可取，則，解得，此時(shí)．廣東省佛山市H7教育共同體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，直線的斜率，則傾斜角；對于B，直線的傾斜角；對于C，直線的斜率，則傾斜角；對于D，直線的傾斜角，所以直線的傾斜角最大.故選：C2.已知為隨機(jī)事件，A與B互斥，B與C互為對立，且，，則（）A.0.06 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】D【解析】因?yàn)锽與C互為對立，，所以，因?yàn)锳與B互斥，所以.故選：D.3.已知向量，，若，則（）A. B.2 C. D.1【答案】A【解析】由題意可設(shè)，即，即，解得，所以.故選：A4.若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，由題意得，解得.故選：C.5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn).A. B. C. D.【答案】B【解析】由橢圓的對稱性可得，則，則不妨取，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，所以，所以的離心率.故選：B.6.已知，，，，，若從A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓內(nèi)，由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓外，由可得點(diǎn)在圓上，從A，B，C，D，E這五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，則基本事件總數(shù)有,共10種，兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外包含基本事件個(gè)數(shù)有共3種，設(shè)事件表示從五個(gè)點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)都落在圓外，則.故選：C7.一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點(diǎn)M，則光線從P到M經(jīng)過的路程為（）A.4 B.5 C. D.【答案】C【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則光線反射后經(jīng)過的路徑所在的直線即為直線.根據(jù)的定義，有到直線的距離相等，且其連線與其垂直，故，.從而，，故，即或.但不重合，故，所以，從而，即.而，，故.根據(jù)對稱性，光線經(jīng)過的路程即為.故選：C.8.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，即，故直線的一個(gè)方向向量為，又經(jīng)過點(diǎn)的平面的方程為，即，故的一個(gè)法向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B.若，則C是圓C.若，則C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D.若，則C是兩條平行于y軸的直線【答案】ABD【解析】對于A，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則曲線，所以C是圓，故B正確；對于C，若，則，所以C是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；對于D，若，則，所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.故選：ABD.10.在四棱錐中,,,,，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四邊形為正方形B.四邊形的面積為C.在上的投影向量的坐標(biāo)為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】BCD【解析】對于A，，則，所以，與不垂直，所以四邊形為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對于B，，所以，所以四邊形的面積為，故B正確；對于C，，則在上的投影向量為，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知,,是曲線上的任意一點(diǎn),若的值與無關(guān)，則（）A.m的取值范圍為B.n的取值范圍為C.的最大值為7D.的最小值為【答案】ACD【解析】由曲線，得，則（），所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓（軸及以上部分）.設(shè)直線：與：，由，得表示點(diǎn)到直線和的距離和的2倍，對于AB，若的值與無關(guān)，則該曲線在兩平行直線：與：之間，當(dāng)與該曲線相切時(shí)，，解得，則的取值范圍為，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，則的取值范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C，由圖知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，為，所以的最大值為7，故C正確；對于D，由圖可知，當(dāng)與該曲線相切，且經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線和的距離和最小，此時(shí)，則點(diǎn)到直線和的距離和最小值為，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為_______.【答案】或【解析】令，則，令，則，則，即，解得或.故答案為：或.13.在四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，若四點(diǎn)共面，則_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：.14.已知P是橢圓的一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，且P滿足，.若的角平分線與x軸交于點(diǎn)，則橢圓C的長軸長為_______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，即，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又因?yàn)榈慕瞧椒志€與x軸交于點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以，即橢圓C的長軸長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線的斜率，所以直線的方程為，即，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以.16.如圖，在正方體中，分別為和的中點(diǎn).（1）證明：直線平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以，又平面，所以直線平面；（2）A0,0,0故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，即平面與平面夾角的余弦值.17.某中學(xué)舉辦科學(xué)競技活動(dòng)，報(bào)名參加科學(xué)競技活動(dòng)的同學(xué)需要通過兩輪選拔.第一輪為筆試，設(shè)有三門考試科目且每門是否通過相互獨(dú)立，至少有兩門通過，則認(rèn)為是筆試合格.若筆試不合格，則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場面試.面試合格者代表年級組參加全校的決賽.現(xiàn)有某年級甲、乙兩名學(xué)生報(bào)名參加本次競技活動(dòng)，假設(shè)筆試中甲每門合格的概率均為，乙每門合格的概率分別是，，，甲、乙面試合格的概率分別是，.（1）求甲能夠代表年級組參加全校的決賽的概率；（2）求甲、乙兩人中有且只有一人代表年級組參加全校的決賽的概率.解：（1）由題意