2023-2024學年山西省大同市高二上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省大同市2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線過點，，則直線在軸上的截距是（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由題可得直線的斜率，再由點斜式方程可得，化簡可得，令，則直線在軸上的截距為.故選：D．2.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題得，切點坐標為，，所以函數(shù)在切點處的切線斜率，切線方程為，化簡得．故選：A．3.等差數(shù)列的前項和為．若，則（）A.8092 B.4048 C.4046 D.2023【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，解得，所以．故選：C．4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，可得其的定義域為，且，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選：B．5.設(shè)圓，圓，則是兩圓相切的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題可得圓的圓心坐標為，半徑為2，圓的圓心坐標為，半徑為，故圓心距，因為兩圓相切可分為外切和內(nèi)切，當兩圓外切時，圓心距，解得；當兩圓內(nèi)切時，圓心距，解得，或（舍去），所以是兩圓相切的充分不必要條件.故選：B．6.若橢圓的離心率和雙曲線的離心率恰好是關(guān)于的方程的兩個實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由橢圓與雙曲線的性質(zhì)可知，橢圓的離心率，雙曲線的離心率，關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，，令，則解得：．故選：D．7.已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是坐標原點，且，則的面積等于（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】橢圓的半焦距，則，設(shè)點，于是，消去得，所以的面積.故選：C8.已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】等式，等號兩邊同除以，可得，所以，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，顯然，函數(shù)在定義域內(nèi)增函數(shù)，所以，即．故選：A．二、選擇題（本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．）9.已知空間四點，，，，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A. B.C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】對于A中，由，，可得，所以，所以A正確；對于B中，由空間的距離公式，可得，所以B正確；對于C中，取向量，，可得，，所以點到直線的距離為，所以C錯誤；對于D中，由向量，，，設(shè)平面的法向量為，則,令，可得，，所以，所以點到平面的距離為，所以D錯誤．故選：AB．10.已知雙曲線的方程為，則（）A. B.的焦點可以在軸上C.的焦距一定為8 D.的漸近線方程可以為【答案】ACD【解析】由題意得，解得，即A正確；可得雙曲線的標準方程為，故雙曲線的焦點一定在軸上，所以B錯誤；易知雙曲線的焦距為，所以C正確；顯然當時，雙曲線的標準方程為，其漸近線方程為，所以D正確．故選ACD．11.已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A選項，取，得，又，所以，取，得，所以，顯然，即數(shù)列一定不是等比數(shù)列，所以A錯誤；對于B選項，取，得，取，得，所以，所以B正確；對于C，D選項，由，得，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，，所以C，D均正確．故選:BCD．12.已知點是焦點為的拋物線上的一個動點，，則（）A.的最小值為1 B.的最小值為4C.最小值為3 D.的最大值為【答案】AB【解析】由拋物線方程，得其焦點，準線方程為，過作于點，則，顯然當在坐標原點時有最小值，此時，即的最小值為1，所以A正確；由于，故當三點共線時，即在坐標原點時有最小值，此時，即的最小值為4，所以B正確；對于C選項，設(shè)，則，當時，取得最小值，最小值為，所以C錯誤．對于D選項，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，若，則，，，所以；若，則，，，所以；若且，此時且，，，所以，因為，所以，即．令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以．此時有最大值為1．而，則．綜上，的最大值為．所以D錯誤．故選:AB．三、填空題（本大題共4小題．）13.已知為等比數(shù)列，，，則______．【答案】【解析】設(shè)公比為．由題可得，所以，即，又，所以．故答案為：14.點，分別是雙曲線的左、右焦點，點在上，且，則的周長是______．【答案】【解析】由題意，在雙曲線中，，∴，，由余弦定理的推論可得，所以，所以，，所以，所以，所以的周長為．故答案為：.15.已知拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點，且點在第一象限，若，則______．【答案】9【解析】拋物線的焦點為，代入得，聯(lián)立可得，化簡得，又點在第一象限，解得，．由，得，即，解得．故答案為：9.16.已知函數(shù)，其中，若使得成立，則實數(shù)的取值集合為______．【答案】【解析】設(shè)，，則函數(shù)可看作圖象上任意一點與圖象上任意一點的距離的平方．設(shè)函數(shù)在點的切線平行于直線，由，令，解得，所以切點坐標為，點到直線的距離，此時的最小值為8．所以存在唯一的，使．過點且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得，．所以，時，存在，使成立．故答案為：四、解答題（解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求實數(shù)值；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）易知，依題意，解得，此時，當或時，；當時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．18.已知在四棱雉中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點在線段上，直線平面，．（1）求證：點為中點；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接交于點，連接，因為平面，且平面，平面平面，所以．又因為在正方形中，是的中點，所以點為中點．（2）因為平面，四邊形為正方形，，平面，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，即；由平面，得，又，，平面，平面，所以平面，即是平面的一個法向量．所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．19.在平面直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為，傾斜角為的直線與交于，兩點．（1）求的方程；（2）以為直徑的圓能否經(jīng)過坐標原點？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由．解：（1）設(shè)，則，化簡得．所以的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，如下圖所示：聯(lián)立可得，所以，解得．由韋達定理得，假設(shè)以為直徑的圓能經(jīng)過坐標原點，則，即，可得，又，所以，此時方程無實數(shù)解．所以以為直徑的圓不能經(jīng)過坐標原點．20.已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求．解：（1）當時，，得，由，得，所以，化簡得，又，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，且公比．所以．（2）由（1）得，所以則．21.已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點在直線上．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點和，兩點．求四邊形的面積的最小值．解：（1）由題意，橢圓的左、右焦點分別為，，即，所以，即，，所以橢圓的方程為．（2）①當直線的斜率不存在或為0時，，，，分別為橢圓的四個頂點，所以．②當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)，則，設(shè)，，，，聯(lián)立，解得，即，所以，同理，所以．令，則，，所以，，當時，又，所以四邊形的面積的最小值為．22.已知函數(shù)．（1）求的解析式；（2）討論在上的零點個數(shù)．解：（1）．令可得，解得．所以．（2）由（1）中可得，①當時，有，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，即可得0是的一個零點．②當時，設(shè)，則恒成立，即在上單調(diào)遞增．又，，根據(jù)零點存在定理可知，使得．當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增．又，所以．因為，根據(jù)零點存在定理可知，使得．綜上所述，在上的零點個數(shù)為2.山西省大同市2023-2024學年高二上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上.4．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.直線過點，，則直線在軸上的截距是（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由題可得直線的斜率，再由點斜式方程可得，化簡可得，令，則直線在軸上的截距為.故選：D．2.曲線在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題得，切點坐標為，，所以函數(shù)在切點處的切線斜率，切線方程為，化簡得．故選：A．3.等差數(shù)列的前項和為．若，則（）A.8092 B.4048 C.4046 D.2023【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，解得，所以．故選：C．4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，可得其的定義域為，且，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．故選：B．5.設(shè)圓，圓，則是兩圓相切的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題可得圓的圓心坐標為，半徑為2，圓的圓心坐標為，半徑為，故圓心距，因為兩圓相切可分為外切和內(nèi)切，當兩圓外切時，圓心距，解得；當兩圓內(nèi)切時，圓心距，解得，或（舍去），所以是兩圓相切的充分不必要條件.故選：B．6.若橢圓的離心率和雙曲線的離心率恰好是關(guān)于的方程的兩個實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由橢圓與雙曲線的性質(zhì)可知，橢圓的離心率，雙曲線的離心率，關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，，令，則解得：．故選：D．7.已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是坐標原點，且，則的面積等于（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】橢圓的半焦距，則，設(shè)點，于是，消去得，所以的面積.故選：C8.已知，且滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】等式，等號兩邊同除以，可得，所以，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，顯然，函數(shù)在定義域內(nèi)增函數(shù)，所以，即．故選：A．二、選擇題（本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．）9.已知空間四點，，，，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A. B.C.點到直線的距離為 D.點到平面的距離為【答案】AB【解析】對于A中，由，，可得，所以，所以A正確；對于B中，由空間的距離公式，可得，所以B正確；對于C中，取向量，，可得，，所以點到直線的距離為，所以C錯誤；對于D中，由向量，，，設(shè)平面的法向量為，則,令，可得，，所以，所以點到平面的距離為，所以D錯誤．故選：AB．10.已知雙曲線的方程為，則（）A. B.的焦點可以在軸上C.的焦距一定為8 D.的漸近線方程可以為【答案】ACD【解析】由題意得，解得，即A正確；可得雙曲線的標準方程為，故雙曲線的焦點一定在軸上，所以B錯誤；易知雙曲線的焦距為，所以C正確；顯然當時，雙曲線的標準方程為，其漸近線方程為，所以D正確．故選ACD．11.已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A選項，取，得，又，所以，取，得，所以，顯然，即數(shù)列一定不是等比數(shù)列，所以A錯誤；對于B選項，取，得，取，得，所以，所以B正確；對于C，D選項，由，得，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，，所以C，D均正確．故選:BCD．12.已知點是焦點為的拋物線上的一個動點，，則（）A.的最小值為1 B.的最小值為4C.最小值為3 D.的最大值為【答案】AB【解析】由拋物線方程，得其焦點，準線方程為，過作于點，則，顯然當在坐標原點時有最小值，此時，即的最小值為1，所以A正確；由于，故當三點共線時，即在坐標原點時有最小值，此時，即的最小值為4，所以B正確；對于C選項，設(shè)，則，當時，取得最小值，最小值為，所以C錯誤．對于D選項，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，若，則，，，所以；若，則，，，所以；若且，此時且，，，所以，因為，所以，即．令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．所以．此時有最大值為1．而，則．綜上，的最大值為．所以D錯誤．故選:AB．三、填空題（本大題共4小題．）13.已知為等比數(shù)列，，，則______．【答案】【解析】設(shè)公比為．由題可得，所以，即，又，所以．故答案為：14.點，分別是雙曲線的左、右焦點，點在上，且，則的周長是______．【答案】【解析】由題意，在雙曲線中，，∴，，由余弦定理的推論可得，所以，所以，，所以，所以，所以的周長為．故答案為：.15.已知拋物線的焦點為，過的直線與交于，兩點，且點在第一象限，若，則______．【答案】9【解析】拋物線的焦點為，代入得，聯(lián)立可得，化簡得，又點在第一象限，解得，．由，得，即，解得．故答案為：9.16.已知函數(shù)，其中，若使得成立，則實數(shù)的取值集合為______．【答案】【解析】設(shè)，，則函數(shù)可看作圖象上任意一點與圖象上任意一點的距離的平方．設(shè)函數(shù)在點的切線平行于直線，由，令，解得，所以切點坐標為，點到直線的距離，此時的最小值為8．所以存在唯一的，使．過點且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得，．所以，時，存在，使成立．故答案為：四、解答題（解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求實數(shù)值；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）易知，依題意，解得，此時，當或時，；當時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在時取得極值，所以．（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，由題意可得，解得，所以的取值范圍為．18.已知在四棱雉中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點在線段上，直線平面，．（1）求證：點為中點；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接交于點，連接，因為平面，且平面，平面平面，所以．又因為在正方形中，是的中點，所以點為中點．（2）因為平面，四邊形為正方形，，平面，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，即；由平面，得，又，，平面，平面，所以平面，即是平面的一個法向量．所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．19.