2023-2024學年遼寧省五校聯(lián)考高二上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省五校聯(lián)考2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.，，，為坐標原點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點C坐標為，因為，，所以，，又因為，所以，，，即，，，所以C坐標為.故選：A2.直線,若直線的一個法向量為,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的一個法向量為,直線的斜率直線,解得故選:B.3.已知書架上有4本不同的數(shù)學書，3本不同的化學書，從中任取3本書.若數(shù)學書，化學書每種都取出至少一本，則不同的取法種數(shù)為（）A.60 B.180 C.30 D.90【答案】C【解析】由書架上有4本不同的數(shù)學書，3本不同的化學書，從中任取3本書，若數(shù)學書，化學書每種都取出至少一本，可分為兩類：若1本數(shù)學書，2本化學書，有種；若2本數(shù)學書，1本化學書，有種，所以不同的取法種數(shù)共有種.故選：C.4.為雙曲線上一點，，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】設點是雙曲線上任意一點，則，即，則，因為或，所以，當時，可得，所以的最小值為.故選：D.5.是平面內(nèi)的一條直線，是平面的一條斜線，且在平面內(nèi)的射影為.若與的夾角為，與的夾角為，則與平面所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設直線相交于點，在直線上取異于的點，過作⊥于點，過做⊥于點，連接，由題意知：，，，且是直線與平面所成角，∵，，∴，又，，∴平面，平面，∴，∴在Rt中，，在Rt中，，∴，由題意可知，∴在Rt中，，即，又，∴.∴與平面所成角的大小為.故選：C.6.，則（）A.31 B.1023 C.1024 D.32【答案】B【解析】由二項式的展開式的通項為，所以，當時，可得為正數(shù)，當時，可得為負數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.7.已知雙曲線（，），點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，因為點是直線上任意一點，又直線與直線的距離為：，即圓心到直線的距離為：,因為圓與雙曲線C的右支沒有公共點，所以，即，又,所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B.8.正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點，，，則的最小值為（）A.24 B.25 C.48 D.50【答案】D【解析】因為正四面體的棱長為，所以，同理可得,,又因為以A為球心且半徑為1的球面上有兩點M，N，,所以，由，則因為，所以當且僅當取等號，此時，所以故的最小值為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，下列說法正確的是（）A.恒過定點B.當時，在軸上的截距為2C.當時，的傾斜角為D.圓與相切時，【答案】AC【解析】A選項，變形為，令，解得，故恒過定點，A正確；B選項，當時，，令時，，當時，在軸上的截距為，B錯誤；C選項，當時，，直線的斜率為，故傾斜角為，C正確；D選項，由題意得，解得，圓與相切時，，D錯誤.故選：AC10.現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學檢驗專家到四家醫(yī)院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）A.所有可能的安排方法有64種B.若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種C.若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種D.若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種【答案】ACD【解析】A選項，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；B選項，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，則不同的安排方法有種，B錯誤；C選項，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，再將三名專家和三所醫(yī)院進行全排列，有種選擇，則不同的安排方法有種，C正確；D選項，由C選項可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去A醫(yī)院，從所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進行全排列，共有種選擇，故不同的安排方法有種，D正確.故選：ACD11.已知正方體的棱長為1，則（）A.與平面所成角的正弦值為B.為平面內(nèi)一點，則C.異面直線與的距離為D.為正方體內(nèi)任意一點，，，，則【答案】BCD【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，對于A中，由，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，設與平面所成角為，則，即與平面所成角正弦值為，所以A錯誤；對于B中，在正方體中，可得平面，因為平面，所以，即在直線上的射影為，所以，所以B正確；對于C中，由，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為，且平面，平面，所以平面，所以異面直線與的距離，即為直線到平面的距離，又由，可得，所以C正確；對于D中，設點，其中，可得，且，則，，，則，所以D正確.故選：BCD.12.已知橢圓上有不同兩點，，，則（）A.若過原點，則B.，的最小值為C.若，則的最大值為9D.，，異于點，若線段的垂直平分線與軸相交于點，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】因為橢圓，所以，則是其右焦點，對于A，設橢圓的左焦點為，因為過原點，所以由橢圓的對稱性易知四邊形是平行四邊形，則，故A正確；對于B，因為，則，又，所以，當在線段與橢圓交點位置時，等號成立，故B正確；對于C，當軸，點為橢圓的右頂點時，滿足，此時，但，故C錯誤；對于D，因為在橢圓上，所以，，所以，同理：，而由，可知，所以由，得，則，故可設的中點坐標為，又在橢圓上，所以，，兩式相減，得，所以.所以直線的斜率為，則直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.，，，，則點A到平面的距離為________.【答案】【解析】由題，，設平面BCD的法向量為，則，取，則，又，則點A到平面的距離為.故答案為：14.已知點和拋物線，則過點A且與拋物線相切的直線的方程為_____________.【答案】或【解析】當過的直線斜率不存在時，方程為，與相切，滿足要求，當過的直線斜率存在時，設切線方程為，聯(lián)立得，，令，解得，故，即.故答案為：或15.已知橢圓的左、右焦點分別為,，直線與交于兩點,.若△的面積是△面積的3倍,則___________.【答案】【解析】設直線與軸交于點,則△的面積,△的面積又由橢圓,得,,在直線上,故答案為:.16.已知是平行六面體，，，，，為直線上一點，若，則_________.【答案】【解析】設，即，則，因為且，所以，即即，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在（）的展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比值為2.（1）求的值；（2）求展開式中含的項.解：（1）由題知：，解得.（2），，，令，得，所以展開式中含有的項為：18.如圖，在正四棱柱中，，點在上，且，為中點.（1）求直線和直線所成角的余弦值；（2）求到直線的距離.解：（1）正四棱柱中，，，，以為坐標原點，分別以向量，，的方向為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，∵，，，∴，，，，，∴直線和直線所成角的余弦值為.（2），，所以的單位方向向量∴到直線的距離為19.圓與軸的交點分別為，且與和都相切.（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點滿足？若存在，求出滿足條件所有點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由，，可得中垂線為，可得設，因為圓都與和都相切，可得，所以或，解得，所以圓心坐標，可得，即圓的半徑，所以圓的方程為.（2）假設存在滿足題意，設，，，可得，因為，聯(lián)立方程組，解得，又因為是圓上的一點，可得，所以此方程組無解，所以點不存在.20.已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大1.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過且斜率為的直線與軌跡交于，兩點，，.①求的值；②若，，且滿足直線和直線的斜率之和恒為0，求的值.解：（1）設，則，當時，，∴；當時，，∴，∴；可以檢驗，上述方程就是點的軌跡方程.∴的方程為和.（2）①直線的方程為：，設，，易知直線與無交點，聯(lián)立得，，恒成立，∴，，∴，∴，②，即，∴∴，∴，∴.21.如圖，在四棱錐中，平面，，為中點，且，，，，.（1）求二面角的余弦值；（2）若在線段上，直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離.解：（1）設為中點，連接，因為，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，因為，所以四邊形為矩形，所以，又因為平面，且平面，所以，，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸軸軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，，則，，，，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，設二面角為，且由圖知為銳角，所以.（2）設，且，由，，可得，所以，所以，化簡得，解得或，因為，可得，所以，，則，，設平面的一個法向量為，則，取，可得，所以，所以，所以點到平面的距離為.22.已知雙曲線的對稱軸為坐標軸，以坐標原點為對稱中心，且過點，.（1）求雙曲線的方程；（2），，為雙曲線上不同三點，，求的面積.解：（1）設雙曲線的方程為，則，解得，所以雙曲線的方程為：.（2）設，，，因為，所以，解得，則，若直線斜率為0，由雙曲線的對稱性可知，此時在軸上，所以，不可能在雙曲線上，舍去，設直線的方程為：，聯(lián)立得，且，∴，∴，，∴，∴，代入雙曲線方程得：，化簡得，又，故，點到直線的距離為，，設的面積為，則.遼寧省五校聯(lián)考2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.，，，為坐標原點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設點C坐標為，因為，，所以，，又因為，所以，，，即，，，所以C坐標為.故選：A2.直線,若直線的一個法向量為,則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的一個法向量為,直線的斜率直線,解得故選:B.3.已知書架上有4本不同的數(shù)學書，3本不同的化學書，從中任取3本書.若數(shù)學書，化學書每種都取出至少一本，則不同的取法種數(shù)為（）A.60 B.180 C.30 D.90【答案】C【解析】由書架上有4本不同的數(shù)學書，3本不同的化學書，從中任取3本書，若數(shù)學書，化學書每種都取出至少一本，可分為兩類：若1本數(shù)學書，2本化學書，有種；若2本數(shù)學書，1本化學書，有種，所以不同的取法種數(shù)共有種.故選：C.4.為雙曲線上一點，，則的最小值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】設點是雙曲線上任意一點，則，即，則，因為或，所以，當時，可得，所以的最小值為.故選：D.5.是平面內(nèi)的一條直線，是平面的一條斜線，且在平面內(nèi)的射影為.若與的夾角為，與的夾角為，則與平面所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設直線相交于點，在直線上取異于的點，過作⊥于點，過做⊥于點，連接，由題意知：，，，且是直線與平面所成角，∵，，∴，又，，∴平面，平面，∴，∴在Rt中，，在Rt中，，∴，由題意可知，∴在Rt中，，即，又，∴.∴與平面所成角的大小為.故選：C.6.，則（）A.31 B.1023 C.1024 D.32【答案】B【解析】由二項式的展開式的通項為，所以，當時，可得為正數(shù)，當時，可得為負數(shù)，令，可得，令，可得，所以.故選：B.7.已知雙曲線（，），點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，因為點是直線上任意一點，又直線與直線的距離為：，即圓心到直線的距離為：,因為圓與雙曲線C的右支沒有公共點，所以，即，又,所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：B.8.正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點，，，則的最小值為（）A.24 B.25 C.48 D.50【答案】D【解析】因為正四面體的棱長為，所以，同理可得,,又因為以A為球心且半徑為1的球面上有兩點M，N，,所以，由，則因為，所以當且僅當取等號，此時，所以故的最小值為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，下列說法正確的是（）A.恒過定點B.當時，在軸上的截距為2C.當時，的傾斜角為D.圓與相切時，【答案】AC【解析】A選項，變形為，令，解得，故恒過定點，A正確；B選項，當時，，令時，，當時，在軸上的截距為，B錯誤；C選項，當時，，直線的斜率為，故傾斜角為，C正確；D選項，由題意得，解得，圓與相切時，，D錯誤.故選：AC10.現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學檢驗專家到四家醫(yī)院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（）A.所有可能的安排方法有64種B.若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種C.若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種D.若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種【答案】ACD【解析】A選項，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；B選項，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，則不同的安排方法有種，B錯誤；C選項，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，再將三名專家和三所醫(yī)院進行全排列，有種選擇，則不同的安排方法有種，C正確；D選項，由C選項可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去A醫(yī)院，從所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進行全排列，共有種選擇，故不同的安排方法有種，D正確.故選：ACD11.已知正方體的棱長為1，則（）A.與平面所成角的正弦值為B.為平面內(nèi)一點，則C.異面直線與的距離為D.為正方體內(nèi)任意一點，，，，則【答案】BCD【解析】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，對于A中，由，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，設與平面所成角為，則，即與平面所成角正弦值為，所以A錯誤；對于B中，在正方體中，可得平面，因為平面，所以，即在直線上的射影為，所以，所以B正確；對于C中，由，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，因為，且平面，平面，所以平面，所以異面直線與的距離，即為直線到平面的距離，又由，可得，所以C正確；對于D中，設點，其中，可得，且，則，，，則，所以D正確.故選：BCD.12.已知橢圓上有不同兩點，，，則（）A.若過原點，則B.，的最小值為C.若，則的最大值為9D.，，異于點，若線段的垂直平分線與軸相交于點，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】因為橢圓，所以，則是其右焦點，對于A，設橢圓的左焦點為，因為過原點，所以由橢圓的對稱性易知四邊形是平行四邊形，則，故A正確；對于B，因為，則，又，所以，當在線段與橢圓交點位置時，等號成立，故B正確；對于C，當軸，點為橢圓的右頂點時，滿足，此時，但，故C錯誤；對于D，因為在橢圓上，所以，，所以，同理：，而由，可知，所以由，得，則，故可設的中點坐標為，又在橢圓上，所以，，兩式相減，得，所以.所以直線的斜率為，則直線的方程為，令，得，即，所以直線的斜率，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.，，，，則點A到平面的距離為________.【答案】【解析】由題，，設平面BCD的法向量為，則，取，則，又，則點A到平面的距離為.故答案為：14.已知點和拋物線，則過點A且與拋物線相切的直線的方程為_____________.【答案】或【解析】當過的直線斜率不存在時，方程為，與相切，滿足要求，當過的直線斜率存在時，設切線方程為，聯(lián)立得，，令，解得，故，即.故答案為：或15.已知橢圓的左、右焦點分別為,，直線與交于兩點,.若△的面積是△面積的3倍,則___________.【答案】【解析】設直線與軸交于點,則△的面積,△的面積又由橢圓,得,,在直線上,故答案為:.16.已知是平行六面體，，，，，為直線上一點，若，則_________.【答案】【解析】設，即，則，因為且，所以，即即，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知在（）的展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比值為2.（1）求的值；（2）求展開式中含的項.解：（1）由題知：，解得.（2），，，令，得，所以展開式中含有的項為：18.如圖，在正四棱柱中，，點在上，且，為中點.（1）求直線和直線所成角的余弦值；（2）求到直線的距離.解：（1）正四棱柱中，，，，以為坐標原點，分別以向量，，的方向為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，∵，，，∴，，，，，∴直線和直線所成角的余弦值為.（2），，所以的單位方向向量∴到直線的距離為19.圓與軸的交點分別為，且與和都相切.（1）求圓的方程；（2）圓上是否存在點滿足？若存在，求出滿足條件所有點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由，，可得中垂線為，可得設，因