2025屆天津市濱海新區(qū)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆天津市濱海新區(qū)高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．42．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類(lèi)似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問(wèn)水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（）A． B． C． D．3．下圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加4．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A． B． C． D．6．已知集合，，則（）A． B． C． D．7．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．8．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，為邊上的中線(xiàn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．9．雙曲線(xiàn)﹣y2=1的漸近線(xiàn)方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=010．已知雙曲線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，，且上點(diǎn)滿(mǎn)足，，，則雙曲線(xiàn)的離心率為A． B． C． D．511．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）A．100 B．210 C．380 D．40012．已知點(diǎn)P不在直線(xiàn)l、m上，則“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線(xiàn)l、m都與這些平面平行”是“直線(xiàn)l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)__________.14．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買(mǎi)豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問(wèn)人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若干個(gè)人合買(mǎi)一頭豬，若每人出100，則會(huì)剩下100；若每人出90，則不多也不少。問(wèn)人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價(jià)，則___，___.15．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為_(kāi)_____.16．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，，．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，，求的取值范圍．18．（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜.19．（12分）如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率，過(guò)右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，記直線(xiàn)的斜率分別為，求證：為定值.20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積.22．（10分）已知；.（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線(xiàn)圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線(xiàn)圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線(xiàn)圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線(xiàn)圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線(xiàn)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.5、B【解析】

設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式，即可得解；【詳解】解：設(shè)∵，∴，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

求出集合，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用函數(shù)的性質(zhì)求出集合是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.8、B【解析】

延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線(xiàn)作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.9、A【解析】試題分析：漸近線(xiàn)方程是﹣y2=1，整理后就得到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)．解：雙曲線(xiàn)其漸近線(xiàn)方程是﹣y2=1整理得x±2y=1．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)方程，把雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程．屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線(xiàn)的離心率.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)定義及雙曲線(xiàn)的離心率，考查了運(yùn)算能力.11、B【解析】

設(shè)公差為，由已知可得，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)公差為，，，,.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)不在直線(xiàn)、上，若直線(xiàn)、互相平行，則過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線(xiàn)、都與這些平面平行，即必要性成立，若過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線(xiàn)、都與這些平面平行，則直線(xiàn)、互相平行成立，反證法證明如下：若直線(xiàn)、互相不平行，則，異面或相交，則過(guò)點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線(xiàn)平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過(guò)點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線(xiàn)、都與這些平面平行”是“直線(xiàn)、互相平行”的充要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)切線(xiàn)的斜率為，利用導(dǎo)數(shù)列方程，由此求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線(xiàn)方程，通過(guò)對(duì)比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點(diǎn)為，故切線(xiàn)為，即，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來(lái)求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

作出滿(mǎn)足約束條件的可行域，將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率，觀(guān)察圖形斜率最小在點(diǎn)B處，聯(lián)立，解得點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】作出滿(mǎn)足約束條件的可行域，該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率，故由題可知，聯(lián)立得,聯(lián)立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題.16、.【解析】

當(dāng)q=1時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)設(shè)坐標(biāo)后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程，用坐標(biāo)表示出，得到，所以，代入韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，設(shè)，由得．又由于，化簡(jiǎn)得的軌跡的方程為．（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得，，設(shè)，，則，，由已知，，則，故直線(xiàn)．，令，則，由于，，．所以，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】此題考查軌跡問(wèn)題，橢圓和直線(xiàn)相交，注意坐標(biāo)表示向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化的處理技巧，屬于較難題目.18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，所以當(dāng)時(shí)，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和.19、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組，求得，代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可；（2）依題意，直線(xiàn)的斜率存在，且不為0，設(shè)其為，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，通過(guò)聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程化簡(jiǎn)整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示，，進(jìn)而表示；由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示，最后做比即得證.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，所以.依題意，，即，解得，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：依題意，直線(xiàn)的斜率存在，且不為0，設(shè)其為，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)，.與橢圓聯(lián)立整理得，故所以，，所以.又，所以為定值，得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了橢圓中的定值問(wèn)題，屬于較難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，或，或，或所以不等式的解集為；（Ⅱ）因?yàn)?，又（?dāng)時(shí)等號(hào)成立），依題意，，，有，則，解之得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查由存在性問(wèn)題求參數(shù)的范圍、零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式、利用絕對(duì)值三角不等式和均值不等式求最值；考查運(yùn)算求解能力、分類(lèi)討論思想、邏輯推理能力；屬于中檔題.21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由題可知，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，所以，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證出平面；（2）由于平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得出平面，從而得出到平面的距離為，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取，的中點(diǎn)，，連接，，，，則，由于為三棱柱，為四棱錐，∵平面平面，∴平面，由已知可求得，∴到平面的距離為，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，，，設(shè)幾何體的體積為，則，∴，即：.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的判定、面面垂直的性質(zhì)和棱錐的體積公式，考查邏輯