浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

2023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題.2.答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)、3.試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得，解得，則，由或，得，所以.故選：C2.若（，為虛數(shù)單位），則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等列式求出，利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算求得最終結(jié)果.【詳解】由，得，，則.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4.已知平面向量，，若，則（）A.或 B.或C.或3 D.或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得到，再進(jìn)行弦化切即可得到.【詳解】，且，，即，，即，或.故選：A.5.已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理列式求出的取值范圍，結(jié)合必要不充分條件的意義判斷即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D6.直線交曲線于點(diǎn)A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可得到最值.【詳解】即，則直線恒過定點(diǎn),且圓的圓心為,將點(diǎn)代入圓方程得，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因?yàn)閳A心到直線距離的最大值為直線所過定點(diǎn)到圓心的距離，即，故選：B.7.已知x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】變形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由x為正實(shí)數(shù)，y為非負(fù)實(shí)數(shù)，得，由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B8.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】移項(xiàng)整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，分和討論即可.【詳解】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，即，當(dāng)時(shí)，則，不妨取，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是移項(xiàng)整理，利用導(dǎo)數(shù)并分類討論求其最小值，對(duì)時(shí)需利用隱零點(diǎn)法求解其最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（）A.或 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分，，三種情況結(jié)合與的大小關(guān)系討論，可得不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，故A正確；當(dāng)時(shí)，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故C正確；若，則不等式的解為：，故D正確.故選：ACD10.已知直線m，n為異面直線，平面，平面，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A. B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直、面面垂直、面面平行相關(guān)性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)AD，當(dāng)平面平面，且時(shí)，兩直線可以為異面直線，故AD正確；對(duì)C，若平面平面，則，則共面，這與直線m，n為異面直線矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)平面時(shí)，則平面平面，此時(shí)與C錯(cuò)誤一致，故B錯(cuò)誤.故選：AD.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列中，，解得，，解得，于是等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和，對(duì)于A，顯然，，因此數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，前4項(xiàng)均為正數(shù)，第5項(xiàng)為0，從第6項(xiàng)起都為負(fù)數(shù)，因此當(dāng)或時(shí)，取得最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，因此，D錯(cuò)誤.故選：AB12.雙曲線：上一動(dòng)點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為的內(nèi)切圓圓心，連接交軸于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上B.C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)雙曲線定義和焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得到其中一個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)方程，解出即可；對(duì)B，利用雙曲線焦點(diǎn)弦結(jié)論和角平分線性質(zhì)得到，化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)C，根據(jù)A選項(xiàng)結(jié)論得到的橫坐標(biāo)為，再利用三角形面積公式即可求出其縱坐標(biāo)；對(duì)D，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性得到，顯然其不等于0，即可判斷D.【詳解】對(duì)A，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，，，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，再根據(jù)雙曲線的定義，有，，得到，設(shè)，則有，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的內(nèi)切圓上，故A正確；對(duì)B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線左側(cè)，此時(shí)左準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，若點(diǎn)在雙曲線右側(cè)，此時(shí)右準(zhǔn)線方程為，則，則，根據(jù)可得，對(duì)于本題來說，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，結(jié)合，得到，同理當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上時(shí)，由于為的角平分線，因此，解得，故B正確；對(duì)C，當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支上時(shí)，由于為的內(nèi)心，軸，根據(jù)A選項(xiàng)的結(jié)論可知的橫坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式，有，即得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在雙曲線的左支上，同A選項(xiàng)方法可得，同C選項(xiàng)方法（或根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可得）可得，顯然，，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)和雙曲線定義從而判斷A選項(xiàng)，利用焦半徑公式判斷B選項(xiàng)，本題還需要對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行合理分類討論.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的含的項(xiàng)的系數(shù)為___________.【答案】270【解析】【分析】根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，求得，然后利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得，所以展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：270.14.已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則正整數(shù)的值是___________【答案】5【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)或，則得到的范圍.【詳解】，時(shí)，或，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，則在左端點(diǎn)處無法取到極值，，故對(duì)于正整數(shù)取5，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故答案為：5.15.盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的，已成為巴黎的城市地標(biāo)，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，若該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該外接球的表面積是___________.【答案】【解析】【分析】由幾何關(guān)系和勾股定理確定關(guān)于的方程，解出半徑，再計(jì)算面積即可.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以球心在的延長(zhǎng)線上，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為，高為，所以，設(shè)，，則，解得，所以半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于A、B兩點(diǎn)，直線、分別交C于M、N，則的最小值為___________【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)及直線：，再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理從而可求出，再由過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)從而可求出，，再由拋物線定義及基本不等式從而可求解.【詳解】設(shè)，直線：，則，得，所以，則，由過焦點(diǎn)，設(shè)直線：，則，得，所以，則，同理可得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理即可；（2）根據(jù)正弦定理得，從而化邊為角，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)值域即可得到其范圍.【小問1詳解】由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．【小問2詳解】由正弦定理得，即，則，，因?yàn)椋獾?，得，所以，得?8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.【答案】18.，19.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的通項(xiàng)公式，可求得，再由與的關(guān)系求出；（2）由的通項(xiàng)公式，知，分和討論，并利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.【小問2詳解】由（1）得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.19.臨近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（1）答案見解析（2）①分布列見詳解，；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析求解；（2）①根據(jù)題意結(jié)合超幾何分別求分布列和期望；②根據(jù)題意利用對(duì)立事件以及①中結(jié)果運(yùn)算求解.【小問1詳解】由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.【小問2詳解】①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以隨機(jī)變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.20.如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，.（1）求證：；（2）若平面平面，在線段（包含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定得平面，再通過線面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)法向量，利用面面垂直的空間向量法即可得到方程，解出即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)槠矫嫫矫媲医痪€為，且平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，則設(shè)平面的法向量為則，令，所以，若平面平面，則，求得，此時(shí)，所以．即此時(shí).21.已知橢圓：與圓交于M，N兩點(diǎn)，直線過該圓圓心，且斜率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于D、E兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.（1）求橢圓的離心率；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)差法弦中點(diǎn)坐標(biāo)即可得到，即可得到離心率；（2）設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，過作軸的垂線交分別于點(diǎn)，再計(jì)算證明出，最后得到斜率之比.【小問1詳解】由已知得，中點(diǎn)為，設(shè)，則，，，作差得，即，由得，，得.【小問2詳解】由（1）及題設(shè)得橢圓的方程為：，則，則其右焦點(diǎn)，，，設(shè)，直線的方程為，，，過作軸的垂線交分別于點(diǎn)，，則直線，令，則，得同理直線，得得，所以由（※）知，，得．.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再分別求出直線方程，從而得到坐標(biāo)，證明出，最后計(jì)算斜率之比即可.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)解，求證：.【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）由（1）求出程的兩個(gè)解與1的大小關(guān)系，再變形要證不等式，結(jié)合的單調(diào)性分析，構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)推理即得.【小問1詳