【八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題09 解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線(解析版)

第第頁專題09解題技巧專題：利用等腰三角形的“三線合一”作輔助線考點(diǎn)一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關(guān)問題考點(diǎn)二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關(guān)問題考點(diǎn)三利用“三線合一”作輔助線證垂直考點(diǎn)一利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關(guān)問題例題：（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)P在邊上，，點(diǎn)M，N在邊上，，若，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【分析】過P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點(diǎn)，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥MN于點(diǎn)Q，∵PM=PN，，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，∴，∴ON=OQ+QN=6+1=7．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延長BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD=15°．過點(diǎn)A作AF⊥CE，垂足為F．若AF=，則AB的長為（）A． B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，則CA平分∠HCF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AH＝AF，即可得AB的長．【詳解】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵CA＝CB，∠ACB＝110°，∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，∵∠ECD＝15°．∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，∴∠ACH＝∠ACF＝55°，∴CA平分∠HCF，∵AF⊥CE，CH⊥AB，∴AH＝AF，∴AB＝2AH＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是得出CA平分∠HCF．2．（2022·江蘇·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】D【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DE＝ECCD＝2，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝3，根據(jù)BD＝BE﹣DE即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，又∵AD＝AC，CD＝4，∴DE＝ECCD＝2．在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，∴BEAB6＝3，∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接AD．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．若EF＝3，則AD的長為（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】連接AE，根據(jù)等腰三角形三線合一得到AE⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=2EF，故可求解．【詳解】連接AE，∵AB＝AC，E是BC中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∴△ADE是直角三角形，∵F是AD中點(diǎn)，∴EF=，∴AD=2EF=6，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形內(nèi)線段長度，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)．4．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）課堂上，王老師將一副標(biāo)準(zhǔn)三角板如圖放置，若，那么點(diǎn)到的距離為_________．【答案】【分析】過點(diǎn)作，勾股定理求得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)作，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)期中）如圖，等邊邊長為，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，且滿足．已知，，則的值為_________．【答案】【分析】過D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF的長，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CF的長，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：過D作DF⊥BE于F，∵DB=DE，∴△DBE是等腰三角形，∵BE=4，∴BF=EF=2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCF=60°，∴∠CDF=30°，∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．6．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．且BD＜CD，過點(diǎn)B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BDM的周長的最小值為___．【答案】8【分析】連接AD，AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD垂直BC，則根據(jù)△ABC的面積即可求出AD，由題意點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，BM＋MD的值最小，最小為AD的長，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面積為12,∴，∴AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，BM＋MD的值最小，∴AD的長為BM＋MD的最小值，∴△BDM的周長最短為BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二利用“三線合一”作輔助線解決角的有關(guān)問題例題：（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，于點(diǎn)D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵AB=AC，∴E是BC的中點(diǎn)，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運(yùn)用定理進(jìn)行判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線，，則的度數(shù)為（

）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)題意可得是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知，據(jù)此即可求得．【詳解】解：∵，為邊上的中線，∴，，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北恩施·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，∠ADE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義以及等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，∵∠ADE=20°，BD=BE，∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，∵∠BED=∠BAD+∠ADE，∴∠BAD=70°-20°=50°，∴∠BAC=2∠BAD=100°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖，平分，，的延長線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點(diǎn)F，利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD，再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點(diǎn)F，∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD，DF=BF，∴CF是BD的垂直平分線，∴AB=AD，∴∠DAF=∠BAF，∵∴∠EAC=55°，∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，∴∠BAE=180°?55°?55°=70°．故答案為：70°．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．4．（2022·北京·人大附中八年級(jí)期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為_____．【答案】

【分析】如圖，過作于，第一個(gè)空：根據(jù)為等邊三角形，可得，，然后再根據(jù)，，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，然后由即可得到答案；第二個(gè)空：根據(jù)和可確定的邊邊上的高等于，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得，則，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到答案．【詳解】如圖，過作于，∵為等邊三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴；∵，∴∵，∴，∴的邊邊上的高等于，∵為等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積計(jì)算等知識(shí)．發(fā)現(xiàn)的邊上的高等于的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江麗水·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點(diǎn)，且，，求∠CDE的度數(shù)．【答案】25°【分析】由題意知，，根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理求出的值，進(jìn)而可求出的值．【詳解】解：∵，AD是中線，∴，∵∴∴∴的值為25°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．考點(diǎn)三利用“三線合一”作輔助線證垂直例題：（2022·江蘇·八年級(jí)）如圖，已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：BD＝CE；(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)90°．【分析】（1）作AF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．(1)證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．(2)解：∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西·交大附中分校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O是底邊BC的中點(diǎn)，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．試說明：AD=AE．【答案】見解析【分析】連接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：連接AO，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO=∠AEO=90°，∵AB=AC，O是BC中點(diǎn)，∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴AD=AE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點(diǎn)﹐點(diǎn)F在上﹐延長至點(diǎn)E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．【答案】AD∥EF【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進(jìn)而可證明AD∥EF．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．3．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）如圖，在中，，，D為BC的中點(diǎn)，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點(diǎn)在線段AB上（非端點(diǎn)），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；(2)若E點(diǎn)在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時(shí)線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是_____________，請說明理由．【答案】(1)(2)圖見解析，，理由見解析【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直的定義、等量代換可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）分①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的上方時(shí)兩種情況，參考（1）的