經(jīng)典功率譜估計

一章經(jīng)典譜估計11.1概述11.2自相關函數(shù)的估計11.3經(jīng)典譜估計的基本方法11.4經(jīng)典譜估計的質(zhì)量11.5經(jīng)典譜估計的改進11.6經(jīng)典譜估計算法比較11.7短時傅里葉變換2021/6/271請抓住并搞清楚如下四個問題：功率譜為什么要估計？如何估計？如何評價估計質(zhì)量？如不理想，如何改進？11.1概述2021/6/272平穩(wěn)隨機信號功率譜的兩個定義：隨機信號的單個樣本求均值運算求極限運算集總平均兩者等效2021/6/273平穩(wěn)信號單一樣本可將看作能量信號，因此，可對它作傅立葉變換，并得到功率譜：問題：的功率譜和單個樣本的功率譜有何關系？和整個隨機信號的功率譜有何關系？截短2021/6/2741.求極限：2.求均值：單一樣本的功率譜不能收斂到所有樣本的功率譜，因此必須有求均值運算，此即如下定義的來歷：各態(tài)遍歷信號也是如此。2021/6/275雙求和變成單求和：證明了兩個公式等效。所以自相關函數(shù)是集總自相關。證明：2021/6/276功率譜的兩個定義都要求：樣本無窮多，時間無限長，即需要集總平均。功率譜估計：古老而又年輕的話題！實際工作中，我們往往能得到的是：

1.單一的樣本；

2.單一樣本的有限長數(shù)據(jù)；問題：如何用這單一樣本的有限長數(shù)據(jù)去估計原隨機信號真實的自相關函數(shù)和功率譜？2021/6/2772021/6/27811.2自相關函數(shù)估計目的：自身估計的需要； 功率譜估計的需要集總自相關時間自相關定義：2021/6/279實際求出的自相關函數(shù)近似質(zhì)量如何？EstimationEstimateEstimator（估計子）估計方法：從估計方法上看，實際上是把隨機信號“視為”單樣本有限長的確定性信號。問題是：2021/6/2710偏差自相關函數(shù)估計的質(zhì)量：估計方法單個樣本1.偏差來自定義所有樣本2021/6/2711所以：含義？漸近無偏估計對固定的N，此結(jié)論給出了m的選取原則2021/6/2712在數(shù)據(jù)上加矩形窗，長度為N

，該矩形窗函數(shù)的自相關函數(shù)正是三角窗！注意矩形窗加在數(shù)據(jù)上，三角窗加在相關函數(shù)上，體現(xiàn)在估計的自相關函數(shù)的均值上。那兒來的三角窗？2021/6/2713方差2.方差來自定義包含兩項前面結(jié)果四階統(tǒng)計量！2021/6/2714由：最后導出：有：漸近一致估計零均值高斯分布2021/6/27153.自相關函數(shù)的計算已知單個樣本的N

點數(shù)據(jù)估計兩個方法:（1）直接按定義：最大長度2021/6/2716（2）利用FFT：Step1:將補個零得;Step2:對做FFT,得；Step3:對求幅平方，得；Step4:由得，對其作IFFT,得。思考：和有何關系？2021/6/2717自相關函數(shù)的另一個估計方法（估計子）：很容易證明：是的無偏估計，但方差性能不好。在一些譜估計的方法中，有時用到該公式。要求：很好掌握自相關函數(shù)的估計方法及估計性質(zhì)。2021/6/271811.3經(jīng)典譜估計問題的提出：對隨機信號，我們往往只能得到它的：

1.單一的樣本；并且僅是

2.單一樣本的有限長數(shù)據(jù)；

如何用這N數(shù)據(jù)去估計原隨機信號真實的功率譜？2021/6/27191.周期圖（Periodogram）法：經(jīng)典譜估計中有兩個基本的方法：思路：對做DTFT(DFT),得到頻譜；對該頻譜求幅平方，再除以N，即得到“周期圖”功率譜，以此作為對真譜的估計。2021/6/27202.自相關（Blackman-TukeyBT法）法:Step1Step2因為先要估計自相關函數(shù)，所以又稱間接法。與此相對應，周期圖法又稱直接法。2021/6/27213.直接法和間接法的關系：需要考慮兩種情況：

（一）

（二）數(shù)據(jù)的范圍自相關函數(shù)的范圍2021/6/2722

（一）比較用兩種方法的估計出的離散譜：2N點的譜，把所能估計出的自相關函數(shù)都使用上了，而估計自相關函數(shù)時，把N

點數(shù)據(jù)也全都使用上了。2021/6/2723對補N個零，做DFT,得到IFFT

結(jié)論：在時，直接法和間接法估計的結(jié)果是一樣的。？使用間接法時，往往取 ，這時二者是不一樣的。因此，直接法可看作是間接法的特例。2021/6/2724不補零，思考：即：N點離散譜如何和相等？N點離散譜2021/6/2725

（二）所以：加在自相關函數(shù)上。目的是將其截短。第二次加窗。相當于只用了部分自相關函數(shù)2021/6/2726直接法和間接法之間的關系2021/6/272711.4經(jīng)典譜估計的質(zhì)量也分兩種情況討論主要考察的是均值方差無偏估計一致估計？（一）、周期圖和自相關法是等效的，統(tǒng)一考慮2021/6/27281.偏差估計值的均值自相關函數(shù)估計的性質(zhì)2021/6/2729于是有：的真實功率譜；的頻譜；的頻譜；三角窗；注意：三角窗頻譜恒為正2021/6/2730最后有：由于如何理解這一結(jié)果？2021/6/2731所以：周期圖和自相關法都是漸近無偏估計因為：2021/6/27322.方差又遇到四階矩問題，直接求解困難。（1）假定是高斯零均值的隨機過程；思路：（2）求在處的協(xié)方差：定義：2021/6/2733有關方差公式的推導不作要求。主要是掌握結(jié)論，并用來說明問題。（3）令，則求解的關鍵2021/6/2734推導的結(jié)果：方差（1）時經(jīng)典功率譜估計不是一致估計2021/6/2735解釋：2021/6/2736推導的結(jié)果：協(xié)方差

假定在主瓣外為零；

那么，在頻率范圍內(nèi)：有（2）若的主瓣寬度為；2021/6/27372021/6/2738在

處，說明：隨機變量在處不相關;原因：功率譜的定義中即要求極限，又要求均 值；而實際的估計方法，僅靠單次實現(xiàn) 的有限長，無極限、又無均值運算，因 此產(chǎn)生上述問題。設想：增大數(shù)據(jù)長度，效果如何？后果：使估計出的譜曲線起伏加?。?021/6/2739

增大，的主瓣（）將變窄，因此，引起不相關的區(qū)域進一步增多，從而引起譜曲線的更加起伏，實際上是方差變大。分辨率和方差（體現(xiàn)在曲線起伏上），是經(jīng)典譜估計中的一對矛盾。通常，增加，會提高譜的分辨率，對經(jīng)典譜估計來說，增加固然會有利于提高分辨率，但譜曲線的起伏令使用者難以接受，這是經(jīng)典譜估計的一個致命缺點。2021/6/2740對白噪聲在不同長度情況下估計出的譜曲線：N＝16N＝32N＝64N＝1282021/6/2741經(jīng)典譜估計質(zhì)量的討論：(二)、：加在估計的自相關函數(shù)上，周期圖譜估計和自相關法的譜估計不再一樣！2021/6/27421.偏差誰的主瓣比較寬?2021/6/2743假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個常數(shù)假定2

窗函數(shù)的一般要求也是漸近無偏估計！2021/6/27442.方差：考慮特殊情況，為白噪序列，其功率譜應為常數(shù)，即

時對白噪聲功率譜估計的方差

時對白噪聲功率譜估計的方差2021/6/2745

：方差改進之比兩種情況下估計的方差之比：?取哈明窗：2021/6/27461.在加上后，估計的譜的偏差劣于M=N－1時估計的譜，而方差優(yōu)于M=N－1時估計的譜；

（2）在的范圍上，因為B變大，不相關的點變少。2.上加窗以后，估計譜方差的改進體現(xiàn)在兩個方面：（1）估計的譜曲線變得平滑些結(jié)論：2021/6/2747原主瓣寬，取決于現(xiàn)主瓣寬，取決于3.方差的減小是以犧牲分辨率為代價的！

若分辨率能滿足要求，這樣做是有意義的。即：既保證了分辨率，又使估計出的譜較為平滑。2021/6/274811.5直接法估計的改進任務：改進對估計的性能；目標：主要是改進方差的性能方法：平滑與平均；用對的加窗來實現(xiàn)1.平滑（Smoothing)平滑2021/6/2749

理論依據(jù):L個獨立同分布隨即變量和的分布，方差減小倍，即：將一個較長的信號分成若干段，對每一段求功率譜，每一段的功率譜都是隨機變量，然后平均之。類似相干平均，用以彌補經(jīng)典譜估計中缺少的求均值運算。注意：信號應是平穩(wěn)的，且每一段的統(tǒng)計特性基本一樣。2.平均（Average）2021/6/2750（1）.Bartlett平均將分成段，每段點，即2021/6/2751每一段譜平均后譜平均后估計出的功率譜的性能如何？在數(shù)據(jù)上加了數(shù)據(jù)窗寬度是結(jié)果，在自相關函數(shù)上引入了窗函數(shù)2021/6/2752：的自相關；類似引入的統(tǒng)計性能分析：（1）偏差增大，分辨率進一步下降；（2）方差減小，但到不了倍？2021/6/27532.Welch平均特點：交疊分段若重疊一半，段數(shù)變大2021/6/2754：不一定是矩形窗，如Hamming窗歸一化因子，保證無偏估計Welch平均是常用的經(jīng)典譜估計方法，MATLAB中有相應的命令2021/6/2755Welch平均法的方差比Barttlett方法有明顯的減小，而偏差幾乎沒有減小3.Nottall法：平滑與平均相結(jié)合假定1：是慢變譜，在的主瓣內(nèi)近似為一個常數(shù)）假定22021/6/27562021/6/2757H(z)H(z)11.6總結(jié)與比較請掌握如下的方法：白噪聲1白噪聲2兩個輸出都是隨機信號

由自己指定2021/6/2758令：則：構成一復信號得到的功率譜；在的基礎上再加上四個復正弦，歸一化頻率分別是：2021/6/2759調(diào)整，可以得到不同的信噪比，本例取這樣，的真實功率譜可得到，并可畫出。我們可以此作為比較各種算法的依據(jù)。實際工作中，對信號總?cè)∮邢揲L，如 ，由這128點去“求”功率譜，得到的當然是估計值。2021/6/2760（a）真實譜；（b）周期圖；（c）Welch平均，四段，無迭合，Hamming窗；（d）同c,但迭合16點2021/6/2761（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝162021/6/2762經(jīng)典功率譜估計的特點：1.物理概念明確，可用FFT快速算法。所以是大眾化的譜估計方法；2.對周期圖，分辨率受到的限制；對自相關法，分辨率受到的限制；3.方差性能不好，不是一致估計，N

增大時譜曲線反而起伏加??；2021/6/27634.改進方法是“平滑”與“平均”，改進的目的是減小方差，但犧牲了分辨率；5.注意窗函數(shù)的作用與影響：加在數(shù)據(jù)上的窗函數(shù)：產(chǎn)生加在自相關函數(shù)上的延遲窗：各個窗函數(shù)的作用及影響是什么？2021/6/276411.7短時傅里葉變換平穩(wěn)信號：均值、方差及均方都不隨時間變化，自相關函數(shù)僅和兩個觀察時間的差有關，和觀察的具體位置無關；非平穩(wěn)信號：均值、方差都隨時間變化，自相關函數(shù)也和觀察的時間位置有關，信號的頻率也隨時間而變化，如語音、腦電及其他含有較多突變分量的信號。其一階、二階統(tǒng)計量和功率譜的估計顯然不能簡單地使用平穩(wěn)信號的估計方法，必須考慮其時變因素。方法：分段，每一小段可看作是平穩(wěn)的。2021/6/2765概念：其STFT定義為:并且窗函數(shù)應取對稱函數(shù)。

式中2021/6/2766τx(τ)0FTFTFTΩ02021/6/2767譜圖是恒正的，且是實的。

概念：“譜圖（spectrogram）”由于所以譜圖是信號能量的分布?？紤]是隨機信號的一個樣本，譜圖可實現(xiàn)信號功率譜的估計。注意，它們是