2024年北師大版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2024年北師大版高一數(shù)學(xué)上冊階段測試試卷206考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、已知函數(shù)則（）A.B.C.D.2、【題文】正方體的外接球與內(nèi)切球的球面面積分別為S1和S2則()A.S1＝2S2B.S1＝3S2C.S1＝4S2D.S1＝2S23、【題文】已知f（x）是R上的奇函數(shù)，對x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，則f（2013）等于（）A.2B.﹣2C.﹣1D.20134、若f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）＞2恒成立，f（﹣1）=2，則f（x）＞2x+4解集為（）A.（﹣1，1）B.（﹣1，+∞）C.（﹣∞，﹣1）D.（﹣∞，+∞）5、設(shè)T={（x，y）|ax+y-3=0}，S={（x，y）|x-y-b=0}，若S∩T={（2，1）}，則a，b的值為（）A.a=1，b=-1B.a=-1，b=1C.a=1，b=1D.a=-1，b=-1評卷人得分二、填空題(共5題，共10分)6、若=（x，1），=（4，x），共線且方向相同，則x=____．7、設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為____．8、若sin（α+）=則cos（﹣α）=____．9、已知P是函數(shù)y=x2圖象上的一點(diǎn)，A（1，-1），則的最大值為______．10、若角α的終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱，且α∈（-4π，-2π），則α=______．評卷人得分三、計(jì)算題(共7題，共14分)11、已知α，β為銳角，tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的兩根，求銳角α+β的值．（備選公式）12、計(jì)算：．13、如圖，已知AC=AD=AE=BD=DE，∠ADB=42°，∠BDC=28°，則∠BEC=____．14、已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、B為x軸上的兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1、x2（x1＜x2）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)；P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于原點(diǎn)）．設(shè)∠PAB=α，∠PBA=β．

（1）若α；β都是銳角；求k的取值范圍．

（2）當(dāng)α、β都是銳角，α和β能否相等？若能相等，請說明理由；若不能相等，請證明，并比較α、β的大小．15、如圖，DE∥BC，，F(xiàn)為BC上任一點(diǎn)，AF交DE于M，則S△BMF：S△AFD=____．16、已知實(shí)數(shù)a∈{﹣1，1，a2}，求方程x2﹣（1﹣a）x﹣2=0的解17、計(jì)算：0.0081+（4）2+（）﹣16﹣0.75+2．評卷人得分四、證明題(共1題，共2分)18、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．評卷人得分五、解答題(共4題，共40分)19、在△ABC中；sinB+sinC=sin（A-C）．

（1）求A的大??；

（2）若BC=3；求△ABC的周長l的最大值．

20、森林失火了，火正以的速度順風(fēng)蔓延，消防站接到報(bào)警后立即派消防員前去，在失火后到達(dá)現(xiàn)場開始救火，已知消防隊(duì)在現(xiàn)場每人每分鐘平均可滅火所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用每人每分鐘元，另附加每次救火所損耗的車輛、器械和裝備等費(fèi)用平均每人元，而每燒毀森林的損失費(fèi)為元，設(shè)消防隊(duì)派了名消防員前去救火，從到達(dá)現(xiàn)場開始救火到火全部撲滅共耗時(shí)．（1）求出與的關(guān)系式；（2）問為何值時(shí)，才能使總損失最小．21、設(shè)函數(shù)(為實(shí)常數(shù))為奇函數(shù)，函數(shù)().(1)求的值；(2)求在上的最大值；(3)當(dāng)時(shí)，對所有的及恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22、已知在等差數(shù)列{an}

中；a3=5a1+a19=鈭?18

(1)

求公差d

及通項(xiàng)an

(2)

求數(shù)列{an}

的前n

項(xiàng)和Sn

及使得Sn

的值取最大時(shí)n

的值．評卷人得分六、綜合題(共3題，共6分)23、取一張矩形的紙進(jìn)行折疊；具體操作過程如下：

第一步：先把矩形ABCD對折；折痕為MN，如圖（1）所示；

第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上；折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對應(yīng)點(diǎn)為B′，得Rt△AB′E，如圖（2）所示；

第三步：沿EB′線折疊得折痕EF；如圖（3）所示；利用展開圖（4）所示．

探究：

（1）△AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論．

（2）對于任一矩形；按照上述方法是否都能折出這種三角形？請說明理由．

（3）如圖（5）；將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)A′處，x軸垂直平分DA，直線EF的表達(dá)式為y=kx-k（k＜0）

①問：EF與拋物線y=有幾個(gè)公共點(diǎn)？

②當(dāng)EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)A′（x，y），求的值．24、如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果；那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中；若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？

（2）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．25、已知y=ax2+bx+c（a≠0）圖象與直線y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）兩點(diǎn)，與x軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)C．

（1）求直線和拋物線解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，如果不存在，說明理由．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、D【分析】試題分析：設(shè)則所以所以答案為D.考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算律；2.換元法.【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】

試題分析：不妨設(shè)正方體的棱長為1，則外接球直徑為正方體的體對角線長為而內(nèi)切球直徑為1，所以所以

故答案選

考點(diǎn)：1.正方體的外接球與內(nèi)切球；2.球的表面積.【解析】【答案】B3、A【分析】【解析】由f（x+4）=f（x）+f（2）；取x=﹣2，得：f（﹣2+4）=f（﹣2）+f（2），即f（﹣2）=0，所以f（2）=0；

則f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x）；

所以f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；

所以f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣2）=2．

故選A．【解析】【答案】A4、B【分析】【解答】設(shè)F（x）=f（x）﹣2x﹣4；

則F'（x）=f'（x）﹣2；

因?yàn)閒′（x）＞2恒成立；所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞增．

因?yàn)閒（﹣1）=2；所以F（﹣1）=f（﹣1）﹣2（﹣1）﹣4=2+2﹣4=0．

所以所以由F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞0；即F（x）=f（x）﹣2x﹣4＞F（﹣1）．

所以x＞﹣1；

即不等式f（x）＞2x+4解集為（﹣1；+∞）．

故選B．

【分析】利用條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的取值進(jìn)行求解．5、C【分析】解：根據(jù)題意：是方程組的解；

代入求得a=1，b=1．

故選C

根據(jù)集合的表示法；元素（2，1）即是集合T中的元素，也是集合S中的元素，代入方程求解即可．

本題考查描述法表示集合及集合的交集運(yùn)算．【解析】【答案】C二、填空題(共5題，共10分)6、略

【分析】

由=λλ＞0，得（x，1）=λ（4，x）；

∴

∴x=2；

故答案為：2．

【解析】【答案】由=λλ＞0，得（x，1）=λ（4，x），得到x，λ之間的關(guān)系，解得x的值，舍去不合題意的結(jié)果．

7、a≤﹣1或a≥8【分析】【解答】解：設(shè)x＞0；則﹣x＜0．

∵當(dāng)x＜0時(shí)，

∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．

∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；

∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．

∵f（x）≥a+1對一切x≥0成立；

∴當(dāng)x＞0時(shí)，x+﹣7≥a+1恒成立；且當(dāng)x=0時(shí)；0≥a+1恒成立．

①由當(dāng)x=0時(shí)；0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．

②由當(dāng)x＞0時(shí)，x+﹣7≥a+1恒成立；可得：2|a|﹣7≥a+1

解得a≤﹣8或a≥8．

綜上可得：a≤﹣1或a≥8．

因此a的取值范圍是：a≤﹣1或a≥8．

故答案為：a≤﹣1或a≥8．

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性求出當(dāng)x＞0時(shí)的解析式，利用基本不等式的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的最值即可得到結(jié)論．8、【分析】【解答】解：∵sin（α+）=則cos（﹣α）=sin[﹣（α+）]=sin（α+）=故答案為：．

【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式化簡所給的三角函數(shù)式，可得結(jié)果．9、略

【分析】解：設(shè)P（x，x2）；則：

∴

∴的最大值為．

故答案為：．

由條件可設(shè)P（x，x2），從而可得出的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求出配方便可求出的最大值．

考查點(diǎn)的坐標(biāo)的設(shè)法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及配方求最值的方法．【解析】10、略

【分析】解：∵角α的終邊與的終邊關(guān)于直線y=x對稱；

∴角α的終邊在的終邊上；

∴α=+2kπ；k∈Z．

又∵α∈（-4π；-2π）；

∴α=--

故答案為：--

由題意可得α=+2kπ；k∈Z，給k取值可得．

本題考查終邊相同的角，屬基礎(chǔ)題．【解析】--三、計(jì)算題(共7題，共14分)11、略

【分析】【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系得到tanα+tanβ=，tanα?tanβ=，然后利用題中給的公式有tan（α+β）=；把

tanα+tanβ=，tanα?tanβ=整體代入得到tan（α+β）==1，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得到銳角α+β的值．【解析】【解答】解：∵tanα，tanβ是一元二次方程6x2-5x+1=0的兩根；

∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=

∵tan（α+β）=；

∴tan（α+β）==1；

∴銳角（α+β）=45°．12、略

【分析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出的值，根據(jù)零指數(shù)冪求出π-1的零次冪的值，把cos30°的值代入，分母有理化求出的值，再代入求出即可．【解析】【解答】解：；

=；

=1．13、略

【分析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)分別得出∠AEC，∠BED，∠AED的度數(shù)，由∠BEC=∠AEC+∠BED-∠AED即可求解．【解析】【解答】解：∠ADC=42°+28°=70°．∠CAD=180°-2×70°=40°；

∠DAE=∠ADE=∠AED=∠60°；

于是；在△ACE中，∠CAE=60°+40°=100°；

∠AEC=（180°-100°）÷2=40°．

又∵在△BDE中；∠BDE=60°+42°=102°；

∴∠BED=（180-102）÷2=39°

從而∠BEC=∠AEC+∠BED-∠AED=40°+39°-60°=19°．

故答案為19°．14、略

【分析】【分析】（1）由于x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的兩個(gè)實(shí)根，由于得到其判別式是正數(shù)，由此可以確定k的取值范圍，而A、B為x軸上的兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1、x2（x1＜x2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于原點(diǎn)）．設(shè)∠PAB=α，∠PBA=β，若α、β都是銳角，由此得到點(diǎn)A、B在原點(diǎn)兩旁，所以x1?x2＜0；這樣就可以解決問題；

（2）若α=β，則x1+x2=0，由此得到k=3，所以判別式是正數(shù)，所以的得到α≠β；然后利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到α、β的大小關(guān)系．【解析】【解答】解：（1）∵x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、B為x軸上的兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為x1、x2（x1＜x2）．

∴△=k2-10k-7＞0得k＜5-4或k＞5+4；

若α；β都是銳角；

∴點(diǎn)A；B在原點(diǎn)兩旁；

∴x1?x2＜0；

∴k＜-4；

（2）設(shè)α=β；

則x1+x2=0；

∴k=3；

所以α≠β；

因?yàn)閤1+x2=k-3＜-7＜0；

所以|x1|＞|x2|；

所以O(shè)A＞OB；

則PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．15、略

【分析】【分析】作DG⊥BC，AH⊥BC，則由題中條件可小求出△BDF與△ABF的比值，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解析】【解答】解：分別過點(diǎn)D；A作BC的垂線；交BC于點(diǎn)G、H；

∵DE∥BC；

則S△BDF=S△BFM=?BF?DG；

S△ABF=?BF?AH；

又，即=；

∴====；

∴=．

故答案為：2：3．16、解：在{﹣1，1，a2}中，由集合中元素的互異性，可得a2≠1，即a≠±1；又∵a∈{﹣1，1，a2}；

∴a可能等于1或﹣1或a2；

故a=a2；得a=1（舍去）或a=0．

代入方程可得x2﹣x﹣2=0；

解可得；其解為﹣1，2．

【分析】【分析】根據(jù)題意，在{﹣1，1，a2}中，由集合中元素的互異性，可得a2≠1，即a≠±1；又由a∈{﹣1，1，a2}，即a可能等于1或﹣1或a2，可得a的值，進(jìn)而代入方程x2﹣（1﹣a）x﹣2=0中，解可得答案．17、解：原式=++﹣24×（﹣0.75）+5=0.3++﹣+5=5.55【分析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可．四、證明題(共1題，共2分)18、略

【分析】【分析】首先作CD關(guān)于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點(diǎn)共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關(guān)于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點(diǎn)共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．五、解答題(共4題，共40分)19、略

【分析】

（1）將sinB+sinC=sin（A-C）變形得sinC（2cosA+1）=0；

而sinC≠0，則cosA=又A∈（0，π），于是A=

（2）記B=θ，則C=-θ（0＜θ＜），由正弦定理得

則△ABC的周長l=2[sinθ+sin（-θ）]+3=2sin（θ+）+3≤2+3；

當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)，周長l取最大值2+3．

【解析】【答案】（1）將sinB+sinC=sin（A-C）變形得sinC（2cosA+1）=0，得到cosA=故A=．

（2）記B=θ，則C=-θ（0＜θ＜），由正弦定理得△ABC的周長l=2sin（θ+）+3；

由正弦函數(shù)的值域求得其最大值．

20、略

【分析】【解析】試題分析：【解析】

（1）根據(jù)題意得4分（2）設(shè)總損失為則8分當(dāng)即時(shí)，才能使總損失最小12分考點(diǎn)：函數(shù)模型的運(yùn)用【解析】【答案】（1）（2）21、略

【分析】試題分析：（1）根據(jù)為奇函數(shù)得到恒有從而計(jì)算出的值；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對進(jìn)行分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，從而由單調(diào)性求出在的最大值；（3）先根據(jù)（2）計(jì)算出然后將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化成對恒成立，接著構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)從而列出不等式組求解不等式即可得出的取值范圍.試題解析：（1）由得∴2分（2）∵3分①當(dāng)即時(shí)，在上為增函數(shù)最大值為5分②當(dāng)即時(shí)，在上為減函數(shù)的最大值為7分8分（3）由（2）得在上的最大值為即在上恒成立10分令即所以或或14分考點(diǎn)：1.一次與二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；3.二次不等式.【解析】【答案】（1）（2）（3）或或22、略

【分析】

(1)

利用等差數(shù)列{an}

通項(xiàng)公式列出方程組；求出首項(xiàng)；公差，由此能求出公差d

及通項(xiàng)an

．

(2)

利用通項(xiàng)公式前n

項(xiàng)和公式求出數(shù)列的前n

項(xiàng)和；再由配方法能求出使得Sn

的值取最大時(shí)n

的值．

本題考查等差數(shù)列的公差、通項(xiàng)公式、前n

項(xiàng)和及使得Sn

的值取最大時(shí)n

的值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．【解析】解：(1)隆脽

等差數(shù)列{an}

中；a3=5a1+a19=鈭?18

隆脿a3=5a1+a19=鈭?18

隆脿{2a1+18d=鈭?18a1+2d=5隆脿{d=鈭?2a1=9隆脿an=11鈭?2n

．

(2)Sn=n(a1+an)2=n(9+11鈭?2n)2=鈭?n2+10n=鈭?(n鈭?5)2+25

隆脿n=5

時(shí)，Sn

最大．六、綜合題(共3題，共6分)23、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；以及矩形性質(zhì)得出∠AEF=60°，∠EAF=60°，即可得出答案；

（2）根據(jù)矩形的長為a，寬為b，可知時(shí)，一定能折出等邊三角形，當(dāng)＜b＜a時(shí)；不能折出；

（3）①由已知得出得到x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；再分析k即可得出答案；

②得出Rt△EMO∽R(shí)t△A′AD，進(jìn)而得出，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）△AEF是等邊三角形

證明：∵PE=PA；

B′P是RT△AB′E斜邊上的中線

∴PA=B′P；

∴∠EAB′=∠PB′A；

又∵PN∥AD；

∴∠B′AD=∠PB′A；

又∵2∠EAB′+∠B′AD=90°；

∴∠EAB′=∠B′AD=30°；

易證∠AEF=60°；∴∠EAF=60°；

∴△AEF是等邊三角形；

（2）不一定；

設(shè)矩形的長為a，寬為b，可知時(shí)；一定能折出等邊三角形；

當(dāng)＜b＜a時(shí)；不能折出；

（3）①由；

得x2+8kx-8k=0，△=（8k）2+32k=32k（2k+1）；

∵k＜0．

∴k＜-時(shí)；△＞0，EF與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)；EF與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)；EF與拋物線沒有公共點(diǎn)；

②EF與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，；

EF的表達(dá)式為；

EF與x軸、y軸的交點(diǎn)為M（1，0），E（0，）；

∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′；

∴RT△EMO∽R(shí)T△A′AD；

；

即；

∴．24、略

【分析】【分析】（1）設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出=，=，再由點(diǎn)D為邊A