國慶長假七年級數(shù)學(xué)專題講座―― 4.有理數(shù)的乘除法

2009年國慶長假七年級數(shù)學(xué)專題講座――4.有理數(shù)的乘除法本節(jié)主要講了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，通過水庫水位的變化，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察一列算式的因數(shù)與積的變化規(guī)律，使他們自己發(fā)現(xiàn)，歸納出有理數(shù)的乘法法則。通過大量的實(shí)例，讓學(xué)生真正的掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算。乘法與除法互為逆運(yùn)算，這在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然適用。本節(jié)給了一些算式，旨在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從商的符號及其絕對值與被除數(shù)和除數(shù)的關(guān)系，可歸納出有理數(shù)的除法法則。然后又給出倒數(shù)的定義，進(jìn)而將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。一.有理數(shù)乘法法則的運(yùn)用和運(yùn)用有理數(shù)的除法法則進(jìn)行簡單的運(yùn)算這是本節(jié)的重點(diǎn)知識.如【典例引路】中例1，，【當(dāng)堂檢測】中第4題，【課時(shí)作業(yè)】中第9題。二.運(yùn)算中符號的選擇，倒數(shù)的求法這是本節(jié)的難點(diǎn).如【基礎(chǔ)練習(xí)】中第4題，【當(dāng)堂檢測】中第4題，【課時(shí)作業(yè)】中第14題。三.易錯(cuò)題目易錯(cuò)點(diǎn)仍然是結(jié)果的符號問題，需要學(xué)生特別注意?！菊n時(shí)作業(yè)】中第19題。知識點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相乘;任何數(shù)同0相乘得0.乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).兩數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積不變;乘法交換律:ab=ba;三個(gè)數(shù)相乘,先把前兩個(gè)數(shù)相乘,或先把后兩個(gè)數(shù)相乘,積不變.乘法結(jié)合律:abc=(ab)c=a(bc).一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘,等于這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘,再把積相加.乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘,負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí),積為正數(shù);負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)時(shí),積為負(fù)數(shù).知識點(diǎn)2.有理數(shù)的除法除以一個(gè)不為0的數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).式子表達(dá)為:a÷b=a×(b為不等于0的數(shù)).兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù),并把絕對值相乘.一個(gè)數(shù)同不為0的數(shù)相除,仍得0.針對性練習(xí):1.填空：（1）-×___________；(2)（-1.25）×(-8)=_____________；(3)(-126.8)×0=___________；(4)(-25.9)×(-1)=______________.（5）(-5)×__________=-35；(6)(-)×____________=.【解析】兩個(gè)有理數(shù)相乘，我們根據(jù)法則先來確定乘積的符號，再把絕對值相乘.在進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，除了要熟練掌握乘法法則之外，還應(yīng)當(dāng)注意以下兩點(diǎn)：1.一個(gè)數(shù)乘以1等于它本身，一個(gè)數(shù)乘以-1等于它的相反數(shù).2.兩個(gè)相反數(shù)的和與積是完全不同的兩個(gè)結(jié)果，不要混淆.【答案】（1）-1(2)1(3)0(4)25.9（5）-35(6)類型之一:巧用運(yùn)算律簡化計(jì)算型例1．(1)(－6)×［+(－)］=(－6)×+(－6)×(－)(2)［29×(－)］×(－12)=29×［(－)×(－12)］【解析】本題運(yùn)用乘法對加法的分配律來計(jì)算，過程會比較簡單?！窘獯稹浚?）（2）類型之二:結(jié)構(gòu)繁瑣型例2.計(jì)算：2002×20032003-2003×20022002.【解析】所乘積位數(shù)較多，直接計(jì)算較麻煩，兩組因數(shù)結(jié)構(gòu)相同，應(yīng)該利用這一特點(diǎn).冷靜分析，盡量“繞”過煩瑣的計(jì)算，這是計(jì)算中必須注意的.小括號的出現(xiàn)與“消失”，更是靈活性的體現(xiàn).【解答】2002×20032003-2003×20022002=2002×（2003×10001）-2003×（2002×10001）=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0.類型之三:整體代換型例3.計(jì)算：(++…+)·(1++…+)－(1+++…+)·(++…+).【解析】如果直接計(jì)算，很繁，且容易出錯(cuò).根據(jù)它的特點(diǎn)，可以把其中一個(gè)括號內(nèi)的算式當(dāng)作一個(gè)整體，其他括號內(nèi)的算式可用這個(gè)整體適當(dāng)代換.這樣計(jì)算較簡單.【解答】設(shè)1+++…+=a.則原式=(a－1)·(a－)－a·(a－1－)=(a－1)·a－(a－1)·－a(a－1)－(－)·a=.類型之四:乘除混合型例4計(jì)算：（1）-7÷3-14÷3；（2）（-）÷；（3）（-3.5）÷×（）【解析】對混合運(yùn)算應(yīng)先算除法、再算減法.有括號先算括號里面的，第二題把除法變成乘法利用乘法分配律更簡單.【解答】（1）-7÷3-14÷3=-7×-14×=（-7-14）×=-21×=-7；（2）（）÷=（）×=（3）（-3.5）÷×（）=××(）=（）=3.1.判斷題：(1)如果ab＞0，且a+b＜0，則a＜0，b＜0.()(2)如果ab＜0，則a＞0，b＜0.()(3)如果ab=0，則a，b中至少有一個(gè)為0.()【解析】本題應(yīng)用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行判斷，兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.任何數(shù)同0相乘，都得0.(2)錯(cuò)誤,因?yàn)楫?dāng)ab＜0時(shí)，也可能是a＜0，b＞0.【答案】(1)(3)正確,(2)錯(cuò)誤.2.計(jì)算：【解析】此題變形后符合乘法分配律等號右邊的形式，因此可以逆用乘法分配律，由右邊導(dǎo)出左邊，這樣可以使計(jì)算簡便?！窘獯稹吭剑健军c(diǎn)評】進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，要先觀察其結(jié)構(gòu)特征，再用合適的方法進(jìn)行簡便運(yùn)算，但在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，要注意符號的變化。3.計(jì)算:(1)(-20)÷(3)；(2)3.2÷(-5).【解析】對于除數(shù)是整數(shù)的,可以直接除.對于除數(shù)是分?jǐn)?shù)的，可以利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化成乘法再進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)有帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí),應(yīng)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)或分?jǐn)?shù).【解答】(1)(-20)÷(3)=-20×=-6；(2)3.2÷(-5)=×(-)=-.4.計(jì)算：(1)-7÷3-14÷3；(2)(-5-2)÷3.【解析】(1)對混合運(yùn)算應(yīng)先算除法,再算減法.(2)可以先把括號里的算出來,再做除法.也可以把除法轉(zhuǎn)化為乘法,利用分配律運(yùn)算.【解答】(1)-7÷3-14÷3=-7×-14×=(-7-14)×=-21×=-7；(2)(-5-2)÷3=(-5-2)×=-×-×=--=-.5.計(jì)算：（1）（-36）×［+（）］；（2）（-2）×（）×（）×.【解析】（1）36是9、12、18的倍數(shù)，用乘法分配律計(jì)算簡便.（2）根據(jù)乘法法則，先確定積的符號，再用乘法的結(jié)合律，可以大大簡化計(jì)算.【解答】（1）（-36）×［+（）］=（-36）×（）+（-36）×（）+（-36）×（）=8+15+6=29.（2）（-2）×（）×（）×=-（2×××）=-5.【評注】正確合理地利用乘法的結(jié)合律、交換律、分配律，可以大大簡化計(jì)算.1.一個(gè)有理數(shù)與它的相反數(shù)之積（）A.符號必定為正B.符號必定為負(fù)C.一定不大于零D.一定不小于零【解析】D當(dāng)這個(gè)有理數(shù)不等于零時(shí),互為相反數(shù)的積一定為負(fù)數(shù),當(dāng)這個(gè)有理數(shù)等于零時(shí),零的相反數(shù)為零,所以一個(gè)有理數(shù)與它的相反數(shù)之積一定小于或等于零.2.如果兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè),那么這兩個(gè)有理數(shù)的積（）A.一定為負(fù)數(shù)B.為0C.一定為正數(shù)D.無法判斷【解析】C如果兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè),那么這兩個(gè)數(shù)同號,所以這兩個(gè)有理數(shù)的積一定為正數(shù).3.用簡便方法計(jì)算：（1）(-14)×(+1)×(-1)×(5.5)×(+);（2）×(-)×(-4)×(-)；（3）-7×(-)+19×(-)-5×(-)；（4）(1--)×(-24).【解析】乘法的結(jié)合律、交換律、分配律,在有理數(shù)乘法中仍然適用,可以大大簡化計(jì)算.【解答】（1）(-14)×(+1)×(-1)×(5.5)×(+)=64;（2）×(-)×(-4)×(-)=-；（3）-7×(-)+19×(-)-5×(-)=-2；（4）(1--)×(-24)=-7.4.計(jì)算：（1）－6÷（－0.25）÷；（2）（－2）÷（－10）÷（－）÷（－5）；（3）（－3）÷2÷（－3）÷（－0.75）.【解析】幾個(gè)數(shù)相除，先化為乘法，再按幾個(gè)數(shù)相乘的法則運(yùn)算.【解答】（1）原式=－6×（－4）×=；（2）原式=（－）×（－）×（－3）×（－）=××3×=；（3）原式=（－）××（－）×（－）=－（×××）=－.1.某班舉行知識競賽，評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對1道題加10分，答錯(cuò)1道題扣10分，每個(gè)隊(duì)的基本分為100分，有一個(gè)代表隊(duì)答對了12道題，答錯(cuò)了5道題，請問這個(gè)隊(duì)最后得多少分？【解析】答對了１２道題得120分，答錯(cuò)了５道題得-50分，每個(gè)隊(duì)的基本分為１００分，這個(gè)隊(duì)最后得100+12×10+5×（-10）=170（分）.【答案】100+12×10+5×（-10）=170（分）.2.求除以8和9都是余1的所有三位數(shù)的和.【解答】可設(shè)三位數(shù)為n，它是除以8、9的商分別為x、y余1的數(shù).則:n=8x+1;n=9y+1由此可知：三位數(shù)n減去1，就是8和9的公倍數(shù)，即為:144、216、288、360、432、504、576、648、720、792、864、936.所以滿足條件的所有三位數(shù)的和為：144+216+288+360+432+504+576+648+720+792+864+936+1×12=72×(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+1×12=72×(2+13)×6+12=6492課時(shí)作業(yè)：A等級1.如果兩個(gè)有理數(shù)的和是零，積也是零，那么這兩個(gè)有理數(shù)()A.至少有一個(gè)為零，不必都是零B.兩數(shù)都是零C.不必都是零，但兩數(shù)互為相反數(shù)D.以上都不對2.五個(gè)數(shù)相乘,積為負(fù)數(shù),則其中負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.2B.0C.1D.1,3,53.(-5)×(-5)÷(-5)×=__________.4.已知a，b兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖2-8-1所示，下列結(jié)論正確的是（）圖2-8-1A.a＞bB.ab＜0C.b-a＞0D.a+b＞05.用“”、“”定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2，則(20062005)(20042003)=________.6.計(jì)算：（1）(-0.75)×(-1.2)；（2）(-)×(-)；（3）(-321)×(-1)；（4）(-)×(-3)；7.a、b是什么有理數(shù)時(shí),下式成立：a×b=|a×b|. 8.計(jì)算：（1）(-27)×；（2）(-0.75)×(-1.2)；（3）(-)×(-)；（4）(-321)×(-1)；（5）(-)×(-3)；（6）(-6.1)×0.9.計(jì)算：(1)×(－)×(－)(2)(－)×(－)×0×(3)×(－1.2)×(－);(4)(－)×(－)×(－)10.計(jì)算:(1)(-5)÷(-15)÷(-3)；(2)-1+5÷(-)×(-6)；(3)(-)×(+)÷×(-)=.B等級答案11.四個(gè)各不相等的整數(shù)，它們的積abcd=25，那么a+b+c+d=_____________.12.已知ab<|ab|,則有（）A.ab<0 B.a<b<0C.a>0,b<0 D.a<0<b13.幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，它們的積的符號如何確定_______.14.下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有()①若一個(gè)負(fù)數(shù)比它的倒數(shù)大,這個(gè)負(fù)數(shù)的范圍在-1與0之間②若兩數(shù)和為正,這兩數(shù)商為負(fù),則這兩個(gè)數(shù)異號,且負(fù)數(shù)的絕對值較?、?除以任何數(shù)都得0④任何整數(shù)都大于它的倒數(shù)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)15.兩個(gè)數(shù)的商為正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的（）A.和為正B.差為正C.積為正D.以上都不對16.相反數(shù)是它本身的數(shù)是___________，倒數(shù)是它本身的數(shù)是_____________.17.若a,b互為倒數(shù)，則ab的相反數(shù)是______________.18.12×(-2)÷(-5)=_______.19.用“＜”或“＞”或“=”填空:(1)(-)÷(-)÷(-)0；(2)(-)÷÷(-)___________0；(3)0÷(-5)÷(-7)___________0.20.若m＜0，則等于（）A.1B.±1C.–1D.以上答案都不對C等級21.下列各對數(shù)中,互為倒數(shù)的是（）A.-和3B.-1和1C.0和0D.-1和-22.求下列各數(shù)的倒數(shù)并用“<”把它們連接起來.－,2,|－3|,0.5,－1.6.23.計(jì)算24．0×÷=_________.25.2009×=________.26.(-1)×(+1)×(-1)÷(-1)×(-1)÷(-1)=__________.27.2010÷(1-)××=__________.28.(-2)×(-2)×(－2)×(-2)÷(-4)=________.29.×27＋27×＋=__________.30.我們在計(jì)算時(shí)經(jīng)常碰到一題多解的情況，如計(jì)算（-）÷（-+-）解法一：原式=(-)÷(-)=-×3=-.解法二：原式的倒數(shù)為（-+-）÷（-）=（-+-）×（-30）=×（-30）-×（-30）+×（-30）+×30=-20+3-5+12=-10.所以原式=-.閱讀上述材料，并選擇合適的方法計(jì)算：計(jì)算：.A等級答案1.B2.D3.-1;4.A5.20066.（1）(-0.75)×(-1.2)