高一數(shù)學(xué)向量的加減法

［教材優(yōu)化全析］1.向量的加法（1）引入①某人從A到B，再從B按原方向到C，則兩次的位移和：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0②若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，則兩次的位移和：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0③某車從A到B，再從B改變方向到C，則兩次的位移和：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0上述①②③三個小題，說明向量共線、不共線時都可依據(jù)向量的運(yùn)算法則求“和”.（2）向量的加法的定義已知向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=b，則向量SKIPIF1<0叫做向量a、b的和.記作a+b，即a+b=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.對于零向量與任意向量a，有a+0=0+a=a.（3）兩個向量的和向量的作法如圖（1）、（2）、（3）中，SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=b，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.SKIPIF1<0①三角形法則：上面的（1）、（2）、（3）中各有兩個向量，把其中一個向量的起點(diǎn)平移，使之與第二個向量的終點(diǎn)重合，則第一個向量的起點(diǎn)指1°三角形法則對于兩個向量共線時也適用.2°可將向量加法的三角形法則推廣到多個向量相加的多邊形法則.3°任何一個向量均可以寫成兩個任意向量之和，只要注意到這個向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)即可，如：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0,如下所示，O點(diǎn)具有任意性.SKIPIF1<0課本99頁例1.求a+b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.實(shí)際上我們常在其中a或b上取一點(diǎn)，只平移一個向量即可.如可把a(bǔ)的起點(diǎn)移至b的終點(diǎn)可求和向量.②平行四邊形法則由同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點(diǎn)的對角線SKIPIF1<0就是a與b的和.這種作兩個向量和的方法叫做平行四邊形法則.SKIPIF1<0當(dāng)兩個向量共線時，能用平行四邊形法則求和嗎？不能.因?yàn)椴豢赡芤詢善叫邢蛄繛猷忂呑髌叫兴倪呅?所以，平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用.（3）兩向量的和向量與原向量之間的關(guān)系（方向與模）.①當(dāng)向量a、b不共線時，a+b的方向與a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②當(dāng)向量a、b同向時，a+b的方向與a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.若|a|＜|b|,則a+b的方向與a反向，且|a+b|=|b|－|a|.（4）向量的運(yùn)算律①交換律：a+b=b+a.證明：當(dāng)向量a、b不共線時如下圖，作平行四邊形ABCD，使SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b,SKIPIF1<0則SKIPIF1<0=b,SKIPIF1<0=a.因?yàn)镾KIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=a+b,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=b+a，所以a+b=b+a.當(dāng)向量a、b共線時，若a與b同向，由向量加法的定義知：a+b與a同向，且|a+b|=|a|+|b|，b+a與a同向，且|b+a|=|b|+|a|，所以a+b=b+a；若a與b反向，不妨設(shè)|a|＞|b|，同樣由向量加法的定義知：a+b與a同向，且|a+b|=|a|－|b|,b+a與a同向，且|b+a|=|a|－|b|,所以a+b=b+a.綜上所述，a+b=b+a.②結(jié)合律，自己驗(yàn)證一下.由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，對于多個向量的加法運(yùn)算就可以按照任意的次序與任意的組合來進(jìn)行了.例如化簡：（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）+SKIPIF1<0=（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.又如化簡：SKIPIF1<0+（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）=（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=0,也可寫成SKIPIF1<0+（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=0.2.向量的減法（1）相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做相反向量，記作：－a.①規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.②a與－a互為相反向量，即－（－a）=a.③任意向量與它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.又如：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為相反向量，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=0.④如果a、b互為相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.（2）向量減法的定義向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b=a+（－b）.求兩個向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法，向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算.若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a－b.（3）a－b的作法由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.所以a－b就是這樣一個向量，它與b的和等于a.①已知a、b,怎樣求作a－b?解法一：已知向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=b,則SKIPIF1<0=a－b,即a－b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.SKIPIF1<0解法二：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=b，則SKIPIF1<0=a－b，即a－b也可以表示為從向量a的起點(diǎn)指向向量b的起點(diǎn)的向量.SKIPIF1<0解法三：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=－b,則由向量加法的平行四邊形法則可得SKIPIF1<0=a+（－b）=a－b.SKIPIF1<0②如下圖,若a與b共線時，怎樣作a－b?SKIPIF1<0在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作SKIPIF1<0=a,SKIPIF1<0=b.則SKIPIF1<0為所求的向量a－b.SKIPIF1<0一般地，不論兩向量共線還是不共線，常選取一個適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過平移把兩向量的起點(diǎn)重合，則由減數(shù)向量的終點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn)的向量，即為所求的差向量.平行四邊形ABCD中，若設(shè)SKIPIF1<0=a，SKIPIF1<0=b，則兩條對角線都可以用a與b表示，借助這一模型可進(jìn)一步研究有關(guān)SKIPIF1<0ABCD的一些性質(zhì).如課本103頁例4.SKIPIF1<0=a+b,SKIPIF1<0=a－b.SKIPIF1<0變式訓(xùn)練一：當(dāng)a、b滿足什么條件時，a+b與a－b垂直？變式訓(xùn)練二：當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a－b|?變式訓(xùn)練三：a+b與a－b可能是相等向量嗎？變式訓(xùn)練四：當(dāng)a與b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？答案：一、|a|=|b|,即SKIPIF1<0ABCD為菱形，對角線互相垂直.二、|a+b|=|a－b|，即SKIPIF1<0ABCD的對角線長相等，SKIPIF1<0ABCD應(yīng)為矩形，所以應(yīng)滿足a與b垂直.三、a+b與a－b不可能相等，因?yàn)镾KIPIF1<0ABCD的方向不同.四、當(dāng)|a|=|b|時，對角線平分a與b所夾的角.全析提示向量運(yùn)算是運(yùn)用向量方法解決問題的基本工具，而向量的加法運(yùn)算是最基本的向量運(yùn)算之一，向量加法的平行四邊形法則與三角形法則和物理中力的合成、速度的合成完全一致.思維拓展兩個向量的和仍是一個向量，這如同兩個力的合力仍是力（向量）一樣.全析提示向量有幾何表示法和字母表示法兩種情況.用幾何法表示時，箭頭所指的方向是正方向；用字母表示時，起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后，方向由起點(diǎn)指向終點(diǎn).思維拓展向量是既有大小又有方向的量，向量的模與方向可通過解三角形的知識求得；對于首尾相連的幾個向量的和,等于以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，第n個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.全析提示不管平面內(nèi)的點(diǎn)O選在何處，對于首尾相連的兩個和向量，它的方向總是由第一向量的起點(diǎn)指向第二向量的終點(diǎn).要點(diǎn)提煉在幾何中向量的加法是用幾何作圖來定義的.它有兩種法則，其中三角形法則比平行四邊形法則更具有一般性.像兩個向量共線時就只能用三角形法則了.全析提示當(dāng)向量a、b不共線時，|a|、|b|及|a+b|構(gòu)成一個三角形的三條邊，由三角形的性質(zhì)可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；當(dāng)向量a、b共線時，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直線上的線段相加減.要點(diǎn)提煉向量的加法同實(shí)數(shù)的加法一樣，滿足交換律與結(jié)合律.思維拓展當(dāng)向量a與b共線時，求a與b的和，不管是b以a的終點(diǎn)為起點(diǎn)，還是a以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，它們的和都是從第一個向量的起點(diǎn)指向第二個向量的終點(diǎn)，從圖象上看都是相等的.要點(diǎn)提煉由于向量可用表示它的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的字母來表示，根據(jù)向量加法的三角形法則，可把首尾相連的向量先結(jié)合在一起相加.全析提示向量的減法與加法互為逆運(yùn)算，有關(guān)向量的減法可同加法相類比，也可同實(shí)數(shù)的減法相類比.全析提示兩個向量的差同兩個向量的和一樣，其運(yùn)算結(jié)果仍是一個向量，它的模與方向可通過解三角形知識求得.全析提示由于向量SKIPIF1<0是以O(shè)B的終點(diǎn)為起點(diǎn)的向量，所以根據(jù)向量加法的三角形法則有SKI