高等數(shù)學(xué)課件D111對(duì)弧長(zhǎng)和曲線積分知識(shí)分享

第十一章積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件第一節(jié)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一型曲線積分第十一章1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(其中

為n個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件3.性質(zhì)（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件說(shuō)明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對(duì)稱性,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例4.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件課堂練習(xí).計(jì)算其中L為提示:

L分為四段進(jìn)行計(jì)算：①化為定積分,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束②③④①②③④1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例5.計(jì)算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例6.計(jì)算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件思考:例6中

改為計(jì)算解:

令,則圓

的形心在原點(diǎn),故,如何機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件例7.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件課堂練習(xí).

L為球面三個(gè)坐標(biāo)面的交線,求其形心。在第一卦限與提示:如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長(zhǎng)度)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)1.已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2)求它的質(zhì)心.解:設(shè)其密度為ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1/6/2025高等數(shù)學(xué)課件故重心坐標(biāo)為第二節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示: