2023-2024學年河南省三門峽市高二上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省三門峽市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1，答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.考試結束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若經(jīng)過兩點的直線斜率為1，則實數(shù)（）A. B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】過兩點的直線斜率為，所以，解得，.故選：A.2.圓：與圓：的位置關系不可能是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】圓：化為標準方程，則圓的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，則兩圓心距離為，所以兩圓不可能外切.故選：D.3.在空間直角坐標系O-xyz中，點，，則（）A.直線AB∥坐標平面xOy B.直線AB⊥坐標平面xOyC.直線AB∥坐標平面 D.直線AB⊥坐標平面【答案】C【解析】由已知得，坐標平面的一個法向量是，坐標平面的一個法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標平面，也不垂直坐標平面，故BD錯.因為，所以直線不平行坐標平面，故A錯因，點A、B均不在坐標平面上，所以直線AB與坐標平面平行，故C對.故選：C4.設數(shù)列的前n項和為，并且，則等于（）A.32 B.16 C.992 D.【答案】A【解析】當時，.所以.故選：A.5.已知雙曲線的左焦點為F1，M為C的漸近線上一點，M關于原點的對稱點為N,若，且,則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)對稱性，不妨設在左支,由于，且，所以，由于關于原點對稱，所以,結合可得，所以故漸近線的傾斜角為，雙曲線的漸近線方程為．故選：B6.已知為橢圓的焦點，P為橢圓上一動點，，則的最大值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】由于橢圓的焦點為，所以且焦點在軸上，則，且，，所以橢圓方程為，所以，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義得，當是的延長線與橢圓的交點時等號成立，所以的最大值為.故選：A7.已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.對任意的，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為，則數(shù)列的前項和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設數(shù)列的公差為，前項和為，因為，可得，解得，所以，對任意的，若，則，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為7的等比數(shù)列，故.故選：C.8.已知橢圓：的離心率為，左頂點是A，左、右焦點分別是，，是在第一象限上的一點,直線與的另一個交點為,若,則直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為離心率為，故可設，故，故橢圓方程為：，而，，故，因，故.故直線與軸不垂直也不重合，故可設，，，則，由可得，因在橢圓內(nèi)部，故恒成立，且，故，因，故，此時，，故在第一象限，符合條件，的斜率為，故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，其中，則（）A.直線過定點B.當時，直線與直線垂直C.當時，直線在兩坐標軸上的截距相等D.若直線與直線平行，則這兩條平行直線之間的距離為【答案】ABD【解析】由直線方程，若，即直線過定點，A對；時，斜率為1，而斜率為，顯然斜率乘積為，所以直線與直線垂直，B對；時，，令則，令則，顯然截距不相等，C錯；若直線與直線平行，即，則兩條平行直線之間的距離，D對.故選：ABD10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家揚輝所著的《詳析九章算法·商功》中后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.存在正整數(shù)，使得為質(zhì)數(shù)【答案】BC【解析】依題意因為，以上個式子累加可得︰,又滿足上式，所以，故，故A錯誤；因，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，故當且為整數(shù)時，，此時、必有一個為大于的偶數(shù)，則為合數(shù)，則不存在正整數(shù)，使得質(zhì)數(shù)，D錯誤，故選：BC11.如圖，在四棱錐中，平面，，，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.C.D.點到直線的距離為【答案】AB【解析】過作，垂足為，則，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，因為，所以直線與所成角的余弦值為，故A正確；因為，所以B正確；因為，所以與不垂直，故C不正確；設點到直線的距離為，則，即點到直線的距離為，故D不正確.故選：AB.12.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.若為正方形，則的邊長為C.若是直線：上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或D.若是橢圓蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為18【答案】ABC【解析】A選項，，故橢圓的蒙日圓方程為，A正確；B選項，由題意，為圓的內(nèi)接矩形，若為正方形，設的邊長為，則，解得，故B正確；C選項，由題意得，直線：與的交點即為所求點，則，解得或，故或，故或，C正確.D選項，由對稱性可知，四邊形為矩形，其中為對角線，且，故，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選：ABC第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因為是正方體，建立以為原點的坐標系，如圖，設正方體的棱長為2，則有，，，，，，設異面直線與所成角為，．故答案為：．14.已知等差數(shù)列滿足，則的值為_________.【答案】3【解析】由等差數(shù)列通項公式得，即，故，.故答案為：315.河南省2025年高考將實行“3+1+2”高考模式，其中的“2”為選考科目，分數(shù)將實行賦分制，等級劃分?人數(shù)比例?賦分區(qū)域?qū)P系如圖所示，各單科一樣.根據(jù)規(guī)則，各考生的單科分數(shù)位次賦分前后不發(fā)生改變，一個等級內(nèi)的原始分x?賦分后的分數(shù)y構成的點都在一條直線上.某次模擬考試中，小張的化學成績?yōu)?3分在B級，且這次考試B級的上?下限原始分分別為69分?51分（51分賦分后為71分，69分賦分后為85分）.那么小張的賦分成績?yōu)開_________.（賦分計算時四舍五入為整數(shù)）等級比例賦分區(qū)域【答案】80【解析】設小張的賦分為，由得，所以小張的賦分為分.故答案為：.16.過雙曲線：（，）的左焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，這條垂線與另一條漸近線在第一象限內(nèi)交于點，為坐標原點，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設（），漸近線：，漸近線：，直線：，因為點在第一象限，所以，得，原點到直線的距離，即.將直線與聯(lián)立方程組可解得，故.所以.在中，，整理可得，所以，整理得，所以離心率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求的最小值及此時的值.解：（1）由知為等差數(shù)列，設公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項公式為；（2）由(1)得，所以當時，取得最小值，最小值為18.在正四棱柱中，，，在線段上，且.建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題意得，，，，，，所以，所以；（2）由已知得，,，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知是拋物線的焦點，是上在第一象限的一點，點在軸上，軸，，．（1）求的方程；（2）過作斜率為的直線與交于，兩點，的面積為（為坐標原點），求直線的方程．解：（1）由題知，，由拋物線的定義知，，，的方程為．（2）由（1）知，設，，直線的方程為，代入，整理得，由題易知，，，到直線的距離為，，解得，直線的方程為或．20.如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，．（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在點，使得直線與所成角的余弦值為?若存在，求點到平面的距離；若不存在，說明理由．解：（1）由四邊形為正方形，平面，知直線兩兩垂直，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的一個法向量，則，令，得，設平面的一個法向量，則，令，得，設平面和平面所成銳二面角為，則所以平面與平面所成銳二面角余弦值為．（2）假設存在，又，則，，由直線與所成角的余弦值為，得，解得，則存在點，為棱的中點時滿足條件，即，，，設平面的一個法向量，則，令，得，所以點到平面的距離為.21.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）探究數(shù)列是否存在最大項，并說明理由．解：（1）因為，即，且，可得，所以，即數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，又，則.（2）由（1）可得，，則，所以，當時，，，則，所以，所以當時，為單調(diào)遞減數(shù)列，又，，，所以當或時，數(shù)列有最大項為.22.已知橢圓經(jīng)過點，且其右焦點為，過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，線段上是否存在點，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點，點關于軸的對稱點為，試證明：直線過定點．解：（1）因為橢圓右焦點為，且經(jīng)過點，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，設直線的方程為：，，代入，得，恒成立.設，，線段的中點為，則，則，由，得，所以直線為直線的垂直平分線，直線的方程為：，令得：點的橫坐標，因為，所以，所以.線段上存在點，使得，其中..（3）設直線的方程為：，，代入，得，因為過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于A，兩點，所以由，得：，設，，，則，，則直線的方程為，令，得.易知當直線AB斜率為0時，直線也過點.所以直線過定點.河南省三門峽市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1，答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.考試結束后，將答題卡交回.第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若經(jīng)過兩點的直線斜率為1，則實數(shù)（）A. B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】過兩點的直線斜率為，所以，解得，.故選：A.2.圓：與圓：的位置關系不可能是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切 C.相交 D.外切【答案】D【解析】圓：化為標準方程，則圓的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，則兩圓心距離為，所以兩圓不可能外切.故選：D.3.在空間直角坐標系O-xyz中，點，，則（）A.直線AB∥坐標平面xOy B.直線AB⊥坐標平面xOyC.直線AB∥坐標平面 D.直線AB⊥坐標平面【答案】C【解析】由已知得，坐標平面的一個法向量是，坐標平面的一個法向量是，易判斷與，不平行，所以直線AB不垂直坐標平面，也不垂直坐標平面，故BD錯.因為，所以直線不平行坐標平面，故A錯因，點A、B均不在坐標平面上，所以直線AB與坐標平面平行，故C對.故選：C4.設數(shù)列的前n項和為，并且，則等于（）A.32 B.16 C.992 D.【答案】A【解析】當時，.所以.故選：A.5.已知雙曲線的左焦點為F1，M為C的漸近線上一點，M關于原點的對稱點為N,若，且,則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)對稱性，不妨設在左支,由于，且，所以，由于關于原點對稱，所以,結合可得，所以故漸近線的傾斜角為，雙曲線的漸近線方程為．故選：B6.已知為橢圓的焦點，P為橢圓上一動點，，則的最大值為（）A. B.6 C. D.【答案】A【解析】由于橢圓的焦點為，所以且焦點在軸上，則，且，，所以橢圓方程為，所以，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義得，當是的延長線與橢圓的交點時等號成立，所以的最大值為.故選：A7.已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.對任意的，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為，則數(shù)列的前項和等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設數(shù)列的公差為，前項和為，因為，可得，解得，所以，對任意的，若，則，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為7的等比數(shù)列，故.故選：C.8.已知橢圓：的離心率為，左頂點是A，左、右焦點分別是，，是在第一象限上的一點,直線與的另一個交點為,若,則直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為離心率為，故可設，故，故橢圓方程為：，而，，故，因，故.故直線與軸不垂直也不重合，故可設，，，則，由可得，因在橢圓內(nèi)部，故恒成立，且，故，因，故，此時，，故在第一象限，符合條件，的斜率為，故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線，其中，則（）A.直線過定點B.當時，直線與直線垂直C.當時，直線在兩坐標軸上的截距相等D.若直線與直線平行，則這兩條平行直線之間的距離為【答案】ABD【解析】由直線方程，若，即直線過定點，A對；時，斜率為1，而斜率為，顯然斜率乘積為，所以直線與直線垂直，B對；時，，令則，令則，顯然截距不相等，C錯；若直線與直線平行，即，則兩條平行直線之間的距離，D對.故選：ABD10.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家揚輝所著的《詳析九章算法·商功》中后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.存在正整數(shù)，使得為質(zhì)數(shù)【答案】BC【解析】依題意因為，以上個式子累加可得︰,又滿足上式，所以，故，故A錯誤；因，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，故當且為整數(shù)時，，此時、必有一個為大于的偶數(shù)，則為合數(shù)，則不存在正整數(shù)，使得質(zhì)數(shù)，D錯誤，故選：BC11.如圖，在四棱錐中，平面，，，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.C.D.點到直線的距離為【答案】AB【解析】過作，垂足為，則，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，因為，所以直線與所成角的余弦值為，故A正確；因為，所以B正確；因為，所以與不垂直，故C不正確；設點到直線的距離為，則，即點到直線的距離為，故D不正確.故選：AB.12.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.橢圓的蒙日圓方程為B.若為正方形，則的邊長為C.若是直線：上的一點，過點作橢圓的兩條切線與橢圓相切于，兩點，是坐標原點，連接，當為直角時，或D.若是橢圓蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于，兩點，則面積的最大值為18【答案】ABC【解析】A選項，，故橢圓的蒙日圓方程為，A正確；B選項，由題意，為圓的內(nèi)接矩形，若為正方形，設的邊長為，則，解得，故B正確；C選項，由題意得，直線：與的交點即為所求點，則，解得或，故或，故或，C正確.D選項，由對稱性可知，四邊形為矩形，其中為對角線，且，故，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選：ABC第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】因為是正方體，建立以為原點的坐標系，如圖，設正方體的棱長為2，則有，，，，，，設異面直線與所成角為，．故答案為：．14.已知等差數(shù)列滿足，則的值為_________.【答案】3【解析】由等差數(shù)列通項公式得，即，故，.故答案為：315.河南省2025年高考將實行“3+1+2”高考模式，其中的“2”為選考科目，分數(shù)將實行賦分制，等級劃分?人數(shù)比例?賦分區(qū)域?qū)P系如圖所示，各單科一樣.根據(jù)規(guī)則，各考生的單科分數(shù)位次賦分前后不發(fā)生改變，一個等級內(nèi)的原始分x?賦分后的分數(shù)y構成的點都在一條直線上.某次模擬考試中，小張的化學成績?yōu)?3分在B級，且這次考試B級的上?下限原始分分別為69分?51分（51分賦分后為71分，69分賦分后為85分）.那么小張的賦分成績?yōu)開_________.（賦分計算時四舍五入為整數(shù)）等級比例賦分區(qū)域【答案】80【解析】設小張的賦分為，由得，所以小張的賦分為分.故答案為：.16.過雙曲線：（，）的左焦點作的一條漸近線的垂線，垂足為，這條垂線與另一條漸近線在第一象限內(nèi)交于點，為坐標原點，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為______.【答案】【解析】如圖，設（），漸近線：，漸近線：，直線：，因為點在第一象限，所以，得，原點到直線的距離，即.將直線與聯(lián)立方程組可解得，故.所以.在中，，整理可得，所以，整理得，所以離心率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列，（1）求的通項公式；（2）設數(shù)列的前項和為，求的最小值及此時的值.解：（1）由知為等差數(shù)列，設公差為，則，成等比數(shù)列，所以，即，解得，又，所以的通項公式為；（2）由(1)得，所以當時，取得最小值，最小值為18.在正四棱柱中，，，在線段上，且.建立如圖所示的空間直角坐標系.（1）求；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題意得，，，，，，所以，所以；（2）由已知得，,，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知是拋物線的焦點，是上在第一象限的一點，點在軸上，軸，，．（1）求的方程；（2）過作斜率為的直線與交于，兩點，的面積為（為坐標原點），求直線的方程．解：（1）由