（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)14 拋物線方程及其性質(zhì)（教師版）

第頁(yè)第14講拋物線方程及其性質(zhì)知識(shí)講解拋物線的定義平面上一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線拋物線的圖形數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)設(shè)，由定義可知：，等式兩邊同時(shí)平方得：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)焦點(diǎn)位置軸正半軸軸負(fù)半軸軸正半軸軸負(fù)半軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程通徑通徑長(zhǎng)：，半通徑長(zhǎng)：焦半徑（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）焦點(diǎn)弦的性質(zhì)考點(diǎn)一、拋物線的定義【例1】已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．直線【答案】C【分析】由拋物線的定義求解即可.【詳解】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.故選：C【變式1】設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，的坐標(biāo)與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【詳解】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.【變式2】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則下列為真命題的是（

）．A．若，則點(diǎn)在圓上B．若，則點(diǎn)在橢圓上C．若，則點(diǎn)在雙曲線上D．若，則點(diǎn)在拋物線上【答案】D【分析】、分別表示點(diǎn)與、之間的距離，記，，由復(fù)數(shù)模的幾何意義和圓錐曲線的定義逐一判斷可得答案.【詳解】表示點(diǎn)與之間的距離，表示點(diǎn)與之間的距離，記，，對(duì)于A，，表示點(diǎn)到、距離相等，則點(diǎn)在線段的中垂線上，故A錯(cuò)誤；或由，整理得，所以點(diǎn)在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.故選：D.考點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】若拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為8，到軸的距離為6，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用拋物線定義即可求得p，然后可得方程.【詳解】由拋物線定義可得：，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C

【變式3】（多選）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，若，且，則拋物線的方程可以為（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】利用拋物線的定義、以及幾何性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，所以，所以，解得，所以，解得或，所以拋物線的方程為或．故選:BC.考點(diǎn)三、拋物線的幾何性質(zhì)【例3】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和拋物線C分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則（

）A．2B．C．D．4【答案】D【分析】由拋物線定義結(jié)合得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，求出，得到答案.【詳解】由拋物線定義可知，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故，，所以，其中?zhǔn)線l與軸交點(diǎn)為，則，故，所以.

故選：D【變式5】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)題意得到，求得,進(jìn)而求得點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖所示，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)闉榭拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，可得，又因?yàn)椋傻?又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故選：C.

【變式6】已知拋物線，直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義以及正弦定理得出結(jié)果.【詳解】如圖，拋物線C的準(zhǔn)線，直線n與x軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線n的垂線，垂足為Q，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，又，所以，故，即．

故選：C.考點(diǎn)四、拋物線中的最值問題【例4】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5B．6C．7D．8【答案】C【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為：．由拋物線的定義知：點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可知，的最小值是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為7．故選：C.

【變式7】已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值是（

）A．10B．9C．8D．5【答案】B【分析】設(shè)，，聯(lián)立得，則，利用基本不等式即可得出答案.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立得，則.所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，上式取等號(hào)，故.故選：B【變式8】已知F為拋物線的焦點(diǎn)，P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（

）A．B．C．2D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)距離公式計(jì)算以及的長(zhǎng)，代入所求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最大值.【詳解】設(shè)，則，又，所以，則.令，則，，即時(shí)，取得最大值，此時(shí).故選：D【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則（

）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】先利用點(diǎn)在拋物線上，得到，再結(jié)合條件和拋物線的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，得到，又點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，根據(jù)拋物線定義知，，得到,故選：D.2.已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用已知條件求解拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出M的坐標(biāo)，然后求解三角形的面積.【詳解】拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，等于到準(zhǔn)線的距離，即，又，故，故，.故選：C.3.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，拋物線C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)，且的面積為2，若Q是拋物線C上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】由的面積求出，為定值，的周長(zhǎng)最小，需最小，即最小，此時(shí)MQ垂直于拋物線C的準(zhǔn)線，求值即可.【詳解】由題可知，的面積為，則．則有,準(zhǔn)線方程為，，Q點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，的周長(zhǎng)最小，需最小，即最小，所以當(dāng)MQ垂直于拋物線C的準(zhǔn)線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，且最小值為．故選：B.4.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】求得拋物線焦點(diǎn)即橢圓焦點(diǎn)，再設(shè)橢圓方程，由橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，，再由，，的關(guān)系求即可.【詳解】拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，∴橢圓焦點(diǎn)在軸，設(shè)橢圓方程為，（），則由焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)知，，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，.若，則.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)M的坐標(biāo)作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，由拋物線的對(duì)稱性不妨令，如圖，

顯然，而，則，，于是直線的方程為，由得，解得，所以.故答案為：6.已知拋物線的的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，，是的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則.【答案】【分析】設(shè)，利用向量的關(guān)系式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程即可．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，由題意，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，所以，，代入得，解得（?fù)值舍），所以.故答案為：7.已知點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，連接PF并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)B，則的最小值是.【答案】4【分析】求出焦點(diǎn)，設(shè).表示出，令，換元根據(jù)基本不等式即可求出答案.【詳解】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，則由拋物線的定義得，.要使最小，則應(yīng)有，此時(shí)有.令，則，，因?yàn)?，顯然有，則由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為：4.課后訓(xùn)練1.已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A2.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則拋物線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求得拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，利用直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系求解即可．.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線方程變形為，由，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，由拋物線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，得，即，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，所以，解得，所以拋物線的方程為.故選：D3.已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，，是拋物線的焦點(diǎn)，且，則的值為（

）A．1B．2C．D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可計(jì)算出的值.【詳解】易知，由點(diǎn)在拋物線上，可設(shè)；又，由可得即，計(jì)算可得；又，可得.故選：D4.（多選）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，設(shè)直線，的斜率分別為，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，即可求出拋物線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式判斷B，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示判斷C，根據(jù)斜率公式判斷D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故A正確；所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，設(shè)直線，則，消去整理得，則，所以，，則，，所以，故B正確；所以，，所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：ABD5.焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，解得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，要滿足，則只需點(diǎn)為的垂直平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中得，解得，則，所以的斜率為1，且的中點(diǎn)為，則的垂直平分線方程為，即，又的垂直平分線方程為，又，則點(diǎn)為的垂直平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．6.已知拋物線，圓，P為E上一點(diǎn)，Q為C上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2B．C．D．3【答案】B【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式結(jié)合點(diǎn)在拋物線上有，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的半徑即可得到答案.【詳解】由題意知,設(shè)，則,所以當(dāng)時(shí),，又因?yàn)閳A的半徑為1，所以.故選：B.

7.已如，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.【答案】3【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)的距離的和，而點(diǎn)在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點(diǎn)垂直于y軸的直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.8.已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，PQ是過點(diǎn)F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是，當(dāng)取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，由此可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得直線的方程，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，解得或，當(dāng)時(shí)，，即，所以.故答案為：.隨堂檢測(cè)1.已知拋物線的焦點(diǎn)為在拋物線上，且，則（

）A．2B．4C．8D．12【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義即可得解.【詳解】由題意可得，則．故選：B.2.拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1B．2C．D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.3.拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則（

）A．2B．C．8D．4【答案】A【分析】利用雙曲線的漸近線、拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線以及兩點(diǎn)的距離公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】由題知，雙曲線的漸近線為，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由得兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，解得.故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)F且傾斜角為的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（

）．A．B．5C．D．2【答案】A【分析】先求拋物線方程，再聯(lián)立方程應(yīng)用韋達(dá)定理，最后應(yīng)用焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則，拋物線C為：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，直線方程為，

由消去y得：，設(shè)，，則，，所以．故選：A.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】作出圖形，過點(diǎn)作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，利用拋物線的定義可知，分析可知，當(dāng)且僅當(dāng)、為線段分別與圓、拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，即可得解.【詳解】根據(jù)已知得到，圓，所以，圓的半徑為，拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則，由拋物線的定義可得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、為線段分別與圓、拋物線的交點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.6.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】4【分析】根據(jù)焦半徑公式求橫坐標(biāo)即可.【詳