（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)04 三角恒等變換（教師版）

第頁(yè)第04講三角恒等變換（和差公式、倍角公式）知識(shí)講解正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上稱之為半角公式，符號(hào)由eq\f(α,2)所在象限決定．和差化積與積化和差公式推導(dǎo)公式輔助角公式，，其中，考點(diǎn)一、兩角和與差的三角函數(shù)綜合應(yīng)用【例1】若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.【變式1】已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】將所給的三角函數(shù)式展開(kāi)變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【變式2】已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（

）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.考點(diǎn)二、倍角公式的綜合應(yīng)用【例2】（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.【變式3】已知=，則的值是.【答案】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開(kāi)，再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為：【變式4】若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．【變式5】若，則，．【答案】【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.考點(diǎn)三、半角公式的綜合應(yīng)用【例3】已知為銳角，，則（

）．A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．【變式6】已知，若是第二象限角，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求，再利用平方關(guān)系可求，然后利用公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又是第二象限角，所以，所?故選：B．【變式7】數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無(wú)字證明，是指僅用圖象而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證時(shí)被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，，垂足為，記，則由可以直接證明的三角函數(shù)公式是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形中的定義寫(xiě)出，用表示出，然后分析可得．【詳解】由已知，則，，又，，，，因此，故選：C．考點(diǎn)四、輔助角公式的綜合應(yīng)用【例4】若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．【答案】1【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡(jiǎn)為，代入自變量，計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：1，【變式8】函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和B．和2C．和D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．【變式9】若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為．【答案】（均可）【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故可?故答案為：（均可）.考點(diǎn)五、三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例5】下列化簡(jiǎn)不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D【變式10】若，則（

）A．0B．C．1D．【答案】C【分析】根據(jù)題意和正弦的倍角公式，化簡(jiǎn)得到，再由余弦的倍角公式，得到，令，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】解：由，可得，又由正弦的倍角公式，可得，即，令，則，解得，所以.故選：C.【變式11】已知為第二象限角，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由平方關(guān)系和輔助角公式可求解.【詳解】為第二象限角，，原式..故選：B.【變式12】函數(shù)的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，即可求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)的最小值為.故答案為：【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．設(shè)，則等于（

）A．-2B．2C．-4D．4【答案】C【分析】先用兩角差的正切公式可求出的值，再用兩角和的正切公式即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，故，故選：C．2．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：C3．已知，，則（

）A．4B．6C．D．【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【詳解】由得，進(jìn)而可得，所以，故選：D4．已知直線的傾斜角為，則（

）A．-3B．C．D．【答案】B【分析】利用直線的斜率的定義及二倍角的余弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以.所以.故選：B.5．若，，則（

）A．1B．C．D．【答案】C【分析】首先求出，即可得到，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，，又，所以，即，所?故選：C6．已知，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】由題意得，，因?yàn)椋裕?，即，所?故選：B7．已知銳角，滿足，則的值為（

）A．1B．C．D．【答案】C【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再根據(jù)兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即，即，所?故選：C8．已知，，，則（

）A．B．C．D．1【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)條件得：，再根據(jù)角的范圍及誘導(dǎo)公式得，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】由，得，①化簡(jiǎn)①式，得，又，所以，即，因?yàn)?，，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，所以.故選：B．二、填空題9．已知，則.【答案】/-0.8【分析】根據(jù)正切的差角公式得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，構(gòu)造齊次式化簡(jiǎn)弦為切計(jì)算即可.【詳解】由，又，代入得.故答案為：10．若，則的值為．【答案】或【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法求出，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，則，即，解得，所以的值為或.故答案為：或【能力提升】一、單選題1．已知角，滿足，，則（

）A．B．C．D．2【答案】A【分析】根據(jù)積化和差公式可得，結(jié)合二倍角公式以及弦切互化得齊次式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而，則所以，則.故選：A.2．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)角的變換及誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】，，.故選：D3．設(shè)，，，則有（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)a，正切二倍角公式和放縮放化簡(jiǎn)b，余弦二倍角公式化簡(jiǎn)c，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性比較可得.【詳解】，，，當(dāng)，單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C4．已知銳角滿足，則（

）A．B．C．D．1【答案】D【分析】先根據(jù)求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據(jù)兩角和得正切公式即可得解.【詳解】由，得，即，解得，又為銳角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故選：D.5．若，，則等于（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用二倍角和兩角差的余弦公式，再結(jié)合角的范圍，即可求解.【詳解】依題意可知，，即，即，得，因?yàn)椋?，所以，?故選：D課后訓(xùn)練2．的值為（

）A．B．1C．D．【答案】A【分析】運(yùn)用正切兩角和公式變形求解即可.【詳解】，令，則，所以，即.故選：A.2．已知，則（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B3．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以．，故選：B．4．函數(shù)的最小正周期為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平方關(guān)系結(jié)合二倍角的正弦公式及降冪公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性即可得解.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期.故選：B.5．已知，則的近似值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】首先求出，再根據(jù)利用兩角差的正、余弦公式展開(kāi)，最后利用誘導(dǎo)公式變形，代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B6．已知，，若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?故選：C.7.若為銳角，且，則．【答案】2【分析】根據(jù)兩角和的正切公式變形即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?8．若函數(shù)的最小值為，則常數(shù)的一個(gè)取值為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）.【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求常數(shù)的一個(gè)取值即可.【詳解】可化為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以，，所以或，其中，故答案為：（答案不唯一）.隨堂檢測(cè)1．（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】．故選：A.2．若tanα＝3，tanβ＝，則tan(α－β)等于（

）A．3 B．－3 C． D．【答案】C【分析】由兩角差的正切公式即可求解.【詳解】解：tan(α－β)＝＝＝，故選：C.3．的值等于（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】解：.故選：B.4．已知，則（

）A．0B．C．D．【答案】A【分析】利用兩角和差的正弦公式將題給條件化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的方程，解之即可求得的值.【詳解】，，又，則，則故選：A5．若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.6．函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.7.若，是第三象限的角，則＝（）A．2B．