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第1頁/共4頁創(chuàng)新高級中學(xué)2024年下學(xué)期高二創(chuàng)高杯考試(科目:數(shù)學(xué))3.卷Ⅰ請用2B鉛筆填涂在對應(yīng)位置中;1.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為是C上一點(diǎn),且A.B.+x2=1C.D.A.B.C.3D.2A.30°B.60°C.90°D.120°A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)M為棱CC1上任意一點(diǎn),則)A.1B.2C.1D.26.在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=第2頁/共4頁7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.B.C.-y2=1D.8.x,y∈R,函數(shù)f3x+4y-5的最小值為()A.2B.C.D.9.已知圓x2+y2=4上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為1,則直線l的方程可以是()10.已知曲線C:mx2-ny2=1,下列說法正確的是()A.若mn>0,則C為雙曲線C.若m>0,n<0,則C不可11.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),G是線段B1C1上的一個動點(diǎn),則下列說法正確的是() A.點(diǎn)G到平面AEF的距離為第3頁/共4頁B.直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為C.若線段AA1的中點(diǎn)為H,則GH一定平行于平面AEF D.四面體AEFG的體積為13.在棱長為1正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點(diǎn),則A1到平面AB1E的距離為______;14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2=.15.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2+a3=8,S5=25.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,2)和直線l:x-y+1=0,點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn),且點(diǎn)P滿足2222(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若點(diǎn)P的軌跡與直線x+my+1=0有公共點(diǎn),求m的取值范圍.17.如圖,已知多面體ABCDEF的底面ABCD為矩形,四邊形BDEF為平行四邊形,平面FBC丄平面第4頁/共4頁(1)證明:BG//平面AEF;(2)在棱CF(不包括端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)P,使得平面BDP與平面BCF的夾角為60o?若存在,求CP的長度;若不存在,請說明理由.(2)已知A是“T集”.若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列,求A;19.已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上,F(xiàn)1,F2分別為E的左,右焦點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)與E的右焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓E與拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過焦點(diǎn)F2的直線l交橢圓E于點(diǎn)M,N,交拋物線C于點(diǎn)A,B,P為過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線上異于F1的一點(diǎn).若求直線l的方程;(ii)設(shè)PA,PB,PF2的斜率分別為K1,K2,K3,求的值.創(chuàng)新高級中學(xué)2024年下學(xué)期高二創(chuàng)高杯考試(科目:數(shù)學(xué))3.卷Ⅰ請用2B鉛筆填涂在對應(yīng)位置中;A.B.+x2=1C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可求得a,代入點(diǎn)A的坐標(biāo),可求得b,可求橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A是橢圓C上一點(diǎn),且所以2a=4解得所以橢圓方程為2所以橢圓C的方程為+x2=1.故選:B.第2頁/共18頁2A.B.-C.3D.23【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系直接求解即可.故選:C3.已知=(cosθ,1,sinθ),=(sinθ,1,cosθ),則向量+與-的夾角是()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出+-)=0即可求解.【詳解】因?yàn)?-)=2-2=cos2θ+1+sin2θ-(sin2θ+1+cos2θ)=0,所以向量+與-的夾角是90。.故選:C.4.“a=3”是“直線l1:(a-1)x+2y+1=0與直線l2:3x+ay-1=0平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件.【答案】C【解析】【分析】充分必要條件的判斷:把兩個命題分別作為條件和結(jié)論,判定由條件能否推出結(jié)論即可.【詳解】當(dāng)a=3時,l1:2x+2y+1=0,l2:3x+3y-1=0,顯然kl1=kl2,兩直線平行,滿足充分條件;(a-1)x+2y+1=0與直線l2:3x+ay-1=0平行時,kl1=kl2,則-∴a=3或a=-2,當(dāng)a=3時顯然成立,當(dāng)a=-2時,l1:-3x+2y+1=0,l2:3x-2y-1=0,整理后l1:3x-2y-1=0與l2:3x-2y-1=0重合,故舍去,∴“a=3”是“直線l1:(a-1)x+2y+1=0與直線l2:3x+ay-1=0平行”的充要條件故選:CA.1B.2C.-1D.-2【答案】A【解析】【分析】基底法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律和正方體的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱CC1上任意一點(diǎn),則,0≤λ≤1,故選:A.6.在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=【答案】D【解析】【分析】先由等差數(shù)列的概念得到公差d,再由等差數(shù)列的通項(xiàng)得到a10即可.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,是基礎(chǔ)的計(jì)算題,對于等比等差數(shù)列的小題,常用到的方法,其一是化為基本量即首項(xiàng)和公比或者公差,其二是觀察各項(xiàng)間的腳碼關(guān)系,即利用數(shù)列的基本性質(zhì).第3頁/共18頁第4頁/共18頁7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.B.C.-y2=1D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)△OAF是邊長為2的等邊三角形,求出c和得雙曲線方程.【詳解】22求解a、b,即可求OF因?yàn)椤鱋AF是邊長為2的等邊三角形,所以c=OF所以雙曲線的方程為:x2-.故選:D8.x,y∈R,函數(shù)f3x+4y-5的最小值為()A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點(diǎn)之間的距離及點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(1,4)和直線l:3x+4y-5=0,A,B到l的距離分別為d1,d2,易知f(x,y)=AB+d1,顯然f+d1≥d2=當(dāng)且僅當(dāng)A,B重合時取得等號.故選:C9.已知圓x2+y2=4上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為1,則直線l的方程可以是()A.x-y+1=0B.7x-y+5C.x-y+D.x=-1【答案】BCD【解析】【分析】將圓x2+y2=4上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為1,轉(zhuǎn)化為圓心到直線l的距離d=1,根據(jù)圓心到直線距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知,圓x2+y2=4,圓心為O(0,0),半徑為r=2,因?yàn)閳Ax2+y2=4上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為1,所以圓心到直線l的距離d=1,對于A,圓心為O(0,0)到直線x-y+1=0的距離2,故A錯誤;對于B,圓心為O(0,0)到直線7x-y+5的距離=1,故B正確;對于C,圓心為O(0,0)到直線x-y+··=0的距離=1,故C正確;對于D,圓心為O(0,0)到直線x=-1的距離d=0-(-1)=1,故D正確;故選:BCD第5頁/共18頁第6頁/共18頁10.已知曲線C:mx2-ny2=1,下列說法正確的是()A.若mn>0,則C為雙曲線B.若m>0且m+n<0,則C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.若m>0,n<0,則C不可能表示圓D.若m>0,n>0,則C為兩條直線【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷AD,由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷B,由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷C.【詳解】若mn>0,則C為雙曲線,所以A正確;nn>m>0,所以C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,所以B正確;若m>0,n<0,當(dāng)m=1,n=-1時,C是單位圓,所以C不正確;若m>0,n>0,則C為雙曲線,所以D不正確.故選:AB11.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點(diǎn),G是線段B1C1上的一個動點(diǎn),則下列說法正確的是()A.點(diǎn)G到平面AEF的距離為B.直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為C.若線段AA1的中點(diǎn)為H,則GH一定平行于平面AEFD.四面體AEFG的體積為第7頁/共18頁【答案】AC【解析】【分析】建系,求平面AEF的法向量.對于A:利用空間向量求點(diǎn)到面的距離;對于B:利用空間向量求線面夾角;對于C:利用空間向量證明線面平行;對于D:結(jié)合錐體體積公式求結(jié)論.【詳解】如圖,以A1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1B1,A1D1,A1A分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面AEF的法向量則對于選項(xiàng)B:設(shè)直線AG與平面AEF所成角為,所以直線AG與平面AEF所成角的正弦的取值范圍為,所以直線AG與平面AEF所成角的余弦的取值范圍為錯誤;對于選項(xiàng)C:由題意可知,則第8頁/共18頁且GH丈平面AEF,所以GH一定平行于平面AEF,故C正確;對于選項(xiàng)D:由題意知AE=,所以四面體AEFG的體積為錯誤;故選:AC.【解析】結(jié)果.n則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.13.在棱長為1正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點(diǎn),則A1到平面AB1E的距離為;【答案】【解析】23【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出面AB1E的一個法向量,再利用點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】解:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,第9頁/共18頁設(shè)面AB1E的一個法向量為=(x,y,z),2故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查空間向量法求點(diǎn)到面的距離,考查學(xué)生計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2=______.【答案】5-2·2【解析】【分析】可設(shè)AF2=m,F(xiàn)1F2=2c,根據(jù)雙曲線的定義及△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,得AF1=2a+m,BF1=4a求得m.再在Rt△AF2中,用勾股定理,得到關(guān)于a、c的方程,運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可.【詳解】解:設(shè)AF2=m,F(xiàn)1F2=2c,由AF1-AF2=2a,第10頁/共18頁:AF1=2a+m,又:AF1=AB=AF2+BF2=m+BF2,:lBF2l=2a,又BF1-BF2=2a,:BF1=4a,:△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,:BF1=·i2iAF1,即4a=·在Rt△F1AF2中,AF12+AF22=4c2,:8a2+(222,即c2=5a2-22, :e2=5-2-2. 故答案為:5-22.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)、考查離心率的求法,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.15.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a2+a3=8,S5=25.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)45【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量,即可寫出通項(xiàng)公式;*),應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.*【小問1詳解】(n-1).2=2n-1.【小問2詳解】3579所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為45.16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-1,2)和直線l:x-y+1=0,點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn),且點(diǎn)P滿足2222(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若點(diǎn)P的軌跡與直線x+my+1=0有公共點(diǎn),求m的取值范圍. 【解析】【分析】(1)設(shè)B(m,n),根據(jù)斜率之積和AB的中點(diǎn)坐標(biāo)得到方程組,求出B(1,0),設(shè)PX,y,直接法求出點(diǎn)P的軌跡方程為2+y2=(2)圓心,0)到x+my+1=0的距離小于等于半徑,列出不等式,求出答案.【小問1詳解】解得第12頁/共18頁故點(diǎn)P的軌跡方程為2+y2=【小問2詳解】2即解得或,m的取值范圍是或.17.如圖,已知多面體ABCDEF的底面ABCD為矩形,四邊形BDEF為平行四邊形,平面FBC丄平面(1)證明:BG//平面AEF;(2)在棱CF(不包括端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)P,使得平面BDP與平面BCF的夾角為60o?若存在,求CP的長度;若不存在,請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)不存在,理由見解析【解析】【分析】(1)取BC中點(diǎn)N,取AD中點(diǎn)M,通過證明FN丄平面ABCD,從而建立空間坐標(biāo)系,求出(2)求出平面BDP法向量和平面AEF的法向量,利用平面BDP與平面BCF的夾角為60o建立等式,求解即可.【小問1詳解】如圖,取BC中點(diǎn)N,取AD中點(diǎn)M,連接FN,MN,第13頁/共18頁因?yàn)椤鱂BC為等邊三角形,所以FN又FN平面FBC,平面FBC∩平面ABCD=BC,所以FN丄平面ABCD,又底面ABCD為矩形,則NM丄NB.以N為坐標(biāo)原點(diǎn),NM,NB,NF分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系N—由題意可得由四邊形BDEF為平行四邊形,得設(shè)平面AEF的法向量=(x,y,Z),則平面AEF的一個法向量第14頁/共18頁【小問2詳解】λ–F–→,所以BP=|(0,2λ1,(2,1,0).設(shè)平面BDP法向量=(x,y,z),所以平面BDP的一個法向量為化簡得=1.所以λ無實(shí)數(shù)解,不存在這樣的點(diǎn)P.(2)已知A是“T集”.若A中的元素由小到大排列成等差數(shù)列,求A;【答案】(1)M是“T集”,N不是“T集”,理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)“
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