人教版高二下學期數(shù)學(選擇性必修3)《8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗》同步測試題含答案

第第頁人教版高二下學期數(shù)學(選擇性必修3)《8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗》同步測試題含答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．分類變量為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.2．2×2列聯(lián)表假設兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).3．等高堆積條形圖常用等高堆積條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征(如圖)，由此反映出兩個分類變量間是否相互影響.(1)等高堆積條形圖中有兩個高度相同的矩形，每一個矩形中都有兩種顏色，觀察下方顏色區(qū)域的高度，如果兩個高度相差比較明顯(即和相差很大)，就判定兩個分類變量之間有關(guān)系.

(2)利用等高堆積條形圖雖可以比較各個部分之間的差異，明確展現(xiàn)兩個分類變量的關(guān)系，但不能知道兩個分類變量有關(guān)系的概率大小.4．獨立性檢驗(1)假定通過簡單隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.

(3)獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.【題型1列聯(lián)表的應用】【方法點撥】利用列聯(lián)表直接計算和，如果兩者相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系的可能性較大.【例1】（2023·全國·高二專題練習）假設有兩個分類變量x與y的2×2列聯(lián)表如下表：yyxabxcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．a(chǎn)=5，b=4，c=3，d=2 B．a(chǎn)=5，b=3，c=4，d=2C．a(chǎn)=2，b=3，c=4，d=5 D．a(chǎn)=2，b=3，c=5，d=4【變式1-1】（2022春·福建廈門·高二階段練習）在一次獨立性檢驗中，得出列聯(lián)表如圖：且最后發(fā)現(xiàn)，兩個分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（

）AA合計B2008001000B180a180+a合計380800+a1180+aA．200 B．720 C．100 D．180單元測試）假設兩個分類變量X和Y，他們的取值分別為{x1,yy總計xaba+bxcdc+d總計a+cb+da+b+c+d對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組是（

）A．a(chǎn)=10，b=5，c=8，d=6 B．a(chǎn)=9，b=5，c=7，d=8C．a(chǎn)=12，b=6，c=9，d=5 D．a(chǎn)=12，b=8，c=6，d=7【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：注：K2的觀測值k=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aA．a(chǎn)=45,c=15 B．a(chǎn)=40,c=20 C．a(chǎn)=35,c=25 D．a(chǎn)=30,c=30【題型2等高堆積條形圖的應用】【方法點撥】可以從等高堆積條形圖中直觀判斷列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，這種直觀判斷的不足之處在于不能直接給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率.【例2】（2022春·吉林·高二階段練習）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則關(guān)于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【變式2-1】（2022春·全國·高二期末）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量χ2的觀測值最小的是（

A． B．C． D．【變式2-2】（2023·全國·高二專題練習）觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2023·高二課時練習）為考查A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到如下等高條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（

）A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果【題型3獨立性檢驗的應用】【方法點撥】可以利用獨立性檢驗來推斷兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法：(1)根據(jù)實際問題需要的可信程度(或容許犯錯誤概率的上界)確定臨界值；(2)利用公式，由觀測數(shù)據(jù)計算得到的值；(3)對照臨界值表，即可得出結(jié)論.【例3】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群會伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時間個體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復.某興趣小組為進一步了解新型冠狀病毒恢復所需時間，隨機抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.(1)分別估計男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關(guān)？痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計男性女性總計附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-1】（2023春·河南安陽·高三階段練習）2021年7月24日中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），各省、市精心組織實施，強化目標管理，治理校外培訓行為.為了調(diào)查人們對“雙減”的滿意程度，抽取了男、女各25人對“雙減”的滿意度進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.滿意非常滿意合計男性18725女性61925合計242650(1)根據(jù)上表，如果隨機抽查1人，那么抽到此人對“雙減”滿意的概率是多少？抽到此人對“雙減”非常滿意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%附：K2=nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預測）國際足聯(lián)世界杯（FIFAWorldCup），簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參與，象征足球界最高榮譽，并具有最大知名度和影響力的足球賽事.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊參加比賽，共有64場比賽.某社區(qū)隨機調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各200名，統(tǒng)計了他們觀看世界杯球賽直播的場次，得到下面的列聯(lián)表：少于32場比賽不少于32場比賽總計男球迷a+20a+20女球迷a+40a總計(1)求a的值，并完成上述列聯(lián)表；(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場次不少于32場比賽，則稱該球迷為“資深球迷”，請判斷能否有95%參考公式：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【變式3-3】（2023春·湖南·高三階段練習）人們曾經(jīng)相信，藝術(shù)家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術(shù)的進步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會取代人類畫師嗎？某機構(gòu)隨機對60人進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)認為會取代的有42人，30歲以下認為不會取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的25(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：年齡理解情況總計會取代不會取代30歲以下1230歲及以上總計4260(2)依據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗，能否認為年齡與理解情況有關(guān)？并說明原因．α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：χ2=n【題型4獨立性檢驗與統(tǒng)計知識的綜合應用】【方法點撥】獨立性檢驗與統(tǒng)計知識結(jié)合在一起考查是一個很好的結(jié)合點，解題的關(guān)鍵是正確從圖表中得到相關(guān)數(shù)據(jù).【例4】（2023·全國·模擬預測）某省級綜合醫(yī)院共有1000名醫(yī)護員工參加防疫知識和技能競賽，其中男性450人，為了解該醫(yī)院醫(yī)護員工在防疫知識和技能競賽中的情況，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從中抽取100名醫(yī)護員工的成績（單位：分）作為樣本進行統(tǒng)計，成績均分布在400~700分之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制的醫(yī)護員工成績的頻率分布直方圖如圖所示，將成績不低于600分的醫(yī)護員工稱為優(yōu)秀防疫員工(1)求a的值，并估計該醫(yī)院醫(yī)護員工成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若樣本中優(yōu)秀防疫員工有女性10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該醫(yī)院醫(yī)護員工的性別與是否為優(yōu)秀防疫員工有關(guān)聯(lián)？優(yōu)秀防疫員工非優(yōu)秀防疫員工合計男女合計(3)采用分層抽樣的方法從樣本中成績在450,500，600,700的醫(yī)護員工中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記被抽取的3名醫(yī)護員工中優(yōu)秀防疫員工的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望.附：χ2=nα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式4-1】（2023·高二單元測試）相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質(zhì)測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上．某市一健身連鎖機構(gòu)對其會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會員一個月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖．若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為”健身達人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有56(1)現(xiàn)從該健身連鎖機構(gòu)會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全下方2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計健身達人健身愛好者合計附：P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K(2)將（1）中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構(gòu)隨機選取3名會員進行回訪，設3名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．【變式4-2】（2023春·河南安陽·高三階段練習）某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計了過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入（單位：萬元）并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值x；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點值作代表）(2)該超市過去100天中有30天將該商品降價銷售，在該商品降價的30天中有18天該產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬元，判斷能否有97.5%的把握認為該商品的日銷售收入不低于0.6萬元與該日是否降價有關(guān).附：K2=nP0.0500.0250.010k3.8415.0246.635【變式4-3】（2023秋·浙江嘉興·高三期末）為積極響應“反詐”宣傳教育活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”知識競賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成績作為樣本.對甲車間100位職工的成績進行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成績頻率分布直方圖.(1)估算甲車間職工此次“反詐”知識競賽的合格率；(2)若將頻率視為概率，以樣本估計總體.從甲車間職工中，采用有放回的隨機抽樣方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的結(jié)果相互獨立，記被抽取的3人次中成績合格的人數(shù)為X.求隨機變量X的分布列；(3)若乙車間參加此次知識競賽的合格率為60%，請根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有992×2列聯(lián)表甲車間乙車間合計合格人數(shù)不合格人數(shù)合計附參考公式：①χ2=n②獨立性檢驗臨界值表α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考答案【題型1列聯(lián)表的應用】【方法點撥】利用列聯(lián)表直接計算和，如果兩者相差很大，就判斷兩個分類變量之間有關(guān)系的可能性較大.【例1】（2023·全國·高二專題練習）假設有兩個分類變量x與y的2×2列聯(lián)表如下表：yyxabxcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．a(chǎn)=5，b=4，c=3，d=2 B．a(chǎn)=5，b=3，c=4，d=2C．a(chǎn)=2，b=3，c=4，d=5 D．a(chǎn)=2，b=3，c=5，d=4【解題思路】計算每個選項中的ad?bc，比較大小后可得出結(jié)論.【解答過程】對于兩個分類變量x與y而言，ad?bc的值越大，說明x與y有關(guān)系的可能性最大，對于A選項，ad?bc=對于B選項，ad?bc=對于C選項，ad?bc=對于D選項，ad?bc=顯然D中ad?bc最大，故選：D.【變式1-1】（2022春·福建廈門·高二階段練習）在一次獨立性檢驗中，得出列聯(lián)表如圖：且最后發(fā)現(xiàn)，兩個分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（

）AA合計B2008001000B180a180+a合計380800+a1180+aA．200 B．720 C．100 D．180【解題思路】把列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)代入求觀測值的公式，建立不等式，代入驗證可知a的可能值.【解答過程】解：因為兩個分類變量A和B沒有任何關(guān)系，所以K2代入驗證可知a=720.故選：B.【變式1-2】（2022·高二單元測試）假設兩個分類變量X和Y，他們的取值分別為{x1,yy總計xaba+bxcdc+d總計a+cb+da+b+c+d對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組是（

）A．a(chǎn)=10，b=5，c=8，d=6 B．a(chǎn)=9，b=5，c=7，d=8C．a(chǎn)=12，b=6，c=9，d=5 D．a(chǎn)=12，b=8，c=6，d=7【解題思路】依據(jù)|ad?bc|越大，說明X與Y有關(guān)的可能性越大，即可判定.【解答過程】一般地，|ad?bc|越大，說明X與Y有關(guān)的可能性越大.選項A中，|ad?bc|=|60?40|=20；選項B中，|ad?bc|=|72?35|=37；選項C中，|ad?bc|=|60?54|=6；選項D中，|ad?bc|=|84?48|=36．故選：B.【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：注：K2的觀測值k=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aA．a(chǎn)=45,c=15 B．a(chǎn)=40,c=20 C．a(chǎn)=35,c=25 D．a(chǎn)=30,c=30【解題思路】根據(jù)獨立性檢驗的方法和2×2列聯(lián)表，即可得解.【解答過程】根據(jù)獨立性檢驗的方法和2×2列聯(lián)表可得，當aa+10與cc+30相差越大，則分類變量X和Y有關(guān)系的可能性越大，即a,c相差越大，aa+10故選A．【題型2等高堆積條形圖的應用】【方法點撥】可以從等高堆積條形圖中直觀判斷列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，這種直觀判斷的不足之處在于不能直接給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率.【例2】（2022春·吉林·高二階段練習）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則關(guān)于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關(guān)B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【解題思路】結(jié)合所給比例圖，依次分析判斷4個選項即可.【解答過程】對于A，城鎮(zhèn)戶籍中40%選擇生育二胎，農(nóng)村戶籍中80對于B，男性和女性中均有60%對于C，由于男性和女性中均有60%對于D，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍有50×20%=10人，城鎮(zhèn)戶籍有故選：D.【變式2-1】（2022春·全國·高二期末）觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量χ2的觀測值最小的是（

A． B．C． D．【解題思路】直接由等高條形圖中x1,x【解答過程】等高的條形圖中x1,x故選：B.【變式2-2】（2023·全國·高二專題練習）觀察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強的是（

）A． B．C． D．【解題思路】由等高條形圖的定義和性質(zhì)依次分析，即得解【解答過程】觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)x1x1故選：D.【變式2-3】（2023·高二課時練習）為考查A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物實驗，分別得到如下等高條形圖：根據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（

）A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果【解題思路】根據(jù)等高條形圖中的數(shù)據(jù)即可得出選項.【解答過程】根據(jù)兩個表中的等高條形圖知，藥物A實驗顯示不服藥與服藥時患病差異較藥物B實驗顯示明顯大，所以藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果，故選：B．【題型3獨立性檢驗的應用】【方法點撥】可以利用獨立性檢驗來推斷兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法：(1)根據(jù)實際問題需要的可信程度(或容許犯錯誤概率的上界)確定臨界值；(2)利用公式，由觀測數(shù)據(jù)計算得到的值；(3)對照臨界值表，即可得出結(jié)論.【例3】（2023·江西上饒·統(tǒng)考一模）新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群會伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時間個體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能恢復.某興趣小組為進一步了解新型冠狀病毒恢復所需時間，隨機抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.(1)分別估計男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關(guān)？痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計男性女性總計附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解題思路】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，結(jié)合古典概型的概率公式即可求解，（2）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計完成二聯(lián)表，即可計算K2【解答過程】（1）由表中數(shù)據(jù)可知：男性患者在三周以及以內(nèi)康復的人有4+50+24=78，女性患者在三周以及以內(nèi)康復的人有2+40+22=64，故男性新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率為78100=0.78（2）二聯(lián)表如下表：痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計男性7822100女性6436100總計14258200故K故有95%的把握認為患者性別與痊愈快慢有關(guān).【變式3-1】（2023春·河南安陽·高三階段練習）2021年7月24日中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》（以下簡稱“雙減”），各省、市精心組織實施，強化目標管理，治理校外培訓行為.為了調(diào)查人們對“雙減”的滿意程度，抽取了男、女各25人對“雙減”的滿意度進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.滿意非常滿意合計男性18725女性61925合計242650(1)根據(jù)上表，如果隨機抽查1人，那么抽到此人對“雙減”滿意的概率是多少？抽到此人對“雙減”非常滿意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%附：K2=nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解題思路】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；（2）計算K2【解答過程】（1）隨機抽查1人，抽到滿意的概率是18+650抽到非常滿意且是女性的概率是1950（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，可得K2∴有99.9%的把握認為性別和滿意度有關(guān).【變式3-2】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預測）國際足聯(lián)世界杯（FIFAWorldCup），簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參與，象征足球界最高榮譽，并具有最大知名度和影響力的足球賽事.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊參加比賽，共有64場比賽.某社區(qū)隨機調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各200名，統(tǒng)計了他們觀看世界杯球賽直播的場次，得到下面的列聯(lián)表：少于32場比賽不少于32場比賽總計男球迷a+20a+20女球迷a+40a總計(1)求a的值，并完成上述列聯(lián)表；(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場次不少于32場比賽，則稱該球迷為“資深球迷”，請判斷能否有95%參考公式：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【解題思路】（1）根據(jù)球迷總?cè)藬?shù)可構(gòu)造方程求得a的值，進而補全列聯(lián)表；（2）由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可計算得到K2【解答過程】（1）由題意得：a+20+a+20+補全列聯(lián)表如下：少于32場比賽不少于32場比賽總計男球迷100100200女球迷12080200總計220180400（2）由（1）得：K2∴有95%【變式3-3】（2023春·湖南·高三階段練習）人們曾經(jīng)相信，藝術(shù)家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術(shù)的進步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會取代人類畫師嗎？某機構(gòu)隨機對60人進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)認為會取代的有42人，30歲以下認為不會取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的25(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：年齡理解情況總計會取代不會取代30歲以下1230歲及以上總計4260(2)依據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗，能否認為年齡與理解情況有關(guān)？并說明原因．α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：χ2=n【解題思路】（1）根據(jù)題設中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）代入卡方公式求出值與表對比即可求解.【解答過程】（1）完成2×2列聯(lián)表如下：年齡理解情況總計會取代不會取代30歲以下18123030歲及以上241630總計421860（2）設H0由題意，χ2所以根據(jù)小概率α=0.010的獨立性檢驗，我們推斷H0即認為年齡與理解情況無關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.010．【題型4獨立性檢驗與統(tǒng)計知識的綜合應用】【方法點撥】獨立性檢驗與統(tǒng)計知識結(jié)合在一起考查是一個很好的結(jié)合點，解題的關(guān)鍵是正確從圖表中得到相關(guān)數(shù)據(jù).【例4】（2023·全國·模擬預測）某省級綜合醫(yī)院共有1000名醫(yī)護員工參加防疫知識和技能競賽，其中男性450人，為了解該醫(yī)院醫(yī)護員工在防疫知識和技能競賽中的情況，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法從中抽取100名醫(yī)護員工的成績（單位：分）作為樣本進行統(tǒng)計，成績均分布在400~700分之間，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制的醫(yī)護員工成績的頻率分布直方圖如圖所示，將成績不低于600分的醫(yī)護員工稱為優(yōu)秀防疫員工(1)求a的值，并估計該醫(yī)院醫(yī)護員工成績的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若樣本中優(yōu)秀防疫員工有女性10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該醫(yī)院醫(yī)護員工的性別與是否為優(yōu)秀防疫員工有關(guān)聯(lián)？優(yōu)秀防疫員工非優(yōu)秀防疫員工合計男女合計(3)采用分層抽樣的方法從樣本中成績在450,500，600,700的醫(yī)護員工中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記被抽取的3名醫(yī)護員工中優(yōu)秀防疫員工的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望.附：χ2=nα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解題思路】（1）首先根據(jù)頻率和為1求出a值，再求出成績平均數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)概念求出中位數(shù)即可；（2）進行零假設，補全2×2列聯(lián)表，計算計算χ2（3）求出分層抽樣的各層人數(shù)，計算概率得到分布列，則得到其期望.【解答過程】（1）第一步：根據(jù)頻率之和為1求a的值由題意知50×0.001×2+0.003+0.006+0.005+a=1，解得第二步：根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義求解，估計該醫(yī)院醫(yī)護員工成績的平均數(shù)，x=425×0.05+475×0.15+525×0.3+575×0.25+625×0.2+675×0.05=552.5因為0.001+0.003+0.006×50=0.5所以估計中位數(shù)為550.（2）第一步：寫出零假設零假設為H0第二步：補全2×2列聯(lián)表由題可知，樣本中男性有450×110=45人，女性有1000?450其中女性10人，得出以下2×2列聯(lián)表：優(yōu)秀防疫員工非優(yōu)秀防疫員工合計男153045女104555合計2575100第三步：計算χ2根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2第四步：得出結(jié)論所以根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗，我們沒有充分證據(jù)推斷H0（3）第一步：利用分層抽樣的知識求抽取的8人中成績在450,500與600,700中的人數(shù)由題意及頻率分布直方圖可得，從成績在450,500的醫(yī)護員工中抽取3人，從成績在600,700的醫(yī)護員工中抽取5人，第二步：寫出隨機變量X的所有可能取值所以X的所有可能取值為0，1，2，3.第三步：分別求出X取每個值的概率，得分布列PX=0=CPX=2=C所以隨機變量X的分布列為P0123X115155第四步：計算數(shù)學期望EX【變式4-1】（2023·高二單元測試）相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質(zhì)測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上．某市一健身連鎖機構(gòu)對其會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會員一個月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖．若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會員稱為”健身達人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有56(1)現(xiàn)從該健身連鎖機構(gòu)會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，根據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全下方2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關(guān)？年輕人非年輕人合計健身達人健身愛好者合計附：P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K(2)將（1）中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構(gòu)隨機選取3名會員進行回訪，設3名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．【解題思路】（1）根據(jù)條件完善列聯(lián)表，然后算出K2（2）隨機變量X滿足二項分布X~B3,【解答過程】（1）根據(jù)年輕人標準結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%，則年輕人人數(shù)為100×80%=80，則非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達人所占比60%，所以其人數(shù)為100×60%=60，根據(jù)其中年輕人占比56所以健身達人中年輕人人數(shù)為60×5健身愛好者人數(shù)為100-60=40，再通過總共年輕人合計為80人，則健身愛好者中年輕人人數(shù)為80-50=30，根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為20-10=10，所以列聯(lián)表為年輕人非年輕人合計健身達人501060健身愛好者301040合計8020100K2所以沒有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關(guān)．（2）由（1）知，既是年輕人又是健身達人的概率為12則隨機變量X滿足二項分布X~B3,12PX=0=CPX=2=故X的分布列：X