高中數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程難題典型題拔高練習(xí)帶答案

第1頁（共1頁）高中數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程一．選擇題（共20小題）1．從圓x2+y2＝4上的點(diǎn)向橢圓C：+y2＝1引切線，兩個(gè)切點(diǎn)間的線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓C內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為（）A．B．C．D．前三個(gè)答案都不對2．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則離心率為（）A． B．2﹣ C．﹣2 D．﹣3．如圖，拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率k＝1的直線l過焦點(diǎn)F，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為N，則tan∠ANF＝（）A．1 B． C． D．4．拋物線將坐標(biāo)平面分成兩部分，我們將焦點(diǎn)所在的部分（不包括拋物線本身）稱為拋物線的內(nèi)部．若點(diǎn)N（a，b）在拋物線C：y2＝2px（p＞0）的內(nèi)部，則直線l：by＝p（x+a）與拋物線C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．不能確定5．如圖，已知白紙上有一橢圓C，它焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，長軸A1A2，短軸B1B2，P是橢圓上一點(diǎn)，將白紙沿直線B1B2折成90°角，則下列正確的是（）①當(dāng)P在B1（或B2）時(shí)，PF1+PF2最大．②當(dāng)P在A1（或A2）時(shí)，PF1+PF2最?。瓵．①② B．① C．② D．都不正確6．已知F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A、B、C為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則存在橫坐標(biāo)x＞2的點(diǎn)A、B、C有（）A．0個(gè)B．2個(gè)C．有限個(gè)，但多于2個(gè)D．無限多個(gè)7．過雙曲線C：右焦點(diǎn)F的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，，若，則C的離心率為（）A． B．2 C． D．8．已知拋物線C：y2＝8x，點(diǎn)P，Q是拋物線上任意兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，且|PQ|＝10，則M到y(tǒng)軸距離的最小值為（）A．9 B．8 C．4 D．39．過點(diǎn)P作拋物線C：x2＝2y的切線l1，l2，切點(diǎn)分別為M，N，若△PMN的重心坐標(biāo)為（1，1），且P在拋物線D：y2＝mx上，則D的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．10．過點(diǎn)P（2，1）斜率為正的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．C，D是橢圓上相異的兩點(diǎn)，滿足CP，DP分別平分∠ACB，∠ADB，則△PCD外接圓半徑的最小值為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線E：＝1（a，b＞0），斜率為﹣的直線與E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，2），直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BP交E于另一點(diǎn)D．若直線CD的斜率為﹣，則E的離心率為（）A． B． C． D．12．曲線Γ：（﹣﹣1）＝0，要使直線y＝m（m∈R）與曲線Γ有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣3，3） C．（﹣3，﹣）∪（，3） D．（﹣3，﹣）∪（﹣，）∪（，3）13．圓錐曲線與空間幾何體具有深刻而廣泛的聯(lián)系．如圖所示，底面半徑為1，高為3的圓柱內(nèi)放有一個(gè)半徑為1的球，球與圓柱下底面相切，作不與圓柱底面平行的平面α與球相切于點(diǎn)F，若平面α與圓柱側(cè)面相交所得曲線為封閉曲線τ，τ是以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，則τ的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓4x2+y2＝1上兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，則|2x1+y1﹣1|+|2x2+y2﹣1|的最大值為（）A． B．4 C． D．15．如圖，α，β，γ是由直線l引出的三個(gè)不重合的半平面，其中二面角α﹣l﹣β大小為60°，γ在二面角α﹣l﹣β內(nèi)繞直線l旋轉(zhuǎn)，圓C在γ內(nèi)，且圓C在α，β內(nèi)的射影分別為橢圓C1，C2．記橢圓C1，C2的離心率分別為e1，e2，則e12+e22的取值范圍是（）A． B． C． D．16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2且與x軸垂直的直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PM|+|PF2|≤t，則t的最小值為（）A． B． C． D．17．已知橢圓Γ：內(nèi)有一定點(diǎn)P（1，1），過點(diǎn)P的兩條直線l1，l2分別與橢圓Γ交于A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足，，若λ變化時(shí)，直線CD的斜率總為，則橢圓Γ的離心率為（）A． B． C． D．18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當(dāng)IG⊥x軸時(shí)，橢圓的離心率為（）A． B． C． D．19．已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（﹣a，0），N（0，b），點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則＝（）A．4 B．8 C． D．20．已知直線y＝kx（k≠0）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，若△ABF的面積為4a2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．二．填空題（共5小題）21．設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若在其左準(zhǔn)線上存在點(diǎn)M，使線段MF2的中垂線過點(diǎn)F1，則橢圓的離心率的取值范圍是．22．平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，設(shè)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是，此時(shí)|MF|＝．23．已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0），F(xiàn)1（﹣c，0）是左焦點(diǎn)，圓x2+y2＝c2與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)是P，若直線PF1與雙曲線右支有交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是．24．已知點(diǎn)P為直線ax+y﹣4＝0上一點(diǎn)，PA，PB是橢圓C：+y2＝1（a＞1）的兩條切線，若恰好存在一點(diǎn)P使得PA⊥PB，則橢圓C的離心率為．25．已知一族雙曲線En：x2﹣y2＝（n∈N*，且n≤2020），設(shè)直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為An，點(diǎn)An在En，的兩條漸近線上的射影分別為Bn，?n，記△AnBn?n的面積為an，則a1+a2+a3+……+a2020＝．三．解答題（共15小題）26．已知，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)L在y軸上，且，當(dāng)點(diǎn)L在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C過x軸上一點(diǎn)K的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；（Ⅱ）證明：存在唯一的一點(diǎn)K，使得為常數(shù)，并確定K點(diǎn)的坐標(biāo)．27．已知A，B分別為橢圓E：+y2＝1（a＞1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，?＝8．P為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn)．28．已知點(diǎn)A（﹣，0），B（，0），△ABC的周長為4+2，頂點(diǎn)C的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）直線l：y＝kx+m與曲線E交于M，N兩點(diǎn)（M，N不在x軸上），若點(diǎn)P在E上，且△PMN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．（i）求m與k滿足的等式關(guān)系；（ii）求證：△PMN的面積為定值．29．如圖，已知橢圓E的右焦點(diǎn)為F2（1，0），P，Q為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PQF2周長的最大值為8．（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線1經(jīng)過F2，交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)M，N，|MN|2＝4|AB|，求證：直線m與直線l的交點(diǎn)T在定直線上．30．已知橢圓：（a＞b＞0）過點(diǎn)E（，1），其左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，其中F1（，0）．（1）求棲圓C的方程：（2）設(shè)M（x0，y0）為橢圓C上異于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，MN⊥AB于點(diǎn)N，直線l：x0x+2y0y﹣4＝0，設(shè)過點(diǎn)A與x軸垂直的直線與直線l交于點(diǎn)P，證明：直線BP經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．31．如圖，設(shè)點(diǎn)F是拋物線C：x2＝2y的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C相切于點(diǎn)P（點(diǎn)P位于第一象限），并與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)A．過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線l1交拋物線C于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)Q，連結(jié)AB．（Ⅰ）證明：△FPQ為等腰三角形；（Ⅱ）求△PAB面積的最小值．32．已知?jiǎng)訄AP過點(diǎn)F2（2，0），并且與圓相外切，設(shè)動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C．（1）求曲線C的方程；（2）過動(dòng)點(diǎn)P作直線與曲線3x2﹣y2＝0交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求|OA|?|OB|的值；（3）過點(diǎn)F2的直線l1與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)直線，點(diǎn)D（﹣1，0），直線ED交l于點(diǎn)M，求證：直線FM經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．33．已知橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A（﹣a，0），B（a，0），點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1、k2，且，橢圓的焦距長為4．（1）求橢圓C的離心率；（2）過右焦點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，分別記△ABM，△ABN的面積為S1、S2，求|S1﹣S2|的值．34．已知點(diǎn)，在圓C：上任取一點(diǎn)E，EN的垂直平分線交EC于點(diǎn)M．（如圖）．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程H；（2）若過點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線l與（1）中的軌跡H相交于A、B兩點(diǎn)．問：平面內(nèi)是否存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得恒成立？試證明你的結(jié)論．35．已知橢圓的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，ΔF1PF2面積的最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)A（4，0）作關(guān)于x軸對稱的兩條不同直線l1，l2分別交橢圓于M（x1，y1）與N（x2，y2），且x1≠x2，證明直線MN過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．36．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓A：（x﹣1）2+y2＝16，圓內(nèi)一點(diǎn)B（﹣1，0），P是圓上任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點(diǎn)E，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；（2）過A的直線與點(diǎn)E的軌跡方程交于H、G兩點(diǎn)，若線段HG的中點(diǎn)為M，且＝2，求四邊形OHNG面積的最大值．37．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（c，0），短軸長為2，且C截直線x＝c所得線段MN的長為（1）求C的方程；（2）若A，B為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠AFM＝∠BFM．證明直線AB過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．38．橢圓，A，B是橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)．（1）證明：直線PA，與直線PB，斜率之積為定值．（2）設(shè)經(jīng)過D（1，0）且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線AM與直線BN交于點(diǎn)Q，求證：為定值．39．以點(diǎn)M（2，0）為切點(diǎn)作圓C：（x﹣3）2+（y﹣t）2＝r2的切線l1，過點(diǎn)N（﹣2，0）作圓的線l2，l1與l2交于點(diǎn)E．（1）證明：|EM|+|EN|為定值，并求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡r的方程．（2）若過點(diǎn)T（﹣3，0）的直線l與軌跡r交于A，B兩點(diǎn)，求△MAB面積的最大值及此時(shí)直線1的方程．40．如圖，已知橢圓＝1（a＞b＞0）的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長為，一雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，且它的實(shí)軸長等于虛軸長，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，其中A、C在x軸的同一側(cè)．（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1?k2＝1；（3）是否存在題設(shè)中的點(diǎn)P，使得|．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析一．選擇題（共20小題）1．【解答】解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)A（2cosθ，2sinθ），則BC直線方程為cosθ?x+2sinθ?y＝1，由于在點(diǎn)（acosθ，bsinθ）的切線方程為，則，因此cosθ?x+2sinθ?y＝1為橢圓x2+4y2＝1的切線系方程．由橢圓的面積可得，下面證明以下兩個(gè)引理：①過橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為．證明：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y＝kx+t，聯(lián)立橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）＝0①由題可得：△＝4a4k2t2﹣4a2（b2+a2k2）（t2﹣b2）＝0，化簡可得：t2＝a2k2+b2，①式只有一個(gè)根，記作x0為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，所以，所以切線方程為：，化簡得：，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為x＝±a，也符合方程，綜上上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為．②從橢圓外一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB的方程為．證明：如圖，設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則橢圓的以A，B為切點(diǎn)的切線方程分別為和，由兩切線均過點(diǎn)P（x0，y0）有和，所以點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）均在直線上，因此切點(diǎn)弦AB的方程為．故選：A．2．【解答】解：如圖，設(shè)|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m，由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，即有4a＝2m+m，即m＝2（2﹣）a，則|AF2|＝2a﹣m＝（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2，即4c2＝4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2＝（9﹣6）a2，則e2＝＝9﹣6＝，∴e＝．故選：D．3．【解答】解：∵直線l的斜率k＝1，∴可設(shè)A（+y，y），代入拋物線y2＝2px，可得y2＝2p（+y），∴y＝p+p，∴tan∠ANF＝＝＝．故選：C．4．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)N（a，b）在拋物線C：y2＝2px（p＞0）的內(nèi)部，∴|b|＜，且a＞0；又直線l：by＝p（x+a）與拋物線C的方程聯(lián)立，得；消去y，得；px2+（2pa﹣2b2）x+pa2＝0，∵p＞0，且△＝（2pa﹣2b2）2﹣4p?pa2＝4（2pa﹣b2）（﹣b2）＝4b2（b2﹣2pa）＜0，∴方程組無解；∴直線與拋物線無公共點(diǎn)．胡選：A．5．【解答】解：設(shè)翻折前橢圓方程為：，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，F(xiàn)1（c，0，0），F(xiàn)2（0，0，c），則＝，設(shè)，則，故函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)θ＝0，即當(dāng)P在B1（或B2）時(shí)，PF1+PF2最大，故時(shí)，當(dāng)P在A1（或A2）時(shí)，PF1+PF2最?。蔬x：A．6．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），先證x1≤2，由知，F(xiàn)為△ABC的重心，又F（1，0），∴，，∴x2+x3＝3﹣x1，y2+y3＝﹣y1，∴，∴，∴，∴x1≤2（x2+x3），∴x1≤2（3﹣x1），∴x1≤2，同理x2≤2，x3≤2，故選：A．7．【解答】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，由，可得|QP|＝2|PF|，，可得OP⊥FQ，可設(shè)|PF|＝t，可得|QP|＝2t，由雙曲線的定義可得|PF'|＝|PF|+2a＝t+2a，|QF'|＝|QF|﹣2a＝3t﹣2a，在直角三角形POF中，可得cos∠PFO＝，在△PFF'中，cos∠PFO＝，在△QFF'中，cos∠QFO＝cos∠PFO＝，由＝，化為3ta＝c2﹣a2，①由＝，可得3t2﹣3ta＝c2﹣a2，②由①②消去t，可得c2＝7a2，即c＝a，則e＝＝，故選：C．8．【解答】解：法﹣：由題意可知直線l的斜率不為零，設(shè)l：x＝my+n，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則點(diǎn)M（，），點(diǎn)M到x軸的距離為．由，整理得y2﹣8my﹣8n＝0．△＝64m2+32n＞0，由韋達(dá)定理得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8n．|AB|＝?|y1﹣y2|＝?＝10，可得n＝﹣2m2，∵＝4m，∴＝m?+n＝m?4m+n＝4m2+﹣2m2＝2m2+＝2（1+m2）+﹣2≥2﹣2＝5﹣2＝3；當(dāng)且僅當(dāng)2（1+m2）＝，即當(dāng)m＝±時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)n＝﹣2m2＝2，△＝64m2+32n＞0成立，合乎題意！因此，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值為3，此時(shí)，直線l的方程為x±y﹣2＝0．法二：因?yàn)椋簗PQ|≤PF+QF＝x1+x2+p?x1+x2≥10﹣p＝6；∴PQ的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的值為：≥3；即最小值為3．故選：D．9．【解答】解：設(shè)M（x1，），N（x2，），由x2＝y(tǒng)，得y＝，∴y′＝x，故直線L1的方程為y﹣＝x1（x﹣x1）即y＝x1x﹣，同理直線L2的方程為y＝x2x﹣，聯(lián)立L1，L2的方程可得x＝，y＝，設(shè)△PMN的重心坐標(biāo)為（x0，y0），則x0＝＝1，y0＝＝1即所以，則P的坐標(biāo)為（1，﹣1），從而（﹣1）2＝m×1，故D的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．故選：A．10．【解答】解：如圖，先固定直線AB，設(shè)，則f（C）＝f（D）＝f（P），其中為定值，故點(diǎn)P，C，D在一個(gè)阿波羅尼斯圓上，且△PCD外接圓就是這個(gè)阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會(huì)把點(diǎn)A，B其一包含進(jìn)去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮BP＞AP的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點(diǎn)Q，PQ即為該圓的直徑，接下來尋求半徑的表達(dá)式，由，解得，同理，當(dāng)BP＜AP時(shí)有，，綜上，；當(dāng)直線AB無斜率時(shí)，與橢圓交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y﹣1＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+1，與橢圓方程聯(lián)立可得（24k2+5）x2+48k（1﹣2k）x+96（k2﹣k﹣1）＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由根與系數(shù)的關(guān)系有，，∴＝，注意到x1﹣2與x2﹣2異號(hào)，故＝，設(shè)t＝12k+5，則，故，又，故選：D．11．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（xM，yM），則，兩式相減得：＝??﹣＝??yM＝﹣①設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），線段CD的中點(diǎn)N（xN，yN），同理可得yN＝﹣?xN②易知P，M，N三點(diǎn)共線，∴＝，①②代入得＝，即（xM﹣xN）?（1﹣）＝0，∴a2＝4b2，∴e＝．故選：C．12．【解答】解：曲線Γ：（﹣﹣1）＝0，可知x，y∈[﹣3，3]，圖形如圖：是一個(gè)圓與雙曲線的一部分，由，解得y＝±，曲線Γ：（﹣﹣1）＝0，要使直線y＝m（m∈R）與曲線Γ有四個(gè)不同的交點(diǎn)，可得m∈（﹣3，﹣）∪（，3）．故選：C．13．【解答】解：當(dāng)α與底面趨于平行時(shí)，τ幾乎成為一個(gè)圓，因此離心率可以充分接近0．當(dāng)α與底面的夾角最大時(shí)，τ的離心率達(dá)到最大，下面求解這一最大值．如圖，A，B為長軸，F(xiàn)為焦點(diǎn)時(shí)，e最大．a(chǎn)+c＝|BF|＝|BG|＝2，易知b＝1，所以，則e＝＝．則離心率的取值范圍是．故選：B．14．【解答】解：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓4x2+y2＝1上兩個(gè)不同點(diǎn)，則，設(shè)2x＝m，y＝n，C（m1，n1），D（m2，n2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，∴，且，∴C、D兩點(diǎn)均在圓m2+n2＝1的圓上，且∠COD＝60°，∴△COD為等邊三角形且|CD|＝1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知為C、D兩點(diǎn)到直線x+y﹣1＝0的距離d1、d2之和．設(shè)CD的中點(diǎn)為E，E到直線x+y﹣1＝0的距離d3，則，∴d1+d2的最大值為，∴，∴|2x1+y1﹣1|+|2x2+y2﹣1|的最大值為，故選：C．15．【解答】解：顯然圓在兩平面內(nèi)的射影均為橢圓，且橢圓的長軸都為圓的直徑，設(shè)圓的直徑為2，要求橢圓的離心率，關(guān)鍵是求出其短軸，現(xiàn)將問題平面化，如圖所示，設(shè)AB＝2，在平面α內(nèi)的投影為A1B1，在面β內(nèi)的投影為A2B2，設(shè)∠MOH＝θ，θ∈（0，），則∠MOH＝﹣θ，則A1B1＝ABcosθ，A2B2＝2cos（﹣θ），所以e12＝＝＝1﹣cos2θ，e22＝＝＝1﹣cos2（﹣θ），則e12+e22＝1﹣cos2θ+1﹣cos2（﹣θ）＝1﹣cos2θ+1﹣cos2θ﹣sinθcosθ﹣sin2θ＝﹣cos2θ﹣sinθcosθ＝1﹣sin（2θ+），因?yàn)棣取剩?，），所以2θ+∈（，），則sin（2θ+）∈（，1]，所以1﹣sin（2θ+）∈[，），即e12+e22∈[，），故選：C．16．【解答】解：雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），漸近線方程為y＝±x，令x＝c，解得y＝±，可得|AB|＝，|AB|＝3，即有＝3，由a＝2，c2＝a2+b2，解得b＝，c＝3，即有雙曲線的方程為，由題意可知若P在左支上，由雙曲線的定義可得|PF2|＝2a+|PF1|，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4＝+4＝5+4，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)1共線時(shí)，取得最小值4+5；若P在右支上，由雙曲線的定義可得|PF2|＝|PF1|﹣2a，|PM|+|PF2|＝|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣4＝5﹣4，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)1共線時(shí)，取得最小值5﹣4．綜上可得，所求最小值為5﹣4．故選：D．17．【解答】解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），由，即（1﹣x1，1﹣y1）＝λ（x3﹣1，y3﹣1），則x1+λx3＝1+λ，y1+λy3＝1+λ，由，同理可得：x2+λx4＝1+λ，y2+λy4＝1+λ．則（y1+y2）+λ（y3+y4）＝（x1+x2）+λ（x3+x4），將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程作差可得：＝﹣?，由題意可得：AB∥CD，∴kAB＝kCD＝﹣．則a2（y1+y2）＝4b2（x1+x2）①，同理可得：a2（y3+y4）＝4b2（x3+x4），∴λa2（y3+y4）＝4λb2（x3+x4），②①+②得：a2[（y1+y2）+λ（y3+y4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴a2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]＝4b2[（x1+x2）+λ（x3+x4）]，∴a2＝4b2，則橢圓的離心率e＝＝＝．故選：A．18．【解答】解：如圖所示，設(shè)P（x0，y0），不妨設(shè)y0＞0．F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）．則G（，），∵IG⊥x軸，∴xI＝．設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r．由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得：r（2a+2c）＝?2c?y0．解得r＝，∴yI＝．設(shè)PF1，PF2分別與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)D，E．則PD＝PE＝（2a﹣2c）＝a﹣c．在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．∴（a﹣c）2+＝+，化為：+＝1．與橢圓比較可得：a2＝，∴a＝（a﹣c），可得＝．∴e＝．故選：A．19．【解答】解：由，得，故線段MN所在直線的方程為，又點(diǎn)P在線段MN上，可設(shè)，其中m∈[﹣a，0]，由于F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），即F1（﹣2a，0），F(xiàn)2（2a，0），得，所以＝．由于m∈[﹣a，0]，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，當(dāng)m＝0時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，故選：A．20．【解答】解：∵以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F，∴以AB為直徑的圓的方程為x2+y2＝c2，由對稱性知△ABF的面積S＝2S△OBF＝2×h＝ch＝4a2，即h＝，即B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝，則由x2+（）2＝c2，得x2＝c2﹣（）2＝c2﹣，B在雙曲線上，則﹣＝1，即﹣﹣＝1，即﹣（1+）＝1，即﹣?＝1，即﹣＝1，即﹣1＝＝，得16a4＝（c2﹣a2）2，即4a2＝c2﹣a2，得5a2＝c2，得c＝a，則離心率e＝＝＝，方法2：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，由圖象的對稱性得，圓O經(jīng)過點(diǎn)F′，且|BF′|＝|AF|，設(shè)|BF'|＝|AF|＝m，|BF|＝n，∵BF⊥AF∴S△ABF＝mn＝4a2，m2+n2＝4c2，則mn＝8a2，∵|BF′|﹣|BF|＝2a，∴m﹣n＝2a則m2﹣2mn+n2＝4a2，∴4c2﹣16a2＝4a2，即c2＝5a2，則c＝a，即離心率e＝＝＝，故選：D．二．填空題（共5小題）21．【解答】解：左準(zhǔn)線方程為：x＝﹣，連接MF1，則由線段MF2的中垂線過點(diǎn)F1，可得|MF1|＝|F1F2|＝2c，又|MF1|≥（﹣c）﹣（﹣），即有3c，即c≥a，則e＝，又0＜e＜1，則＜1．故答案為：．22．【解答】解：焦點(diǎn)F（，0），設(shè)M（m，n），則n2＝2m，m＞0，設(shè)M到準(zhǔn)線x＝﹣的距離等于d，則由拋物線的定義得＝＝＝＝，令m﹣＝t，依題意知，m＞0，若t＞0，則＝＝≤＝，∴（）max＝，此時(shí)＝＝；若﹣＜t＜0，y＝t++單調(diào)遞減，故y＜﹣﹣+＝﹣1，∈（﹣1，0）；綜上所述，＝．此時(shí)t＝，即t＝＝m﹣，則m＝+＝1，則|MF|＝d＝m﹣（﹣）＝1+＝，故答案為：，23．【解答】解：設(shè)直線PF1的方程為y＝k（x+c），即kx﹣y+kc＝0，由直線和圓有交點(diǎn)，可得＜c，解得k≠0．聯(lián)立圓x2+y2＝c2與雙曲線方程﹣＝1，解得交點(diǎn)P，設(shè)為（﹣，）．可得k＝＞0，由題意可得k＜，結(jié)合a2+b2＝c2，a＜c2﹣ab，化簡可得b＞2a，即有b2＞4a2，可得c2＞5a2，即有e＝＞．故答案為：（，+∞）24．【解答】解：設(shè)P（m，n），過點(diǎn)P的切線方程為y﹣n＝k（x﹣m），聯(lián)立，得（k2a2+1）x2+2ka2（n﹣km）x+a2[（n﹣km）2﹣1]＝0，∵直線與橢圓相切，∴△＝4k2a4（n﹣km）2﹣4a2（k2a2+1）[（n﹣km）2﹣1]＝0，整理得（a2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2＝0，若切線PA、PB的斜率均存在，分別設(shè)為k1，k2，∵PA⊥PB，∴k1?k2＝＝﹣1，即m2+n2＝1+a2，∴點(diǎn)P在以（0，0）為圓心，為半徑的圓上，即（0，0）到直線ax+y﹣4＝0的距離為，∴d＝＝，解得a＝±，∵a＞1，∴a＝，若切線PA、PB分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則P（a，1）或（﹣a，1）或（a，﹣1）或（﹣a，﹣1），存在點(diǎn)P（a，1），將其代入直線ax+y﹣4＝0中，解得a＝．綜上所述，a＝．又b＝1，∴c＝＝，∴離心率e＝＝＝．故答案為：．25．【解答】解：雙曲線En：x2﹣y2＝（n∈N*，且n≤2020）的兩條漸近線為y＝x，y＝﹣x，互相垂直，直線x＝2與En在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為An，，點(diǎn)An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，?n，則，∴，∴＝．故答案為：．三．解答題（共15小題）26．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意可知F（，0），（p＞0），點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)L在y軸上，且，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)N（x，y），L為MN的中點(diǎn)，∵點(diǎn)L在y軸上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣x，由等腰三角形的三線合一可知|FM|＝|FN|，即+x＝，展開化簡可得y2＝2px．證明（Ⅱ）：設(shè)K為x軸上一點(diǎn)，設(shè)K（a，0），過K點(diǎn)直線方程為y＝k（x﹣a），交拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立方程組，化簡變形可得k2x﹣（2ak2+2p）+k2a2＝0，∴x1+x2＝＝2a+，x1x2＝a2，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得|PK|2＝（x1﹣a）2+y12＝（x1﹣a）2+2px1，|QK|2＝（x2﹣a）2+y22＝（x2﹣a）2+2px2，∴＝+＝+＝對于分子x12+x22+（2p﹣2a）（x1+x2）+2a2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（2p﹣2a）（x1+x2）+2a2＝（2a+）2+（2p﹣2a）（2a+）＝（2a+）（2p+）＝，對于分母[x12+（2p﹣2a）x1+a2][x12+（2p﹣2a）x1+a2]＝（x1x2）2+（2p﹣2a）x1x2（x1+x2）+a2[（x1+x2）2﹣2x1x2]+（2p﹣2a）2x1x2+a2（2p﹣2a）（x1+x2）+a4，＝a4+（2p﹣2a）a2（2a+）+a2[（2a+）2﹣2a2]+a2（2p﹣2a）2+a2（2p﹣2a）（2a+）+a4＝，∴＝，當(dāng)a＝p時(shí)，＝，此時(shí)K（p，0）．27．【解答】解：如圖所示：（1）由題意A（﹣a，0），B（a，0），G（0，1），∴＝（a，1），＝（a，﹣1），?＝a2﹣1＝8，解得：a＝3，故橢圓E的方程是+y2＝1；（2）由（1）知A（﹣3，0），B（3，0），設(shè)P（6，m），則直線PA的方程是y＝（x+3），聯(lián)立?（9+m2）x2+6m2x+9m2﹣81＝0，由韋達(dá)定理﹣3xc＝?xc＝，代入直線PA的方程為y＝（x+3）得：yc＝，即C（，），直線PB的方程是y＝（x﹣3），聯(lián)立方程?（1+m2）x2﹣6m2x+9m2﹣9＝0，由韋達(dá)定理3xD＝?xD＝，代入直線PB的方程為y＝（x﹣3）得yD＝，即D（，），則①當(dāng)xc＝xD即＝時(shí)，有m2＝3，此時(shí)xc＝xD＝，即CD為直線x＝，②當(dāng)xc≠xD時(shí)，直線CD的斜率KCD＝＝，∴直線CD的方程是y﹣＝（x﹣），整理得：y＝（x﹣），直線CD過定點(diǎn)（，0）．綜合①②故直線CD過定點(diǎn)（，0）．28．【解答】解：（1）由題意知|CA|+|CB|＝4，所以E為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以a＝2，c＝，則b＝，所以橢圓的方程為，（y≠0），（2）（i）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），因?yàn)椤鱌MN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，則，聯(lián)立y＝kx+m和，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，△＝8（2+4k2﹣m2），當(dāng)△＞0時(shí)，，，所以，y3＝﹣（y1+y2）＝﹣k（x1+x2）﹣2m＝，故P（，），因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以帶入橢圓整理得，滿足△＞0，因而m與k滿足的等式關(guān)系為．①（ii）由（i）當(dāng)△＞0時(shí)，，因?yàn)椤鱌MN的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以△PMN的面積為△OMN的面積的3倍，設(shè)直線l與y軸交與點(diǎn)D，那么△PMN的面積為＝，關(guān)系式①代入得S＝，所以△PMN的面積為定值．29．【解答】解：（1）由已知，得c＝1，4a＝8，即a＝2，則b＝，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）若直線l的斜率不存在，直線m的斜率也不存在，這與兩直線交與點(diǎn)P矛盾，即直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y＝k（x﹣1），（k≠0），直線m為y＝﹣k（x+t），A（xA，yA），B（xB，yB），P（xP，yP），Q（xQ，yQ），將直線m的帶入橢圓方程：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2﹣3）＝0，則，，則|MN|2＝（1+k2），同理|AB|＝＝，令|MN|2＝4|AB|，得t＝0，此時(shí)△＝16k4t2﹣16（3+4k2）（k2t2﹣3）＞0，所以直線m：y＝﹣kx，則P（），即P在定直線x＝上30．【解答】解：（1）由題意知，2a＝|EF1|+|EF2|＝＝4，則a＝2，c＝，b＝，故橢圓的方程為，（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線的方程為x＝﹣2，結(jié)合方程x0x+2y0y﹣4＝0，得點(diǎn)P（﹣2，），直線PB的斜率為，直線PB的方程為，因?yàn)镸N⊥AB于點(diǎn)N，所以N（x0，0），線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)（），令x＝x0，得，因?yàn)?，所以，即直線BP經(jīng)過線段MN的中點(diǎn)．31．【解答】解（1）設(shè)P（x0，）且x0＞0，因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，求導(dǎo)得y'＝x，即k＝x0，所以直線l的方程為y＝x0x﹣，直線l1的方程為y﹣＝，即Q（0，+1），因?yàn)镕（0，），則|FQ|＝+1﹣＝+，而|FP|＝＝+，所以|FQ|＝|FP|，即△FPQ為等腰三角形，（2）拋物線C的準(zhǔn)線為y＝﹣，得A（，﹣），所以|PA|＝＝，聯(lián)立方程組y﹣＝和x2＝2y，得，因?yàn)?，則，即B（，），所以|PB|＝＝，得△PAB面積為S＝|PA|?|PB|＝＝≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝1時(shí)取等號(hào)，所以△PAB面積最小值為4．32．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），動(dòng)圓的半徑為r，圓的圓心F2（﹣2，0），半徑為2，由題意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，可得P的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，即曲線C的方程為（x≥1）；（2）證明：設(shè)P（x0，y0），即有x02﹣＝1，曲線3x2﹣y2＝0即為y＝x和y＝﹣x，設(shè)A（m，m），B（n，﹣n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，則|OA|?|OB|＝2|m|?2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|＝4|x02﹣y02|＝4為定值．|OA|?|OB|＝4；（3）①當(dāng)斜率不存在時(shí)，l1：x＝2可知E（2，3），F(xiàn)（2，﹣3），∵D（﹣1，0），所以直線ED：，M（），所以直線FM：即y＝﹣3（x﹣1）所以直線恒過（1，0）；②當(dāng)斜率存在時(shí)，l1：y＝k（x﹣2），聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）根據(jù)韋達(dá)定理可得，則直線ED的方程為，當(dāng)x＝時(shí)，y＝，M（）設(shè)點(diǎn)N（1，0），若FM過定點(diǎn)N，則兩直線斜率相等．即kFN＝kMN，，，所以FM恒過定點(diǎn)N（1，0），∴綜上所述，直線FM恒過定點(diǎn)（1，0）．33．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）（|x0|≠a），則，①∵，②∴聯(lián)立①②得，∴a2＝3b2（|x0|≠a），∴，∴．（2）由題意知，2c＝4，即c＝2，由（1）知，a2＝3b2，∴a2＝b2+c2＝b2+4，∴b2＝2，a2＝6，∴橢圓C的方程為：，由已知得l：．聯(lián)立，可得x2﹣2x﹣1＝0．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2＝2，于是＝．34．【解答】解：（1）由題意，可知|MC|+|MN|＝|MC|+|ME|＝|CE|＝6（6＞|CN|＝2）．故點(diǎn)M的軌跡是以C，N為左、右焦點(diǎn)的橢圓，2a＝6，a＝3，，b2＝a2﹣c2＝4，∴所求點(diǎn)M的軌跡是橢圓H：．（2）由題意，可知①當(dāng)直線l∥x軸時(shí)，此時(shí)|PA|＝|PB|，故＝1，即|QA|＝|QB|．故此時(shí)點(diǎn)Q線段AB的垂直平分線即y軸上，∴此時(shí)點(diǎn)Q為y軸上任意一點(diǎn)即滿足題意．∴可設(shè)定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，y0）．②當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，A（0，2），B（0，﹣2），由，可得，或y0＝4．∵定點(diǎn)Q必須異于點(diǎn)P才滿足題意，∴此時(shí)定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4）．③下面證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，定點(diǎn)Q（0，4）也使得恒成立．證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l：y＝kx+1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，整理，得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，則，．∴+＝＝＝k．∴＝k﹣．如圖所示，作點(diǎn)B（x2，y2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為B'（﹣x2，y2），則|QB|＝|QB′|．連接QA，QB，QB′．∵，＝﹣k+＝﹣k+3（k﹣）＝k﹣．∴kQA＝kQB′，即Q、A、B'三點(diǎn)共線，∵＝＝＝．∴結(jié)合圖形可知：．∴當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，定點(diǎn)Q（0，4）也使得恒成立．綜上所述，可知平面內(nèi)存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q（0，4），使得恒成立．35．【解答】解：（1）設(shè)a2﹣b2＝c2，則，設(shè)P（x，y），則，∵．解得．所以橢圓C的方程為．（2）證明：設(shè)MN方程為x＝ny+m，（n≠0），聯(lián)立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱的兩條不同直線l1，l2的斜率之和為0，即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直線MN方程為：x＝ny+1，所以直線MN過定點(diǎn)B（1，0）．36．【解答】解：（1）由題意知|EB|＝|EP|，所以|EB|+|EA|＝|PE|+|EA|＝|PA|＝4＞|AB|＝2，所以E的軌跡是焦點(diǎn)為A、B，長軸為4的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則2a＝4，2c＝2，所以a2＝4，b2＝3，所以橢圓方程為；即點(diǎn)E的軌跡的方程為．（2）因?yàn)橹本€HG斜率不為0，設(shè)為x＝ty+1，設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），聯(lián)立整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以Δ＝36t2+36（3t2+4）＝144（t2+1）＞0，，，所以，∵，∴S△GHN