安醫(yī)大高等數(shù)學試卷

安醫(yī)大高等數(shù)學試卷一、選擇題

1.在微積分中，函數(shù)f(x)在x=a處可導的必要條件是：

A.f(x)在x=a處連續(xù)

B.f(x)在x=a處可導

C.f(x)在x=a處可導且f'(a)存在

D.f(x)在x=a處連續(xù)且f'(a)存在

2.若f(x)=x^2+3x+2，則f'(x)等于：

A.2x+3

B.x+1

C.2x+2

D.x^2+3

3.求極限lim（x→0）(sinx/x)的值：

A.1

B.0

C.不存在

D.無窮大

4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定存在：

A.最大值

B.最小值

C.極大值

D.極小值

5.設(shè)f(x)=x^3-3x，則f'(x)等于：

A.3x^2-3

B.3x^2-2

C.3x^2+3

D.3x^2+2

6.求極限lim（x→∞）(x^2-1)/(x^3+2x)的值：

A.0

B.1/2

C.1

D.無窮大

7.若函數(shù)f(x)在x=0處可導，則f'(0)等于：

A.0

B.1

C.f(0)

D.不存在

8.設(shè)f(x)=e^x，則f'(x)等于：

A.e^x

B.2e^x

C.e^2x

D.e^x+1

9.求極限lim（x→0）(ln(1+x))/x的值：

A.1

B.0

C.不存在

D.無窮大

10.設(shè)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的零點為：

A.x=2

B.x=1

C.x=0

D.x=-2

二、判斷題

1.函數(shù)的可導性與函數(shù)的連續(xù)性是等價的。（）

2.如果函數(shù)在某一點的可導性存在，那么在該點的一階導數(shù)也一定存在。（）

3.極限lim（x→0）(sinx/x)等于1，因為sinx和x在x接近0時等價無窮小。（）

4.在微積分中，若一個函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導，則在該區(qū)間內(nèi)必定存在極值點。（）

5.如果一個函數(shù)在某一點的一階導數(shù)為0，那么該點一定是函數(shù)的極值點。（）

三、填空題

1.函數(shù)y=x^3-6x^2+9x+1的導數(shù)y'=_______。

2.若f(x)=e^x，則f(x)的原函數(shù)為_______。

3.求極限lim（x→0）(cosx-1)/x的值為_______。

4.若函數(shù)f(x)在x=0處的二階導數(shù)為f''(0)=2，則f(x)在x=0處的切線斜率為_______。

5.函數(shù)y=ln(x)的導數(shù)y'=_______。

四、簡答題

1.簡述導數(shù)的定義及其幾何意義。

2.如何求一個函數(shù)的極值點？請舉例說明。

3.解釋函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系，并舉例說明。

4.簡述拉格朗日中值定理的內(nèi)容，并給出一個應(yīng)用該定理的例子。

5.討論函數(shù)的泰勒級數(shù)展開及其在近似計算中的應(yīng)用。

五、計算題

1.計算下列極限：lim（x→∞）(x^3-3x^2+4x-1)/(2x^3+5x^2-3x+1)。

2.求函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=2處的導數(shù)值。

3.已知函數(shù)f(x)=(x-1)^2ln(x)，求f'(x)。

4.計算定積分∫(1到2)(x^2-4)/(x-2)dx。

5.求函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)在區(qū)間[0,π]上的定積分。

六、案例分析題

1.案例背景：

某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=100x+2000，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。已知產(chǎn)品的銷售價格函數(shù)為P(x)=200-0.1x，求：

（1）求工廠生產(chǎn)x個產(chǎn)品的利潤函數(shù)L(x)。

（2）求工廠生產(chǎn)多少個產(chǎn)品時，利潤最大？最大利潤是多少？

2.案例背景：

某城市為了改善交通狀況，計劃投資建設(shè)一條高速公路。根據(jù)初步的預(yù)算，建設(shè)成本函數(shù)為C(t)=1000000+2000t^2，其中t為建設(shè)高速公路的年份。預(yù)計該高速公路將在5年內(nèi)完成建設(shè)。根據(jù)預(yù)測，高速公路每年的收入函數(shù)為R(t)=500000+3000t，求：

（1）求建設(shè)期間每年的凈收益函數(shù)N(t)。

（2）求建設(shè)期間哪一年的凈收益最大？最大凈收益是多少？

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

某商品的價格P（單位：元）與其需求量Q（單位：件）之間的關(guān)系為P=100-0.1Q。求：

（1）當價格為90元時，商品的需求量是多少？

（2）如果廠商希望將商品的需求量增加至100件，商品的價格應(yīng)該調(diào)整為多少？

2.應(yīng)用題：

某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其總成本函數(shù)為C(x)=8000+20x+0.1x^2，其中x為生產(chǎn)的數(shù)量。銷售價格為每單位產(chǎn)品100元。求：

（1）求該企業(yè)的利潤函數(shù)L(x)。

（2）當生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，企業(yè)的利潤最大？最大利潤是多少？

3.應(yīng)用題：

已知某物體的位移函數(shù)為s(t)=t^3-6t^2+9t，其中t為時間（秒）。求：

（1）物體在t=3秒時的瞬時速度。

（2）物體在0到3秒內(nèi)的平均速度。

4.應(yīng)用題：

某城市居民對自來水的需求量Q（單位：立方米/天）與自來水的價格P（單位：元/立方米）之間的關(guān)系可以近似表示為Q=10000-200P。求：

（1）如果自來水的價格為每立方米5元，求居民的需求量。

（2）如果自來水的價格每提高1元，居民的需求量減少多少？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.D

2.A

3.A

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判斷題答案

1.×

2.×

3.×

4.×

5.×

三、填空題答案

1.3x^2-12x+9

2.∫e^xdx=e^x+C

3.1/2

4.2

5.(1/x)+C

四、簡答題答案

1.導數(shù)的定義：導數(shù)是函數(shù)在某一點的變化率，幾何意義上表示函數(shù)曲線在該點的切線斜率。

2.求極值點的方法：首先求函數(shù)的導數(shù)，然后令導數(shù)等于0，求出導數(shù)的零點，再判斷這些零點是否為極值點。

3.可導性與連續(xù)性的關(guān)系：函數(shù)在某一點可導的充分必要條件是該點連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。

4.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，那么至少存在一點c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

5.泰勒級數(shù)展開：將函數(shù)在某點的泰勒級數(shù)展開可以用于近似計算函數(shù)在該點的值，尤其是在函數(shù)在該點附近變化緩慢時。

五、計算題答案

1.lim（x→∞）(x^3-3x^2+4x-1)/(2x^3+5x^2-3x+1)=1/2

2.f'(2)=4(2)^3-4(2)^2+6(2)-4=12

3.f'(x)=2(x-1)ln(x)+(x-1)/x

4.∫(1到2)(x^2-4)/(x-2)dx=∫(1到2)(x+2)dx=(x^2/2+2x)|(1到2)=4.5

5.∫(0到π)e^x*sin(x)dx=-e^x*cos(x)|(0到π)+e^x*sin(x)|(0到π)=2(e^π-1)

六、案例分析題答案

1.（1）L(x)=(100-0.1Q)Q-(100x+2000)=-0.1Q^2+90Q-2000

（2）當Q=100時，利潤最大，最大利潤為-0.1(100)^2+90(100)-2000=4000元。

2.（1）N(t)=R(t)-C(t)=(500000+3000t)-(1000000+2000t^2)=-2000t^2+3000t-500000

（2）N'(t)=-4000t+3000，令N'(t)=0，得t=3/4。N(3/4)=-2000(3/4)^2+3000(3/4)-500000=-93750

七、應(yīng)用題答案

1.（1）Q=10000-200*90=100件

（2）需求量減少200件。

2.（1）L(x)=100x-(8000+20x+0.1x^2)=-0.1x^2+80x-8000

（2）L'(x)=-0.2x+80，令L'(x)=0，得x=400。最大利潤為-0.1(400)^2+80(400)-8000=16000元。

3.（1）s'(t)=3t^2-12t+9，v(t)=s'(3)=3(3)^2-12(3)+9=0

（2）平均速度=(s(3)-s(0))/(3-0)=(27-0)/3=9m/s

4.（1）Q=10000-200*5=9000立方米

（2）每提高1元，需求量減少200立方米。

知識點總結(jié)：

1.導數(shù)與微分

2.極限與連續(xù)性

3.微分中值定理與泰勒公式

4.定積分與不定積分

5.應(yīng)用題與案例分析

6.函數(shù)的極值與最值

7.函數(shù)的圖形與性質(zhì)

各題型考察知識點詳解及示例：

一、選擇題：考察學生對基本概念和公式的掌握