北京海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)試卷

北京海淀區(qū)高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列函數(shù)中，定義域為全體實數(shù)的是（）

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=\log_2(x)\)

D.\(f(x)=x^2+1\)

2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.\((-∞,0)\)

B.\((0,+∞)\)

C.\((-∞,1)\)

D.\((1,+∞)\)

3.在直角坐標(biāo)系中，點\(A(1,2)\)，點\(B(-2,3)\)，則\(AB\)的中點坐標(biāo)是（）

A.\((-1,2.5)\)

B.\((-1,1.5)\)

C.\((0,2.5)\)

D.\((0,1.5)\)

4.下列不等式中，正確的是（）

A.\(2x+3>x-1\)

B.\(3x-2<2x+1\)

C.\(4x+1>3x+2\)

D.\(2x-3<4x+1\)

5.已知\(a>0\)，\(b<0\)，則下列不等式中成立的是（）

A.\(a^2>b^2\)

B.\(ab>0\)

C.\(a+b>0\)

D.\(a-b>0\)

6.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=2\)，\(d=3\)，則\(a_4\)等于（）

A.11

B.14

C.17

D.20

7.下列復(fù)數(shù)中，實部為正的是（）

A.\(2+3i\)

B.\(-2+3i\)

C.\(2-3i\)

D.\(-2-3i\)

8.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\angleA\)的余弦值為（）

A.\(\frac{3}{5}\)

B.\(\frac{4}{5}\)

C.\(\frac{5}{4}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

9.下列命題中，正確的是（）

A.\(a>b\)且\(c>d\)可以推出\(a+c>b+d\)

B.\(a>b\)且\(c>d\)可以推出\(ac>bd\)

C.\(a>b\)且\(c>d\)可以推出\(\frac{a}{c}>\fraco7vduhv\)

D.\(a>b\)且\(c>d\)可以推出\(a-c>b-d\)

10.已知\(\sinA=\frac{1}{2}\)，\(\cosA=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\tanA\)等于（）

A.\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

B.\(\sqrt{3}\)

C.\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

D.\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

二、判斷題

1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處無定義，故其定義域為\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)。（）

2.若兩個向量平行，則它們的夾角為\(0^\circ\)或\(180^\circ\)。（）

3.三角形的三邊滿足勾股定理的充要條件是該三角形為直角三角形。（）

4.所有有理數(shù)的平方根都是無理數(shù)。（）

5.在一次函數(shù)\(y=kx+b\)中，若\(k=0\)，則該函數(shù)為水平線。（）

三、填空題

1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，且\(a_1=3\)，\(a_4=9\)，則公差\(d=\)________。

2.函數(shù)\(y=x^2-4x+4\)的最小值為________。

3.在直角坐標(biāo)系中，點\(A(2,3)\)關(guān)于\(y=-1\)的對稱點坐標(biāo)為________。

4.已知\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)，則\(\angleA\)的正弦值為________。

5.復(fù)數(shù)\(z=2+3i\)的模為________。

四、解答題

1.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間。

2.在直角坐標(biāo)系中，點\(P(3,4)\)和點\(Q(1,2)\)之間的距離為多少？

3.解不等式組\(\begin{cases}2x+3y\geq6\\x-y\leq1\end{cases}\)。

4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，且\(a_1=2\)，\(a_4=16\)，求公比\(q\)。

5.求解方程\(x^2-5x+6=0\)的實數(shù)根。

三、填空題

1.已知函數(shù)\(f(x)=3x^2-12x+9\)的對稱軸為\(x=\)________。

2.在直角坐標(biāo)系中，點\(A(1,3)\)和點\(B(4,1)\)之間的距離為\(\sqrt{\)________\(}\)。

3.若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，且\(A\)在第二象限，則\(\cosA=\)________。

4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=5\)，\(a_3=13\)，則公差\(d=\)________。

5.復(fù)數(shù)\(z=4+3i\)的共軛復(fù)數(shù)為________。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)的性質(zhì)，包括定義域、對稱性、單調(diào)性和極值。

2.設(shè)\(\triangleABC\)的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求\(\triangleABC\)的面積。

3.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n=2n^2+n\)，求該數(shù)列的通項公式\(a_n\)。

4.解方程組\(\begin{cases}2x+3y=12\\x-y=1\end{cases}\)，并說明解題過程。

5.設(shè)\(z=3+4i\)，求\(z\)的模\(|z|\)以及\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\bar{z}\)。

五、計算題

1.計算定積分\(\int_0^1(2x+3)\,dx\)。

2.已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)滿足\(A+B+C=180^\circ\)，且\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)，求\(\sinA\)。

3.求解不等式\(2x^2-5x+3>0\)。

4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前三項\(a_1=3\)，\(a_2=5\)，\(a_3=7\)，求該數(shù)列的前10項和。

5.已知復(fù)數(shù)\(z=2-3i\)，求\(z\)的平方\(z^2\)以及\(z^2\)的模\(|z^2|\)。

六、案例分析題

1.案例背景：某學(xué)校舉辦了一場數(shù)學(xué)競賽，共有100名學(xué)生參加。競賽分為選擇題和解答題兩部分，選擇題共20題，每題2分；解答題共5題，每題10分。已知所有學(xué)生的選擇題平均分為16分，解答題平均分為7分，求所有學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽平均分。

案例分析：

（1）根據(jù)案例背景，列出所有學(xué)生數(shù)學(xué)競賽平均分的計算公式。

（2）計算所有學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽平均分。

（3）分析影響學(xué)生數(shù)學(xué)競賽平均分的因素。

2.案例背景：某班級有30名學(xué)生，數(shù)學(xué)成績呈正態(tài)分布，平均分為70分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分?，F(xiàn)從該班級中隨機抽取10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，已知競賽滿分100分，求抽取的學(xué)生在競賽中取得90分以上概率。

案例分析：

（1）根據(jù)案例背景，說明正態(tài)分布的特點及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

（2）計算抽取的10名學(xué)生在競賽中取得90分以上的概率。

（3）分析影響學(xué)生取得90分以上成績的因素，并提出相應(yīng)的建議。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，已知前50個產(chǎn)品的平均成本為100元，后50個產(chǎn)品的平均成本為90元，求這批產(chǎn)品的平均成本。

2.應(yīng)用題：一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，行駛了2小時后，速度提高到80公里/小時，繼續(xù)行駛了3小時，求這輛汽車行駛的總路程。

3.應(yīng)用題：一個長方形的長是寬的兩倍，長方形的周長是36厘米，求長方形的長和寬。

4.應(yīng)用題：某班級有男生25人，女生30人，計劃組織一次籃球比賽，每場比賽需要5名男生和4名女生參加，求至少需要組織多少場比賽，才能保證所有男生和女生都有機會參加比賽？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.D

2.D

3.A

4.B

5.D

6.A

7.A

8.A

9.A

10.B

二、判斷題答案

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題答案

1.x=2

2.\(\sqrt{74}\)

3.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

4.8

5.4-3i

四、簡答題答案

1.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}\)的性質(zhì)如下：

-定義域：\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\)

-對稱性：關(guān)于直線\(x=1\)對稱

-單調(diào)性：在\((-∞,1)\)和\((1,+∞)\)上單調(diào)遞增

-極值：在\(x=1\)處取得極小值0

2.\(\triangleABC\)的面積\(S=\frac{1}{2}\times5\times7\times\sinA=\frac{35}{2}\sinA\)。

3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，代入\(a_1=5\)，\(a_3=13\)得\(d=4\)，所以\(a_n=5+4(n-1)\)。

4.解不等式組\(\begin{cases}2x+3y\geq6\\x-y\leq1\end{cases}\)得\(x\geq\frac{9}{5}\)，\(y\leqx-1\)。

5.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)的模\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，共軛復(fù)數(shù)\(\bar{z}=3-4i\)。

五、計算題答案

1.\(\int_0^1(2x+3)\,dx=[x^2+3x]_0^1=(1^2+3\times1)-(0^2+3\times0)=4\)。

2.\(\sinA=\frac{a}{2R}\)，其中\(zhòng)(R\)是外接圓半徑，由\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)得\(R=\frac{a}{2\sinA}\)，代入\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=8\)得\(\sinA=\frac{5}{8}\)。

3.不等式\(2x^2-5x+3>0\)的解為\(x<\frac{1}{2}\)或\(x>3\)。

4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前10項和\(S_{10}=\frac{10}{2}(a_1+a_{10})=5(3+37)=200\)。

5.復(fù)數(shù)\(z=2-3i\)的平方\(z^2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i-9=-5-12i\)，模\(|z^2|=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}=13\)。

知識點總結(jié)：

1.函數(shù)與極限

-函數(shù)的定義域、值域、單