初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-新定義和閱讀理解型-專項訓(xùn)練習(xí)題（含解析）模考專題

2021初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練

專題16新定義和閱讀理解型問題

一、單選題

1.已知三角形的三邊長分別為a、b、c,求其面積問題，中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何

...................a+b+c

學(xué)家海倫（Heron,約公元50年）給出求其面積的海倫公式5=即9---G,其中p=—Q一；

我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式

12.22^

S=2A2-（_~C,）,若一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則其面積是（）

【答案】B

【解析】

???若一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則其面積是：S=*2x3,—￥+；—42）二孚

【關(guān)鍵點撥】

解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的三角形的面積.

2.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.從一個格點移動到與之相距

正的另一個格點的運(yùn)動稱為一次跳馬變換.例如，在4X4的正方形網(wǎng)格圖形中（如圖1）,從點/經(jīng)過一

次跳馬變換可以到達(dá)點反C,D,￡等處.現(xiàn)有20X20的正方形網(wǎng)格圖形（如圖2）,則從該正方形的頂點

"經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對的頂點M最少需要跳馬變換的次數(shù)是（）

圖1圖2

A.13B.14C.15D.16

【答案】B.

【解析】如圖b連接AC,CF,則仍3近，，兩次變換相當(dāng)于向右移動3格，向上移動3格，乂，腫20匹，

20

???2072:3舊不（不是整數(shù)），，按月-C-/的方向連續(xù)變換10次后，相當(dāng)于向右移動了10+2X3=15

格，向上移動了10+2X3=15格，此時必位于如圖所示的5X5的正方形網(wǎng)格的點G處，再按如圖所示的方

式變換4次即可到達(dá)點N處，,從該正方形的頂點"經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對的頂點M最少需要跳馬變

換的次數(shù)是14次，故選B.

【關(guān)鍵點撥】本題主要考查了幾何變換的類型以及勾股定理的運(yùn)用，解題時注意：在平移變換下，對應(yīng)線

段平行且相等，兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相等.解決問題的關(guān)鍵是找出變換的規(guī)

律.

3.已知點/在函數(shù),=-2（A0）的圖象上，點8在直線％=21+〃（女為常數(shù)，且420）上.若43

x

兩點關(guān)于原點對稱，則稱點小6為函數(shù)力，%圖象上的一對“友好點”.請問這兩個函數(shù)圖象上的“友好

點”對數(shù)的情況為（）

A.有1對或2對B.只有1對C.只有2對D.有2對或3對

【答案】A.

【解析】設(shè)力（a,由題意知，點/關(guān)于原點的對稱點8（（&,一［），；在直線后七什1+左上，則1=

aaa

-ak+1+k,整理，得：kd-（介1）>1=0①，即（a-1）（Ara-1）=0,'.a-1=0或1=0,則a=\或

^-1=0,若依0,則f1,此時方程①只有1個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的“友好點”只有1對；

若k￥0,則折!，此時方程①有2個實數(shù)根，即兩個函數(shù)圖象上的“友好點”有2對，綜上，這兩個函數(shù)

k

圖象上的“友好點”對數(shù)情況為1對或2對，故選A.

【關(guān)鍵點撥】本題主要考查直線和雙曲線上點的坐標(biāo)特征及關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，將“友好點”的定

義，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征轉(zhuǎn)化為方程的問題求解是解題的關(guān)鍵.

4.對于實數(shù)a,b,定義符號min{a,6},其意義為：當(dāng)時，min{&b\=b；當(dāng)aVA時，min{a,M=a.例

如：min={2,-1）=-1,若關(guān)于x的函數(shù)尸min{2x-1,-x+3},則該函數(shù)的最大值為（）

【答案】D.

44

【解析】當(dāng)2x-12-H3時，x》一，???當(dāng)—時，y=min{2x-1,-幻3}=-爐"3,當(dāng)2x-IV-戶3時,

33

444

xV—,?\當(dāng)xV—時，7=min{2x-1,-.d-3)=2x-1,綜上所述，y=min{2x-1,■產(chǎn)3}的最大值是當(dāng)下一

333

【關(guān)鍵點撥】本題考查了新定義、一元一次不等式及一次函數(shù)的交點問題，大真閱讀理解其意義，并利用

數(shù)形結(jié)合的思想解決函數(shù)的最值問題.

5.根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是4或7時，輸出的y值相等，則b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

【答案】C

【解析】

???當(dāng)產(chǎn)7時,y=6-7=-l,

.??當(dāng)產(chǎn)4時,y=2X4+b=-l,

解得：b=-9,

故選C.

【關(guān)鍵點撥】

本題主要考查函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)值的計算方法.

k+1k

6.已知：I劉表示不超過力的最大整數(shù)，例：[3.9]=34-1.8]=-2,令關(guān)于k的函數(shù)f-[/(k是

3+13

正整數(shù))，例：/(3)=[^-]-y=l,則下列結(jié)論箱誤的是()

A./。)=。B./(〃+4)=/⑻

C./(k+l)>/(fc)D,/⑻=0或1

【答案】C

【解析】

1+11

A.f(l)=[^_]-[_]=0-0=0,故A選項正確，不符合題意;

k+4+1k+4k+lkk+lkk+lk

B.Rk+4)=[-^_]-[—Ml+-]-[1+^]=[-]-/口)=[丁]-端,

所以f(k+4)=f(k),故B選項正確，不符合題意;

k+1+lk+1k+2k+l小、k+lk

—=—，葭

c,Rk+D=4444k)[4IT/,

3+23+1…、3+13

當(dāng)k=3時，R3+l)=

~4~~4~:0,《3)=[―^―]-[-^=1,

此時Rk+l)<f(k),故c選項錯誤，符合題意;

D.設(shè)n為正整數(shù),

|4n+II|4n

當(dāng)k=4n時，fUU=1——j-[為~=n-n=O,

4n+24n+1

當(dāng)k=4n+l時，Rk)=7~T~=n-n=0,

4n+34n+2

當(dāng)時，

k=4n+2Rk)~4~,~4~=n-n=0?

4n4-44n+3

當(dāng)k=4n+3時，Rk)4-fn+l-n=l,

所以f(k)=0或i,故D選項正確，不符合題意，

故選C.

【關(guān)鍵點撥】本題考杳了新定義運(yùn)算，明確運(yùn)算的法則，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

22

7.設(shè)86是實數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：a@b=(a+b)-(a-b)t則下列結(jié)論：

①若o@b=0,則(3=0或左0；

②a@(/?+c)-a@Z?+a@c；

③不存在實數(shù)a,b,滿足a@b=°2+56；

④設(shè)&6是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)年人時，”@b最大.

其中正確的是()

A.②③?B.①?④C.①②④D.①?③

【答案】C.

【解析】由分析可得：

對于①若a@6=(a+b)--(a-h)2=4ah=0,則a=0或tf=0正確；

又寸干?②a@(b+c)=(a+b+cf>-(a-b-c)1=4ab+4ac而。@6+。@。=4ab+4ac.故正確：

22

對于③a@b=a+5bf由a@b=(a+b『一(。一匕J=446=/+5/,可得由/一加力+5/=。化簡：

(4-2?2+/=0解出存在實數(shù)&*滿足。?6=/+5從；

對于④a8是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)斫b時，a@b最大.正確.

故選C.

8.在AABC中，若0為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=2A02+2B02成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如

圖，在矩形DEFG中，己知DE=4,EF=3,點P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動，則PF2+PG2的最小值為()

【答案】D

【解析】

設(shè)點M為DE的中點，點N為FG的中點，連接MN交半圓于點P,此時PN取最小值.

.\GF=DE,MN=EF,

1

/.MP=FN=2DE=2,

???NP=MN-MP=EF-MP=1,

:.PF2+PG2=2PN2+2FN2=2Xl2+2X22=10.

故選D.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了點與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及二角形二變形關(guān)系，利用二角形二邊關(guān)系找

出PN的最小值是解題的關(guān)鍵.

9.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直

角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個

這樣的圖形拼成，若a=3,b=4,則該矩形的面積為（）

9953

A.20B.24C.D.

【答案】B

【解析】

設(shè)小正方形的邊長為x,則矩形的一邊長為（a+x）,另一邊為（b+x），根據(jù)題意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）

（b+x）,

化簡得：ax+x2+bx-ab=0,

又???a=3,b=4,

AX2+7X=12;

???該矩形的面積為二(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=X2+7X+12=24.

故答案為：B.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了勾股定理的證明以及運(yùn)用和一元一次方程的運(yùn)用,求出小正方形的邊長是解題的

關(guān)鍵.

10.閱讀理解：見仇仇d是實數(shù)，我們把符號I：稱為2X2階行列式，并且規(guī)定：匕^=axd-bxc,

I32I\ax+by=c.

例如：|_1_2I=3X（-2）-2X（-1）=_6+2=_4.二元一次方程組（々x+b2y=c2的解可以利用2x2

Dx

X_

~~D%%cb%c

階行列式表示為：其中D=a2%，幺=%，%=4。2?問題：對于用上面的方法解二

y=p-

元一次方程組Q；2）1：上時，下面說法錯誤的是（）

B."14C.%=27D.方程組的解為｛J：馬

A、D=|3-2|=2X（-2）-3Xl=-7,故A選項正確，不符合題意；

=

B、D4±J2|-2-1X12=-14,故B選項正確，不符合題意；

C、Dy=|s12|=2X12-1X3=21,故C選項不正確，符合題意；

D-14D21

【）、方程組的解：x=-2=—=2,y=-Z=_=-3,故D選項正確，不符合題意，

I）-7D-/

故選C.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了閱讀理解型問題，考查了2X2階行列式和方程組的解的關(guān)系，讀懂題意，根據(jù)材

料中提供的方法進(jìn)行解答是關(guān)鍵.

11.已知二次函數(shù)y=-X2+X+6及一次函數(shù)y=-x+m,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下

方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)（如圖所示），請你在圖中畫出這個新圖象，當(dāng)直線y=-x+m與

新圖象有4個交點時，m的取值范圍是（）

2525

A.-彳VmV3B.C.-2<m<3D.-6<m<-2

【答案】D

【解析】

如圖，當(dāng)y=0時，-X2+X+6=0,解得XI=-2,x2=3,則A(-2,0),B(3,0),

將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為尸(x+2)(x-3),

即y=x2-x-6(-2WxW3),

當(dāng)直線y=?x+m經(jīng)過點A(?2,0)時，2+m=0,解得ni=-2；

當(dāng)直線y=-x+m與拋物線y=x2-x-6(-2WxW3)有唯一公共點時，方程x2-x-6=-x+m有相等的實數(shù)解,

解得n=-6,

所以當(dāng)直線y=-x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為-6<m<-2,

故選D.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了拋物線與幾何變換，拋物線與x軸的交點等，把求二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a,b,c

是常數(shù)，aHO)與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解決此類問題常用的方法.

12.如圖，一段拋物線y=-x?+4(-2Wx<2)為G,與x軸交于A。，Ai兩點，頂點為D1；將G繞點A1旋轉(zhuǎn)

180°得到C2,頂點為63與C?組成一個新的圖象，垂直于y軸的直線1與新圖象交于點R(x.,y.),P2

(x2,y2),與線段DQ交于點D(x3,y3),設(shè)治，x2,X3均為正數(shù)，t=xi+x2+x3,則t的取值范圍是()

D2

A.6VtW8B.6WtW8C.10VtW12D.10WtW12

【答案】D

【解析】

翻折后的拋物線的解析式為y=（x-4）2-4=x2-8x+12,

???設(shè)X2,X3均為正數(shù),

???點P】（xi,yi）,P2（X2,y2）在第四象限，

根據(jù)對稱性可知：Xi+X2=8,

；2WX3W4,

,IOWX1+X2+X3WI2,

即10WtW12,

故選D.

【關(guān)鍵點撥】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的旋轉(zhuǎn)等知識，熟練掌握和靈活

應(yīng)用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

145「「

13.如圖，拋物線丫=m22-7*+立_與*相交于點八、8,把拋物線在x軸及其下方的部分記作4,將口向左

平移得到。2,與X軸交于點B、D,若直線y=/+m與Q、C?共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（

295451

C.<m<__D--8-<m<-2

【答案】C

【解析】

1245

???拋物線y=]X-7*+0與乂軸交于點人B,

1245

**?]X—7x+2=0>

??x(=5，Xz=9,

???B(5,0),A(9,0)

1

???拋物線向左平移4個單位長度后的解析式y(tǒng)=2(x-3)2-2,

1

當(dāng)直線y=)x+m過B點，有2個交點，

5

?*.0=-+m,

5

m=~2f

當(dāng)直線y=)x+m與拋物線C?相切時?，有2個交點，

112

???)x+m=)(x-3)-2,

9

x—7K+5—2m=0,

???相切，

?0?A=49-20+8m=0,

29

如圖,

295

FVmV-2，

故選C.

【關(guān)鍵點撥】

本題考查了拋物線與x軸交點、二次函數(shù)圖象的平移等知識，正確地畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想是解答

本題的關(guān)鍵.

14.定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時，F(xiàn)(n)=3n+l；②當(dāng)n為偶數(shù)時，F(xiàn)(n)=p(其

中k是使F(n)為奇數(shù)的正整數(shù))……，兩種運(yùn)算交替重復(fù)進(jìn)行，例如，取n=24,則：

若n=13,則第2018次“F”運(yùn)算的結(jié)果是()

A.1B.4C.2018D.42018

【答案】A

【解析】

若n=13,

第1次結(jié)果為：3n+l=40,

40

第2次結(jié)果是：-3=5,

第3次結(jié)果為:3n+l=16,

16

第4次結(jié)果為：^4=1,

第5次結(jié)果為：4,

第6次結(jié)果為：1,

可以看出，從第四次開始，結(jié)果就只是1,4兩個數(shù)輪流出現(xiàn)，

且當(dāng)次數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果是1；次數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果是4,

而2018次是偶數(shù)，因此最后結(jié)果是1,

故選A.

【關(guān)鍵點撥】

本題考查了規(guī)律題——數(shù)字的變化類，能根據(jù)所給條件得出"13時六次的運(yùn)算結(jié)果，找出規(guī)律是解答此題

的關(guān)鍵.

15.在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+6"的值時，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的6

倍，于是她設(shè)：

S=1+6+62+63+6l+65+66+67+6R+69?

然后在①式的兩邊都乘以6,得：

6s=6+52+63+6'+65+66+6'+68+69+63②

610-1

②-①得6S-S=6i°-1,即5s所以S=_^,得出答案后，愛動腦筋的小林想:

如果把“6”換成字母“a”（aWO且aWl）,能否求出l+a+a4a；'+a'+…+曖”的值？你的答案是（）

a?2014-11a?2015-12014_1

A._______B.__________C.D.a20"-I

a-1a-1a

【答案】B

【解析】

設(shè)S=I+a+a2+a3+a4+---+a20H,①

貝ljaS=a+a2+a3+a,+-+a201,+a2015,②,

②-①得：（a-1）S=a2015-1,

a2015-11

AS=,

a-1

故選B.

二、填空題

16.對于實數(shù)a,b,定義運(yùn)算：a.b=|"+2d例如4.3,因為4>3.所以4.3=產(chǎn)仔=5.若

x,y滿足方程組L?2y”2g，則x.y=.

【答案】60

【解析】

I4x-y=8

由題意可知：tx+2y=29,

5

解2

VA-<y,???原式=5X12:60.

故答案為：60.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二元一次方程組的解法以及正確

理解新定義運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

17.觀察下列運(yùn)算過程：S=l+3+32+33+?-+320,7+32018①，

①X3得3S=3+32+33+—+32018+32019（2）,

32019-1

②?①得2S=32019-I,S=--——

運(yùn)用上面計算方法計算：1+5+52+54…+52嘰_.

2019

［答案］—,—

4

【解析】

設(shè)S=l+5+52+53+—+5201R①,

貝lj5S=5+52+53+5*-+52019@,

②-①得：4S=52019-1,所以S=Z______t

4

52019-1

故答案為：---------

4

【關(guān)鍵點撥】

本題考查了規(guī)律型一一數(shù)字的變化類，涉及了有理數(shù)的乘方，讀懂題目信息，理解求和的運(yùn)算方法是解題

的關(guān)鍵.

18.對于任意實數(shù)a、b,定義：a0b=a2+ab+b2.若方程(x02)-5=0的兩根記為m、n,則n^+r^.

【答案】6.

【解析】

V(x02)-5=X2+2X+4-5,

Am.n為方程X2+2X-1=0的兩個根，

:.m+n=-2,mn=-1,

m2+ri2=(m+n)2-2mn=6.

故答案為：6.

【關(guān)鍵點撥】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于-?b、兩根之積等于c9是解題的關(guān)鍵.

aa

19.規(guī)定：a(g)b=(Q+bW,如：203=(2+3)x3=15,若2③%=3,則4

【答案】1或-3

【解析】

依題意得：(2+x)x=3,

整理,得X2+2X=3,

所以(x+1)2=4,

所以x+l=±2,

所以＞:=1或x=-3.

故答案是：1或-3.

【關(guān)鍵點撥】

用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c=0(a#0)的形式：

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊：

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實數(shù)解.

20.對于實數(shù)a,b,定義運(yùn)算“※”如下：aXb=a??ab,例如，5X3=52-5X3=10.若(x+1)X(x-2)

=6,則x的值為_____.

【答案】1

【解析】

由題意得，(x+1)2-(x+1)(x-2)=6,

整理得，3x+3=6,

解得，x=L

故答案為：1.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了解方程，涉及到完全平方公式、多項式乘法的運(yùn)算等，根據(jù)題意正確得到方程是

解題的關(guān)鍵.

21.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求

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-[g2fe2-(a~C)卜現(xiàn)

J2

已知AABC的三邊長分別為1,2,6貝！ZXABC的面積為_____.

【答案】1

【解析】

2,2_22

???夕1亞]工___1L）],，△4弘的三邊長分別為1,2,下,則△月虎的面積為:

小”<+2丁國3.

故答案為：1.

【關(guān)鍵點撥】

本題考查二次根式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中的面積公式解答.

22.對于一個位置確定的圖形，如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內(nèi)部或邊上，且該圖形與矩形的

每條邊都至少有一個公共點（如圖1）,那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬，鉛錘方向的邊長稱

2

為該矩形的高.如圖2,菱形ABCD的邊長為1,邊AB水平放置.如果該菱形的高是寬的3,那么它的寬的

18

【答案】

【解析】

在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC,

2

設(shè)AF-x,則CP?x，

在RtZXCBF中，CB=1,BF=x-1,

由勾股定理得：BC^B^+CF2,

2

即：代（x-1）2+卬）2,

18

解得：x二也或0（舍），

18

即它的寬的值是1T

18

故答案為：1T

圖2

【關(guān)鍵點撥】本題考查了新定義題，矩形的性質(zhì)、勾股定理等，根據(jù)題意正確畫出圖形，熟練應(yīng)用相關(guān)的

知識進(jìn)行解答是關(guān)鍵.

23.對于任意實數(shù)a、b,定義一種運(yùn)算：aXb=ab-a+b-2.例如，2X5=2X5-2+5-2=11.請根據(jù)上述的

定義解決問題：若不等式3XxV2,則不等式的正整數(shù)解是____.

【答案】1

【解析】

V3^x=3x-3+x-2<2,

7

???x為正整數(shù),

/.x=L

故答案為：1.

7

【關(guān)鍵點撥】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解以及實數(shù)的運(yùn)算，通過解不等式找出XV%是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，把平面內(nèi)一條數(shù)軸X繞原點0逆時針旋轉(zhuǎn)角o（0。<e<90°）得到另一條數(shù)軸y,x軸和y

軸構(gòu)成一個平面斜坐標(biāo)系.規(guī)定：過點P作y軸的平行線，交x軸于點A,過點P作x軸的平行線，交y軸

于點B,若點A在x軸上對應(yīng)的實數(shù)為a,點B在y軸上對應(yīng)的實數(shù)為b,貝!稱有序?qū)崝?shù)對（a,b）為點P

的斜坐標(biāo)，在某平面斜坐標(biāo)系中，已知。=60°,點k的斜坐標(biāo)為（3,2）,點N與點M關(guān)于y軸對稱，

【答案】（?2,5）

【解析】

如圖作ND〃x軸交y軸于D,作NC〃y軸交x軸于C.MN交y軸于K.

AANDK^AMBK,

.-.DN=3M=0C=2,DK=BK,

在RtZXKBM中，BM=2,ZMBK=60°,

???NBMK=30°,

1

.?.DK=3K=2BM=1,

A0D=5,

AN(-2,5),

故答案為(-2,5)

【關(guān)鍵點撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化，軸對稱等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三

角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

25.如圖1,作NBPC平分線的反向延長線PA,現(xiàn)要分別以NAPB,NAPC,/BPC為內(nèi)角作正多邊形，且邊

長均為1,將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案.例如，若以NBPC為內(nèi)角，可作出一個邊

90°1

長為】的正方形，此時NBPC=90°,而=45是360°(多邊形外角和)的苗這樣就恰好可作出兩個邊長

均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個符合要求的圖案，如圖2所示.

圖1圖2

圖2中的圖案外輪廓周長是：

在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標(biāo)，則會標(biāo)的外輪廓周長是

【答案】1421

【解析】

圖2中的圖案外輪廓周長是：8-2+2+8-2=14；

設(shè)NB?C=2x,

360180

???以/BPC為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：

loU—LXvU-X

360

以NA比為內(nèi)角的正多邊形的邊數(shù)為：—,

180360360180720

：?圖案外輪廓周長是—--2+-2+——-2=Q^—-+-6,

vU-XXXvU-XX

根據(jù)題意可知：2x的值只能為60°,90°,120°,144°,

當(dāng)x越小時，周長越大，

???當(dāng)x=30時，周長最大，此時圖案定為會標(biāo)，

180720

則則會標(biāo)的外輪廓周長是二前「77+f-6=21,

VU-DUJU

故答案為：14,21.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了閱讀理解問題和正多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角、外角的關(guān)系，明確正多邊形的各內(nèi)角相

等，各外角相等，且外角和為360°是關(guān)鍵，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

26.若欠為實數(shù)，則[用表示不大于工的最大整數(shù)，例如口6]=1,[用=3,[-2.82]=-3等.[加+1是大于工

的最小整數(shù)，對任意的實數(shù)%都滿足不等式田￡%<[%]+L①，利用這個不等式①，求出滿足㈤=2%-1

的所有解，其所有解為.

【答案】2或L

【解析】

???對任意的實數(shù)x都滿足不等式[x]WxV[x]+l,[x]=2x-l,

/.2x-l<x<2x-l+l,

解得，UVxSl,

V2x-1是整數(shù)，

x=0.5或x=l,

故答案為：x=0.5或x=l.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會解答一元一次不等式.

27.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”

其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能

容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是步.

60

【答案】1y.

【解析】

如圖，

丁四邊形CDEF是正方形，

ACD=ED,DE〃CF,

設(shè)ED二x,則CD=x,AD=12-x,

VDEZTF,

/.ZADE=ZC,ZAED=ZB,

AAADE^AACB,

DEAD

‘阮=而'

.x_12-x

**5__12-，

60

??"F’

60

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.

28.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形

ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是格點，且四邊形EFGH

為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖.例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為產(chǎn),

此時正方形EFGH的而積為5.問：當(dāng)格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為心5時，正方形EFGH的面積的所

【解析】

①當(dāng)DG=嚴(yán)，CG=2嚴(yán)時，滿足DG2+CG2WD:此時HG二內(nèi)，可得正方形EFG：T的面積為13.

②當(dāng)DG=8,CG=1時，滿足DG2+CG2=CD。，此時HG=7,可得正方形EFGH的面積為49；

③當(dāng)DG=7,CG=4時，滿足DG?+CG2;CD/，此時HG=3,可得正方形EFGH的面積為9.

故答案為：9或13或49.

【關(guān)鍵點撥】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題，屬于中考填空題中的壓軸題.

29.劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊

形逐步逼近圓來近似計算圓的面積，設(shè)圓0的半徑為1,若用圓0的外切正六邊形的面積來近似估計圓0的

面積，則5=_____.（結(jié)果保留根號）

【答案】28

【解析】

依照題意畫出圖象，如圖所示.

?.?六邊形ABCDEF為正六邊形,

???△A30為等邊三角形，

;。。的半徑為1,

AOM=1.

ABM=AM=-y,

.AR2yp

J

：?S=6SZLABO=6X5X—X1=2j^.

故答案為：20

【關(guān)鍵點撥】本題考查了正多邊形和圓、三角形的面積以及數(shù)學(xué)常識，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出正六邊

形的邊長是解題的關(guān)鍵.

30.定義新運(yùn)算：aXb=a?+b,例如3X2=32+2=11,已知4Xx=20,則x=

【答案】4

【解析】

V4^X=42+X=20,

:.x=4.

故答案為：4.

【關(guān)鍵點撥】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及解一元一次方程，依照新運(yùn)算的定義找出關(guān)于x的一元一

次方程是解題的關(guān)鍵.

k

31.設(shè)雙曲線丫=/k>0）與直線，=》交于4B兩點（點4在第三象限），將雙曲線在第一象限的一支沿射

線84的方向平移，使其經(jīng)過點兒將雙曲線在第三象限的一支沿射線A8的方向平移，使其經(jīng)過點氏平移

后的兩條曲線相交于點P,Q兩點，此時我們稱平移后的兩條曲線所圍部分（如圖中陰影部分）為雙曲線的

k

“眸”，PQ為雙曲線的“眸徑”.當(dāng)雙曲線y=[k>0）的眸徑為6時，k的值為.

3

【答案】2

【解析】

以PQ為邊，作矩形PQQ'P'交雙曲線于點P'、Q,如圖所示.

y=x

b

聯(lián)立直線AB及雙曲線解析式成方程組，y=_

IX

#1=-/卜1=/

解得：&

???點A的坐標(biāo)為（-/，-/）,點B的坐標(biāo)為（?,鄧）.

VPQ=o,

3J23J2

???0P=3,點P的坐標(biāo)為（-4，6-）.

根據(jù)圖形的對稱性可知：根=00'=PP',

???點P'的坐標(biāo)為；+2鄧,*+2平）.

k

又???點P'在雙曲線尸亍上，

3J23J2

.??(-子+2/)?(_2_+2^)=k,

3

解得:k=2?

3

故答案為：2,

【關(guān)鍵點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、矩形的性

質(zhì)以及解一元一次方程，利用矩形的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象找出點P'的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，若AABC內(nèi)一點P滿足NPAC=NPCB=NPBA,則稱點P為AABC的布羅卡爾點，三角形的布羅卡

爾點是法國數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，后來被數(shù)學(xué)愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他

的名字命名，布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何”的熱潮.已知4ABC中，CA=CB,

ZACB=120°,P為△ABC的布羅卡爾點，若PA=&,則PBiPC=______.

【解析】

VCA=CB,CH±AB,ZACB=120°,

???AH=3H,ZACH=ZBCH=60°,NCAB=NCBA=30°,

???AB=2BH=2?BC?cos300^BC,

VZPAC=ZPCB=ZPBA,

，ZPAB=ZPBC,

AAPAB^APBC,

.PAPBAB

??麗=而=%=W'

：PA二W，

APB=1,PC三

G

.\PB+?C=1+3_

0

3

故答案為H

【關(guān)鍵點撥】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題

的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找相似三角形解決問題.

三、解答題

33.綜合與實踐

折紙是一項有趣的活動，同學(xué)們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機(jī)、小船等，折紙活動也

伴隨著我們初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質(zhì)和運(yùn)動、確定圖形位置等，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借

助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀，折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)

學(xué)的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學(xué)結(jié)論.

實踐操作

如圖1,將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B'落在矩形ABCD所在平面內(nèi)，C和AD相交于點E,

連接B'D.

解決問題

(1)在圖1中，

①B'3和AC的位置關(guān)系為—；

②將4AEC剪下后展開，得到的圖形是一；

(2)若圖1中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(ABWBC),如圖2所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請?zhí)暨x

其中的一個結(jié)論加以證明，若不成立，請說明理由；

(3)小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對

稱圖形，則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為一；

拓展應(yīng)用

(4)在圖2中，若/B=30°,AB=4J3,當(dāng)aAB，D恰好為直角三角形時，BC的長度為.

【答案】(1)①BD'〃AC,菱形；(2)見解析；(3)1：1或W：1；(4)4或6或8或12.

【解析】

(1)①BU7/4C.②將A4EC剪下后展開，得到的圖形是菱形；

故答案為BD7/4C,菱形；

(2)①選擇②證明如下：

???四邊形A8CD是平行四邊形，

AADJBC,

LDAC=LACBt

???將ZMBC沿4c翻折至△a/7'C,

ALDAC=LhCB\

***AE=CE,

???44EC是等腰三角形；

將zMEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等，

??,將Z1AEC剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形.

②選擇①證明如下，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD=BC,

???將ZM8C沿4c翻折至△?!夕C,

?:B'C=BC,

：?B'C=AD,

：?B'E=DE,

:,乙CB'D=LADB',

v/.AEC=LB'ED.LACB'=乙CAD

:,乙ADB'=Z.DACt

???B'D//AC,

(3)①當(dāng)矩形的長寬相等時，滿足條件，此時矩形紙片的長寬之比為1：1；???乙48切+440方=90。，

.?.y-30°+y=90°,

②當(dāng)矩形的長寬之比為G：1時，滿足條件，此時可以證明四邊形ACOB'是等腰梯形，是軸對稱圖形;

綜上所述，滿足條件的矩形紙片的長寬之比為1：1或口：1；

(4)''AD=BC,BC=B'Cf

^AD=B'Ct

-ACj/B'D,

???四邊形ACB'O是等腰梯形，

-LB=30°,LAB'C=Z.CDA=30°,

???△4TO是直角三角形，

當(dāng)AD=90。，AB>BC^j,如圖3中，

設(shè)ZJ4D8'=LCB'D=yf

?ZB'D=y-30。,

解得y=60。,

.-.Zy4F'D=y-30o=30o,

AB'=AB=%/3,

廬

???AD=-j-X4F—%

???BC=4,

當(dāng)乙4D8'=90。，時，如圖%

D

圖4

?:AD=BC,BC=B'C,

^AD=B'Ct

,:AC〃B'D,

???四邊形ACB，O是等腰梯形，

??ZD8'=90。，

???四邊形ACB，O是矩形，

???乙4CB'=90。，

LACB=90°,

vLB=30°,AB=4^/3,

??.BC=*AB=(X4火=6；

當(dāng)乙BAD=90。，AB<BC^t如圖5,

圖5

?:AD=BC,BC=B'C,

???AD=B'Cf

?:ACj/B'D,LB'AD=90°,

???48=30。，AB'=473,

???LAB'C=30°,

AE=4,BE'=2AE=8,

???AE=EC=4,

???CB,=12,

當(dāng)乙4B'D=90。時，如圖6,

-.AD=B'Ct

?：ACj/B,D,

???四邊形4CDB'是等腰梯形，

vz^'D=90o,

???四邊形ACO夕是矩形，

.*.ZF4C=9O°,

vLB=30°,AB=4^/3,

w

:?BC=AB--2―=8；

???已知當(dāng)BC的長為4或6或8或12時，△力夕。是直角三角形.

故答案為：平行，菱形，1：1或口：1,4或6或8或12；

【關(guān)鍵點撥】

本題考查折疊圖形的性質(zhì)與運(yùn)用，解題的關(guān)鍵時能夠知道在折疊過程中的變量與形成的新的關(guān)系.

ab

34.如圖①，在RIZXABC中，以下是小亮探究所彳與高法之間關(guān)系的方法：

ab

VsinA=-,sinB=-,

cc

ab

*c~s\nBf

ab

?'sinAsinB'

abc

根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識.在圖②的銳用ZXABC中，探究旃、可由、麗之間的關(guān)系，并寫出探究過程?

圖①圖②

abc

【答案】高才而方詆,理由見解析.

【解析】

abc

——廣-L^r—^?理由為：

sin4s\nBsinC

如圖，過A作AD_LBC,BE1AC,

AD

在RSABD中，sinB=—,即AD=csinB,

AD

在RSADC中，sinC=萬，即AD=bsinC,

bc

/.csinB=bsinC,BR.-.,,

s\nBsinC

同理可得

si“n4dsinC

【關(guān)鍵點撥】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對稱中心為坐標(biāo)原點0,AD_Ly軸于點E(點A在點D的左側(cè)),

11

經(jīng)過E、D兩點的函數(shù)產(chǎn)?0、mx+l(x20)的圖象記為G,函數(shù)y=-爐？?mx?1(xVO)的圖象記為G2,

其中m是常數(shù)，圖象G、G2合起來得到的圖象記為G.設(shè)矩形ABCD的周長為L

y

AE\D

J%

(1)當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為-1時，求m的值；

(2)求L與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)G?與矩形ABCD恰好有兩個公共點時，求L的值；

3

(4)設(shè)G在-4WxW2上最高點的縱坐標(biāo)為y°,當(dāng)］Wy°W9時，直接寫出L的取值范圍.

1

【答案】(1)(2)L=8m+4.(3)20；(4)12WLW44.

【解析】

(1)由題意E(0,1),A(-1,1),B(1,1)

11

把B(l,1)代入y=-亍2+皿(+1中，得到l=-2+m+l,

1

???m亍

m

(2)二,拋物線G】的對稱軸x=~—『m,

-1

:.AE=ED=2m,

???矩形ABCD的對稱中心為坐標(biāo)原點0,

r.AD=BC=4m,AB=CD=2,

/.L=8m+4；

(3)???當(dāng)金與矩形ABCD恰好有兩個公共點,

1

???拋物線G2的頂點M(-m,尹-1)在線段AE上，

1,

??2^~-1=1,

???m=2或-2(舍棄)，

.*.1=8X2+4=20；

(4)①當(dāng)最高點是拋物線Gi的頂點N(m,時，

13

若對12+1=7解得m=l或-1(舍棄)，

若歹、1=9時，m=4或?4（舍棄），

又??,niW2,

觀察圖象可知滿足條件的m的值為

3