備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題08不等式含解析

易錯點08不等式—備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯題【典例分析】（2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)學(xué)問進行求解.【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【易錯警示】易錯點1．隨意消項致誤【例1】解不等式;．【錯解】原不等式可化為：，因為，所以，所以，故原不等式的解集為：．【錯因】錯誤是由于隨意消項造成的，事實上，當(dāng)時，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化為：或，解得或或．所以原不等式的解集為：易錯點2．認(rèn)為分式不等式與二次不等式等價致誤【例2】解不等式;．【錯解】原不等式可化為：，解得，所以原不等式的解集為．【錯因】沒有考慮分母不能為0【正解】原不等式可化為：，解得，所以原不等式的解集為．易錯點3．不等式兩邊同乘一個符號不確定的數(shù)致誤【例3】解不等式;．【錯解】不等式兩邊同乘以得：，解得，所以原不等式的解集為．【錯因】兩邊同乘以，導(dǎo)致錯誤【正解】原不等式可化為：，解得或，所以原不等式的解集為．易錯點4．漏端點致誤【例4】集合，且，則實數(shù)的取值范圍是______【錯解】，若使，需滿意．解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．【錯因】忽視了集合的兩個端點值-1和2，其實當(dāng)時，滿意；當(dāng)時，即時也滿意．【正解】若使，需滿意，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．易錯點5．忽視基本不等式成立的前提“正數(shù)”【例5】求函數(shù)的值域．【錯解】因為，所以函數(shù)的值域為．【錯因】沒有考慮為負(fù)數(shù)的情形．【正解】由題意，函數(shù)的定義域為．當(dāng)時，，當(dāng)時取得等號；當(dāng)時，，當(dāng)時取得等號．綜上，求函數(shù)的值域是．易錯點6．忽視基本不等式取等的條件【例6】求函數(shù)的最小值．【錯解】函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為2．【錯因】運用基本不等式求函數(shù)的最值時，肯定驗證等號成立的條件即才能取等號．上述解法在等號成立時，在實數(shù)范圍內(nèi)是不成立的．【正解】，令，在時是單調(diào)遞增的，．故函數(shù)的最小值是．易錯點7．多次運用基本不等式，忽視等號是否同時成立【例7】已知兩個正實數(shù)，滿意，求的最小值．【錯解】由已知得，，所以最小值是2．【錯因】兩次運用基本不等式，其中等號成立必需滿意，而的等號成立時，必需有，因為均為正數(shù)，所以兩個等號不會同時成立，所以上述解法是錯誤的．【正解】，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，，即最小值為．【變式練習(xí)】一、單選題1．（2024·貴州銅仁偉才學(xué)校高一期中）已知，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：取a=-2,b=-1,代入到各個選項中得到正確答案為C．2．（2024·河北省高二開學(xué)考試）若正數(shù)a，b滿意，則的最小值為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因為，所以，因為a，b為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為16，故選：C.3．（2024·廣東省執(zhí)信中學(xué)高二月考）“”是“，成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】時，，“，”等價于，而可推出，不能推出，所以“”是“，”成立的充分不必要條件，故選A.4．（2024·貴州銅仁偉才學(xué)校高一期中）若不等式對隨意實數(shù)均成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，不等式，可化為，當(dāng)，即時，不等式恒成立，符合題意；當(dāng)時，要使不等式恒成立，需，解得，綜上所述，所以的取值范圍為，故選C．5．（2024·安徽省太和第一中學(xué)高一期末）設(shè)正實數(shù)滿意，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，且，則，即，取等號時有：，且；，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值：，故選：B.二、多選題6．（2024·山東省泰安一中高二期中）下列說法正確的有（）A．不等式的解集是B．“，”是“”成立的充分條件C．命題，，則，D．“”是“”的必要條件【答案】ABD【解析】由得，，，A正確；時肯定有，但時不肯定有成立，如，滿意，但，因此“，”是“”成立的充分條件，B正確；命題，，則，，C錯誤；不能推出，但時肯定有成立，“”是“”的必要條件，D正確．故選：ABD．7．（2024·寧陽縣第四中學(xué)高二期末）若，則下列不等式,其中正確的有（）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題：由基本不等式可得：，所以A正確；當(dāng)時，，所以B錯誤；，所以，即，所以C正確；因為，所以即，所以D正確.故選：ACD8．（2024·山東省高三其他）對于實數(shù)a，b，m，下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若且，則【答案】ABCD【解析】對實數(shù)a，b，m．，，A正確；，分三種狀況，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，成立，B正確；，，，C正確；若，且，，且．，設(shè)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，即，D正確．故選：ABCD9．（2024·山東省高三其他）已知函數(shù)，若在和處切線平行，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由題意知，因為在和處切線平行，所以，即，化簡得，A正確；由基本不等式及，可得，即，B錯誤；，C錯誤；，D正確．故選：AD10．（2024·海南省高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD【真題演練】1．【2024年新高考全國Ⅰ】已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：ABD.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2．【2024年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C．【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算實力，是一道簡單題.3．【2024年高考浙江】設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有2個元素，且S，T滿意：①對于隨意的x，yS，若x≠y，則xyT；②對于隨意的x，yT，若x<y，則S．下列命題正確的是A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素【答案】A【解析】首先利用解除法：若取，則，此時，包含4個元素，解除選項D；若取，則，此時，包含5個元素，解除選項C；若取，則，此時，包含7個元素，解除選項B；下面來說明選項A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，沖突，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A．【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后依據(jù)此新定義去解決問題，有時還須要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)問，所以說“新題”不肯定是“難題”，駕馭好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.4．【2024年高考全國II卷理數(shù)】0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用．若序列滿意，且存在正整數(shù)，使得成立，則稱其為0-1周期序列，并稱滿意的最小正整數(shù)為這個序列的周期．對于周期為的0-1序列，是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1序列中，滿意的序列是A． B． C． D．【答案】C【解析】由知，序列的周期為m，由已知，，對于選項A，，不滿意；對于選項B，，不滿意；對于選項D，，不滿意；故選：C【點晴】本題考查數(shù)列的新定義問題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對新定義的理解實力以及數(shù)學(xué)運算實力，是一道中檔題.5．【2024年高考江蘇】已知，則的最小值是▲．【答案】【解