專題9-4 拋物線性質(zhì)應(yīng)用歸類-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納與變式演練

專題9-4拋物線性質(zhì)應(yīng)用歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】拋物線定義 3【題型二】焦半徑1：坐標公式 4【題型三】焦半徑2：極坐標公式轉(zhuǎn)化 5【題型四】焦點弦1： 6【題型五】焦點弦2：中位線型 7【題型六】焦點弦3：焦點定比值 8【題型七】拋物線切線 8【題型八】最值范圍1：線段型最值 9【題型九】最值范圍2：面積型最值 10【題型十】拋物線與圓 10【題型十一】拋物線與橢圓 11【題型十二】拋物線與雙曲線 11二、真題再現(xiàn) 12三、模擬檢測 14結(jié)束 15綜述1.拋物線有關(guān)知識：(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下2．重要公式(1)弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)韋達定理：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).3.拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.(1)焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點動而變)；(3)其他結(jié)論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準線相切于點H．【題型一】拋物線定義【典例分析】已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則______．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線定義(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【變式演練】1..如果P1,P2,?,Pn是拋物線A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+202.我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拋物線這一節(jié)的學習，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點坐標.則二次函數(shù)的圖象的焦點坐標為（

）A． B． C． D．3..曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【題型二】焦半徑1：坐標公式【典例分析】在拋物線上有三點A，B，C，F(xiàn)為其焦點，且F為ABC的重心，則（

）A．6 B．8 C．9 D．12【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.分別做A、B在準線上垂線垂足為C，D.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)由對稱性，可得如下對稱結(jié)論：（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【變式演練】1.．已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．122.已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．83.設(shè)點在拋物線上，是焦點，則（

）A．880 B．878 C．876 D．882【題型三】焦半徑2：極坐標公式轉(zhuǎn)化【典例分析】已知拋物線E關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點在拋物線上．(1)求該拋物線E的方程及其準線方程；(2)直線過拋物線E的焦點，交該拋物線于兩點，且，求的長度．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點為F，焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，結(jié)合極坐標知識中的圓錐曲線同一方程，可得焦半徑如下簡潔公式：焦半徑公式：，，【變式演練】1.若過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則的取值范圍是______．2.如圖，過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．【題型四】焦點弦1：【典例分析】已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點，，焦點，甲：乙：丙：.?。阂陨鲜恰爸本€經(jīng)過焦點”的充要條件有幾個（

）A．0 B．1 C．2 D．3【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.焦半徑：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)。焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)【變式演練】1.已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M：，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為__________.2.如圖，已知拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，則的最小值為__________．3.如圖所示，已知拋物線過點，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型五】焦點弦2：中位線型【典例分析】設(shè)拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點，若，則直線的方程為__________．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)；【變式演練】1.（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．2..拋物線的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．3.過拋物線的焦點作直線交拋物線于點，，若，則線段的中點到拋物線準線的距離為_________.【題型六】焦點弦3：焦點定比值【典例分析】已知拋物線，過焦點P的直線交拋物線C于A，B兩點，且線段的長是焦半徑長的3倍，則直線的斜率為______．【提分秘籍】基本規(guī)律過拋物線的焦點F的弦AB與對稱軸的夾角為|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【變式演練】1.已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．2.若是拋物線上一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則______．3.過拋物線，的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若，則直線l的傾斜角等于__________.【題型七】拋物線切線【典例分析】過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線切線有如下結(jié)論與性質(zhì)：1.過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點．3.點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：．【變式演練】1.已知是拋物線：上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為4，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．2.過點作拋物線的切線，，切點分別為，，若的重心坐標為，且P在拋物線上，則的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【題型八】最值范圍1：線段型最值【典例分析】已知點在拋物線上，是拋物線的焦點，點為直線上的動點，我們可以通過找對稱點的方法求解兩條線段之和的最小值，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線線段型最值，可轉(zhuǎn)化為：1.利用定義和焦半徑公式，把到焦點距離轉(zhuǎn)化為到準線距離，或者把到準線距離轉(zhuǎn)化為到焦點距離2.設(shè)拋物線上點坐標，結(jié)合題意構(gòu)造距離函數(shù)式求范圍最值【變式演練】1..拋物線與圓交于、兩點，圓心，點為劣弧上不同于、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．2.拋物線的焦點為F，準線為，A、B是拋物線上的兩個動點，且滿足.設(shè)線段AB的中點M在上的投影為N，則的最大值是A． B．1 C． D．3.已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為AB的中點，P為C上一點，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．5【題型九】最值范圍2：面積型最值【典例分析】已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【變式演練】1.已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.2.已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是（）A． B． C． D．3.已知為拋物線的焦點，點都是拋物線上的點且位于軸的兩側(cè)，若(為原點)，則和的面積之和的最小值為（）A． B． C． D．【題型十】拋物線與圓【典例分析】在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點M，點N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線與圓的綜合題型，多從以下幾方面入手：1.圓外一點與圓上一點距離，多轉(zhuǎn)化為與圓心的距離2.拋物線上點與焦點（或者準線）距離，多轉(zhuǎn)化為與準線（或焦點）的距離。3.利用圓的方程與拋物線的方程，可以設(shè)點坐標計算?！咀兪窖菥殹?.已知拋物線的準線與圓只有一個公共點，設(shè)是拋物線上一點，為拋物線的焦點，若（為坐標原點），則點的坐標是（

）A．或 B．或C． D．2..拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點做直線與此拋物線交于，兩點，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63.已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【題型十一】拋物線與橢圓【典例分析】已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【變式演練】1.已知橢圓的半焦距為，左焦點為，右頂點為，拋物線與橢圓交于，兩點，若四邊形是菱形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．2.已知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上．在△PAB中，，當m取最小值時，點P恰好在以A，B為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為________．3.已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的方程為__．【題型十二】拋物線與雙曲線【典例分析】已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知點F為拋物線的焦點，，點M為拋物線上一動點，當最小時，點M恰好在以A，F(xiàn)為焦點的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線的左，右焦點分別為，拋物線與雙曲線有相同的焦點．設(shè)為拋物線與雙曲線的一個交點，且,則雙曲線的離心率為A．或 B．或3 C．2或 D．2或33.已知拋物線：的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且與的交點的連線過點，設(shè)雙曲線的漸近線的斜率為，則的值為___________.福建省龍巖市2020-2021學年高二上學期期末考試數(shù)學試題1．（2007·全國·高考真題（理））焦點在，頂點在的拋物線方程是（

）A． B． C． D．2．（遼寧·高考真題（文））已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為

A． B． C． D．3．（·山東·高考真題（文））拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則A． B． C． D．4．（海南·高考真題（理））已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為A． B． C． D．5．（·浙江·高考真題（理））若橢圓的左、右焦點分別為、，線段被拋物線的焦點分成的兩段，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．（全國·高考真題（文））如果拋物線的準線方程是，那么這條拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．7．（湖北·高考真題（理））雙曲線的左準線為l，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為l，焦點為；與的一個交點為M，則等于（

）A． B．1 C． D．8．（山東·高考真題（文））已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．9．（湖北·高考真題（文））將兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥310．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.11．（2017·天津·高考真題（文））設(shè)拋物線的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為____________.12．（2018·全國·高考真題（理））已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．1．已知拋物線的焦點為F，拋物線上的任意一點P到焦點F的距離比到直線的距離少，過焦點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，直