專題9-1 直線與方程題型歸類-高考數學一輪復習熱點題型歸納與變式演練

專題9-1直線與方程題型歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】直線傾斜角與斜率最值范圍 3【題型二】繞點旋轉動直線 3【題型三】含三角函數的圓切線型動直線 4【題型四】含參雙動直線 5【題型五】關于直線對稱 5【題型六】直線光學性質 6【題型七】三角形三大線：中線，高，角平分線 6【題型八】平行線 7【題型九】直線應用1：疊紙 7【題型十】直線應用2：直線與曲線交點 8【題型十一】直線應用3：直線與函數（切線型） 8【題型十二】直線應用4：距離公式 9【題型十三】直線應用5：直線與方程 10【題型十四】直線與最值 10真題再現(xiàn) 11模擬檢測 13綜述1.斜率公式(1)若直線l的傾斜角α≠90°，則斜率k＝tanα.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標系內的直線都適用3．幾種距離公式(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離：d＝4.兩條直線的位置關系(1)斜截式判斷法：①兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1、l2：(ⅰ)若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (ⅱ)當直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.②兩條直線垂直：(ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在，設為k1、k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.(ⅱ)當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.(2)一般式判斷法：設兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0，則有：①l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； ②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.5．直線系方程：(1)平行線系：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)垂直線系：與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為：Bx－Ay＋n＝0；(3)交點線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.6.直線的對稱問題：(1)點關于線對稱：方程組法，設對稱后點的坐標為(x，y)，根據中點坐標及垂直斜率列方程組；(2)線關于線對稱：①求交點； ②已知直線上取一個特殊點，并求其關于直線的對稱點；③兩點定線即可.(3)圓關于線對稱：圓心對稱，半徑不變.(4）則對稱直線必過圓心且與兩點所在的弦中垂.7.對稱：1.關于軸對稱問題：（1）點關于直線的對稱點，則有；（2）直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.2點關于直線對稱：求解點關于直線的對稱點的基本方法如下：①與連線與直線垂直，即；②中點在直線上，即；③與到直線的距離相等，即；上述三個等量關系中任選兩個構成方程組，即可求得對稱點坐標.3.直線關于點對稱：（1方法一：可以取兩個點，利用中點坐標公式求出對應點的坐標，再由兩點求出直線方程）（2）方法二：對稱直線和原直線是互為平行線，且到點的距離相等，所以可以待定系數法，利用點到直線距離公式求解（注意會有增根，增根對應的恰好是原直線方程）4.對稱技巧：如果對稱軸所在的直線斜率是，即直線是型，可以利用反解對稱軸法直接求出對稱變換式子(1)如果關于直線的對稱點為，則的坐標為；(2)如果關于直線的對稱點為，則的坐標為．【題型一】直線傾斜角與斜率最值范圍【典例分析】設直線，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知直線的方程為，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．2.已知點P為曲線上一動點，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3.已知四邊形各頂點的坐標分別為，，，，點為邊的中點，點在線段上，且是以角為頂角的等腰三角形，記直線，的傾斜角分別為，，則A． B． C． D．【題型二】繞點旋轉動直線【典例分析】已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知直線則當m、n變化時，直線都通過定點2.下列對動直線的四種表述不正確的是（

）A．與曲線C：可能相離，相切，相交B．恒過定點C．時，直線斜率是0D．時，直線的傾斜角是135°3.已知，，三個數成等差數列，直線恒過定點，且在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【題型三】含三角函數的圓切線型動直線【典例分析】）設直線系，，對于下列四個命題：（1）中所有直線均經過一個定點；（2）存在定點不在中的任意一條直線上；（3）對于任意整數，，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；（4）中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（

）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）

（4） D．（1）（2）【變式演練】1.直線系，直線系A中能組成正三角形的面積等于______.2.設直線系（），則下列命題中是真命題的個數是（）①存在一個圓與所有直線相交；②存在一個圓與所有直線不相交；③存在一個圓與所有直線相切；④中所有直線均經過一個定點；⑤不存在定點不在中的任一條直線上；⑥對于任意整數，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．A．3 B．4 C．5 D．63.已知集合{直線其中是正常數}，下列結論中正確的是（

）A．當時，中直線的斜率為B．中所有直線均經過同一個定點C．當時，中的兩條平行線間的距離的最小值為D．中的所有直線可覆蓋整個直角坐標平面【題型四】含參雙動直線【典例分析】設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（

）A．4 B．10 C．5 D．【變式演練】1.設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（

）A． B． C． D．2.過定點M的直線與過定點N的直線交于點P，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．83.設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（

）A． B．5 C． D．【題型五】關于直線對稱【典例分析】若曲線關于直線的對稱曲線是，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．不確定【變式演練】1.設函數的圖象與的圖象關于直線對稱，若，，，則（

）A． B． C． D．2.設函數的圖象與的圖象關于直線對稱，若，，，則（

）A． B． C． D．3.已知直線：與直線關于直線：對稱，直線與直線：垂直，則的值為（

）A． B． C．3 D．【題型六】直線光學性質【典例分析】在直角坐標系中，已知和直線，試在直線上找一點，在軸上找一點，使三角形的周長最小，最小值為__．【變式演練】1.已知等腰直角三角形三個頂點，和，P為的中點，一質點從點P出發(fā)，經，反射后又回到點P（如圖），則的周長為（

）A． B．3 C． D．42.已知點，O為坐標原點，P，Q分別在線段上運動，則的周長的最小值是（

）A． B． C．5 D．3.如圖，平面上兩點，在直線上取兩點使，且使的值取最小，則的坐標為____________．【題型七】三角形三大線：中線，高，角平分線【典例分析】已知在中，其中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【變式演練】1.若△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為________.2.已知為等腰直角三角形，C為直角頂點，AC中點為，斜邊上中線CE所在直線方程為，且點C的縱坐標大于點E的縱坐標，則AB所在直線的方程為_______________________.3.若等邊三角形的一條中線所在直線的斜率為1，則該等邊三角形的三邊所在直線的斜率之和為___________.【題型八】平行線【典例分析】若直線m被兩平行線與所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號是_____(寫出所有正確答案的序號)．【變式演練】1.若三條直線不能圍成三角形，則實數的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個2.已知直線；，若，都是正數，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.設兩條直線的方程分別為，，已知a，b是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是（

）A．1， B．， C．， D．1，【題型九】直線應用1：疊紙【典例分析】折紙藝術是我國民間的傳統(tǒng)文化，將一矩形紙片放在平面直角坐標系中，，將矩形折疊，使點落在線段上，設折痕所在直線的斜率為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式演練】1.將一張畫有直角坐標系的圖紙對折，使點與重合，若此時點恰與點D重合，則點D的坐標是________．2.將一張畫了直角坐標系（兩坐標軸單位長度相同）的紙折疊一次，使點與點重合，點與點重合，則（

）A．1 B．2023 C．4043 D．40463.已知一張紙上面有半徑為4的圓O，在圓O內有一個定點A，且，折疊紙片，使圓上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓上所有點時，所有折痕與的交點形成的曲線記為C，則曲線C上的點到圓O上的點的最大距離為__________．【題型十】直線應用2：直線與曲線交點【典例分析】在平面直角坐標系中，函數的圖象上有三個不同的點位于直線上，且這三點的橫坐標之和為0，則這條直線必過定點（

）A． B． C． D．【變式演練】1.直線與曲線有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是（

）A． B．或C． D．2.曲線與直線有兩個不同的交點時實數的范圍是（

）A． B． C． D．3.對于任意放置的橢圓，經過橢圓上的任意一點有且僅有一直線與該橢圓有一個交點，則稱該直線為橢圓的切線.橢圓繞坐標原點逆時針旋轉45°后得到的橢圓中最高點與原點的距離為_______.【題型十一】直線應用3：直線與函數（切線型）【典例分析】已知函數，如果函數恰有三個不同的零點，那么實數的取值范圍是________【變式演練】1.已知函數，若關于的方程有兩個解，則實數的取值范圍是A． B．C． D．2.已知，若的圖象與軸有3個不同的交點，則實數的取值范圍為______.3.已知是定義在R上的奇函數，當時，，有下列結論：①函數在上單調遞增；②函數的圖象與直線有且僅有2個不同的交點③若關于x的方程的實數根之和為8；④函數的值域為.其中所有正確答案的編號是______________.【題型十二】直線應用4：距離公式【典例分析】已知，則的最小值為（

）A． B．3C． D．6【變式演練】1.若不等式對任意，恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十三】直線應用5：直線與方程【典例分析】已知P1（a1，b1）與P2（a2，b2）是直線y＝kx+1（k為常數）上兩個不同的點，則關于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交點情況是（）A．存在k，P1，P2使之無交點B．存在k，P1，P2使之有無窮多交點C．無論k，P1，P2如何，總是無交點D．無論k，P1，P2如何，總是唯一交點【變式演練】1.定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝.已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題正確的是（

）A．若d1－d2＝0，則直線P1P2與直線l平行B．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l平行C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D．若d1·d2＜0，則直線P1P2與直線l相交2.若方程表示定直線l，為不在l上的定點，則方程一定是（

）A．過點M且與直線l相交的直線 B．過點M且與直線l平行的直線C．過點M且與直線l垂直的直線 D．以上均不對3.已知直線l過點，傾斜角，下列方程可以表示直線l的是（

）A． B．C． D．【題型十四】直線與最值【典例分析】已知、，直線，，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【變式演練】1.已知O為坐標原點，直線上存在一點P，使得，則k的取值范圍為（

）A． B．C． D．2.已知在平面直角坐標系中直線l恒過定點（2，1）.與x正半軸y正半軸分別相交A、B兩點，O為坐標原點，則△周長的最小值是_____________.3.已知點M，N分別在直線：與直線：，且，點，，則|的最小值為（

）A． B． C． D．1．直線關于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．2020年山東省春季高考數學真題2．已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2020年山東省春季高考數學真題3．已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．2020年浙江省高考數學試卷4．點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．22020年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（新課標Ⅲ）5．在等腰直角三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經發(fā)射后又回到原點（如圖）.若光線經過的重心，則等于A． B．C． D．全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（湖南卷）6．在平面直角坐標系中，記為點到直線的距離，當、變化時，的最大值為A． B．C． D．2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（北京卷）7．設點，若直線關于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．2022年新高考全國II卷數學真題8．已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．2021年全國新高考II卷數學試題9．在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____.2019年江蘇省高考數學試卷10．在平面直角坐標系中，設三角形ABC的頂點坐標分別為，點在線段OA上（異于端點），設均為非零實數，直線分別交于點E，F(xiàn)，一同學已正確算出的方程：，請你求OF的方程：__________________________．普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題（江蘇卷）11．在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點．若點到直線的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為_________全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數學（江蘇卷）12．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是______．全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數學（四川卷）13．在平面直角坐標系xOy中，設定點