專題8-1 外接球-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題8-1外接球目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】長方體外接球：三線垂直型 2【題型二】長方體特殊性質(zhì)：對棱相等型 3【題型三】線面垂直型（直棱柱型） 4【題型四】三棱錐型外接球 5【題型五】四棱錐型外接球 6【題型六】圓錐外接球 7【題型七】圓柱外接球 7【題型八】圓臺外接球 8【題型九】棱臺外接球 9【題型十】面面垂直型 10【題型十一】二面角型外接球 11【題型十三】外接球和內(nèi)切球 12真題再現(xiàn) 12模擬檢測 14綜述：一、解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.二、長方體補(bǔ)形法即將立體圖形補(bǔ)成規(guī)則幾何體，常見有以下幾種：(1).有三條棱兩兩垂直——長方體；(2).有三條棱兩兩垂直且相等——正方體；(3).各棱長均相等的四面體——正方體；(4).有一側(cè)棱垂直于底面的錐體——直棱柱；(5).三組對棱對應(yīng)相等的四面體——長方體三、解決二面角型外接球，則可以參考外心垂線相交法【題型一】長方體外接球：三線垂直型【典例分析】三棱錐中，，，互相垂直，，是線段上一動點(diǎn)，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球表面積是A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律正方體的棱長為a，球的半徑為R，則： ①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a； ③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則外接球直徑＝長方體對角線，即：2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).【變式演練】1.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，，，的面積為，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．2.已知矩形，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將，翻折，使點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，則幾何體的外接球表面積為A． B． C． D．3.《九章算術(shù)》中記載，塹堵是指底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬是指底面為矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在塹堵中，，=3，當(dāng)陽馬的體積為8時，塹堵的外接球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【題型二】長方體特殊性質(zhì)：對棱相等型【典例分析】在三棱錐P－ABC中，PA＝BC＝5，，，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律對棱相等的正四面體：三棱錐對棱相等，【變式演練】1.如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．2.在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型三】線面垂直型（直棱柱型）【典例分析】若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和體積都是4，底面是直角三角形，則球О表面積的最小值是___________.【提分秘籍】基本規(guī)律線面垂直型：存在一條棱垂直一個底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）1.模板圖形原理圖1圖22.計算公式【變式演練】1.在三棱錐中，平面，，則三棱錐的外接球體積的最小值為A． B． C． D．2.直三棱柱ABC?A1B1C1外接球表面積為16π，AB=2，若ΔABC，矩形A．22 B．3 C．10 D．，3.已知球是三棱錐的外接球，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則球的表面積為（）A． B． C． D．【題型四】三棱錐型外接球【典例分析】在四面體中，三角形為等邊三角形，邊長為，，，，則四面體外接球表面積為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律面面垂直型：1.正三棱錐對棱垂直。2.正三棱錐外接球球心可能在三棱錐內(nèi)部，也可能不在。但一定在三棱錐定點(diǎn)向地面所做的垂線上3.計算公式和圖形：4.正四面體，類比等邊三角形外心和內(nèi)心，可證：外心和內(nèi)心重合，恰好位于高的四等分點(diǎn)處，【變式演練】1.已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為A． B． C． D．2.三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．3.一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，，，，.現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【題型五】四棱錐型外接球【典例分析】已知四棱錐的底面是矩形，其中，，面面，，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律四棱錐型：1.會存在外接球球心在棱錐內(nèi)部或者棱錐外部的不同情況。2.滿足或者3.特殊情況下，還可以轉(zhuǎn)化為“線面垂直-直棱柱模型”【變式演練】1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球表面積為A． B． C． D．2.所有棱長均為的正四棱錐外接球表面積為A． B． C． D．3.一個幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球表面積為，則該幾何體的體積為A． B． C． D．【題型六】圓錐外接球【典例分析】圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它的外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為__________．【提分秘籍】基本規(guī)律圓錐外接球，可類比正三棱錐（任意正棱錐）求解【變式演練】1.已知一個圓錐的底面直徑為，其母線與底面的夾角的余弦值為.圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，該內(nèi)接正方體的頂點(diǎn)都在圓錐的底面或側(cè)面上，則這個正方體的外接球表面積為_________.2..圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點(diǎn)在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為A． B． C． D．3.設(shè)一圓錐的外接球與內(nèi)切球的球心位置相同，且外接球的半徑為，則該圓錐的體積為A． B． C． D．【題型七】圓柱外接球【典例分析】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍颍虻谋砻娣e為，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律圓柱外接球，類比正棱柱外接球的求法求解?！咀兪窖菥殹?.已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的體積為V，則V的最小值為_____________．2.．如圖，棱長均相等的直三棱柱的上、下底面均內(nèi)接于圓柱的上、下底面，則圓柱的側(cè)面積與其外接球的表面積之比為______．3.如圖，圓柱的底面半徑為，高為，記圓柱的表面積為，圓柱外接球的表面積為，若，則的值為（

）A． B． C．或1 D．或1【題型八】圓臺外接球【典例分析】圓臺的上下底面半徑和高的比為，母線長為，則圓臺的外接球表面積為________．【變式演練】1.已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．2.已知圓臺上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為，圓臺的外接球的球心為O，且球心在圓臺的軸上，滿足，則圓臺的外接球的表面積為____________．3.已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【題型九】棱臺外接球【典例分析】我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童有外接球，且，點(diǎn)E到平面距離為4，則該芻童外接球的表面積為________．【提分秘籍】基本規(guī)律正棱臺外接球，以棱軸截面為主?！咀兪窖菥殹?.在正四棱臺中，，則（

）A．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為B．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為C．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為D．該棱臺的體積為，該棱臺外接球的表面積為2.在正四棱臺中，，，則該棱臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3.如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）A． B． C． D．【題型十】面面垂直型【典例分析】.如圖，在中，，，是的角平分線，沿將折起到的位置，使得平面平面.若，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律面面垂直型基本圖形一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型，【變式演練】1.在三棱錐中，，平面平面ABC，，，則三棱錐外接球的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．2.在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3..如圖所示，在三棱錐A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD為斜邊的等腰直角三角形，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A．40π B．20π C．32π D．80π【題型十一】二面角型外接球【典例分析】在菱形中，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，三棱錐的外接球球心為，的中點(diǎn)為，則A．1 B．2 C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律二面角型，多是可以借助外心垂線相交法來計算解決。1.等邊或者直角：（1）等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心；2.直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過球心；3.許多情況下，外心垂線夾角與二面角相等或者互補(bǔ)?！咀兪窖菥殹?.如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．2..已知菱形ABCD的邊長為2，且，沿BD把折起，得到三棱錐，且二面角的平面角為60°，則三棱錐的外接球的表面積為（

）．A． B． C． D．3.已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小為，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【題型十三】外接球和內(nèi)切球【典例分析】已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，內(nèi)有一個體積為的球，若的最大值為，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______.【提分秘籍】基本規(guī)律內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等，正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.其中錐體與內(nèi)切球的關(guān)系：(V為幾何體的體積，S為多面體的表面積，r為內(nèi)切球的半徑)【變式演練】1.在三棱錐中，，二面角、、的大小均為，設(shè)三棱錐的外接球球心為，直線交平面于點(diǎn)，則三棱錐的內(nèi)切球半徑為_______________，__________2.一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是、、、，則該四面體的內(nèi)切球與外接球體積之比為______3.已知正方體的棱長為，球是正方體的內(nèi)切球，是球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．1．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A． B． C． D．3．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．4．（2020·天津·高考真題）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2020·全國·高考真題（理））已知為球的球面上的三個點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2020·全國·高考真題（理））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．7．（2019·全國·高考真題（理））已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．8．（·湖南·高考真題（文））一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于A．1 B．2 C．3 D．49．（全國·高考真題（文））正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B． C． D．10．（福建·高考真題（理））頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱中，，則兩點(diǎn)間的球面距離為（

）A． B． C． D．1.已知三棱錐，，、兩兩垂直，，，，則三棱錐的外接球表面積為A． B． C． D．2.已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為______.3.三棱錐中，平面，，的面積為3，則三棱錐的外接球體積的最小值為（