2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題13點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用含答案及解析

專題13點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用一、考情分析圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題是高考常見題型,在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí),我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為,代入圓錐曲線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,然后加以求解,這即為“點(diǎn)差法”.二、解題秘籍(一)求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程求解此類問題的方法是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減求出斜率,再用點(diǎn)斜式寫出直線方程.特別提醒：求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程,求出直線方程后要檢驗(yàn)所求直線與雙曲線是否有2個(gè)交點(diǎn).【例1】過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦,使弦被點(diǎn)平分,求這條弦所在直線的方程.【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn)又、兩點(diǎn)在橢圓上,則,兩式相減得于是即,故所求直線的方程為,即.【例2】已知雙曲線,離心率,虛軸長(zhǎng)為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)能否作直線,使直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由．【解析】(1),,,．,．．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)假設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在,設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為,,可得,．由,在雙曲線上,可得：,兩式相減可得以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為：,則以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為．即為,代入雙曲線的方程可得,由,所以不存在這樣的直線．(二)求弦中點(diǎn)軌跡方程求弦中點(diǎn)軌跡方程基本類型有2類,一是求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程,二是求過定點(diǎn)的直線被圓錐曲線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率為．，，，，故橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M與O重合，不合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，則有，，直線的斜率為，，兩點(diǎn)在橢圓上，有，，兩式相減，，即，得，化簡(jiǎn)得，，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為【例4】直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題,是解析幾何重要內(nèi)容之一,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.引理：設(shè)、是二次曲線上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),且弦的斜率存在,則……（1）……（2）由（1）-（2）得,∵,,∴,∴,∴,∴直線的斜率.二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等．請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：已知橢圓.（1）求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程;（2）過點(diǎn)引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),則,兩式相減得：,∵,,∴,∴,∴直線的斜率.直線AB的方程為,即.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部,成立.（2）由題意知：割線的斜率存在,設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),則,兩式相減得：,∵,,∴,∴,∴直線的斜率又,所以,化簡(jiǎn)得：,所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(三)求直線的斜率一般來說,給出弦中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線斜率【例5】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M,N在橢圓C上.(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線MN的斜率；(2)若M,N,O三點(diǎn)共線,直線NF1與橢圓C交于N,P兩點(diǎn),求△PMN面積的最大值.【解析】(1)設(shè),則,兩式相減,可得,則,解得,即直線MN的斜率為；(2)顯然直線NF1的斜率不為0,設(shè)直線NF1：,,聯(lián)立,消去x整理得,顯然,故,故△PMN的面積,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故△PMN面積的最大值為.【例6】已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為,求直線的斜率.【解析】（1）證 略.（2）解 ,設(shè)線段的中點(diǎn)為.又在橢圓上,,（1）,（2）得：,.直線的斜率,直線的方程為.令,得,即,直線的斜率.(四)點(diǎn)差法在軸對(duì)稱中的應(yīng)用【例7】（2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)合統(tǒng)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱【例8】已知橢圓過點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的范圍．【解析】（1）設(shè)，則，即．因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以，兩式相減得，即，又，所以，即．又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)镻，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以且點(diǎn)N在直線l上，即．又因?yàn)镻，Q在橢圓C上，所以．兩式相減得．即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以，所以所以實(shí)數(shù)的范圍為．(五)利用點(diǎn)差法可推導(dǎo)的結(jié)論在橢圓中,若直線l與該橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)為弦AB中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則,對(duì)于雙曲線、拋物線也有類似結(jié)論,求自行總結(jié).【證明】設(shè)且,則,（1）,（2）得：,,.又,,（定值）.【例9】（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A,直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn),且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn)．(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2,求k1·k2的值；(2)若＝,試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則,說明理由．【解析】(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),因?yàn)镻、Q在雙曲線上,所以－＝1,－＝1,兩式作差得－＝0,即＝,即＝,即k1·k2＝；(2)因?yàn)椋?所以APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,即AP⊥AQ；①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,得t＝或a(舍),故直線l的方程為x＝；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l：y＝kx＋m,代入－＝1,得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1＋x2＝,x1x2＝－；因?yàn)锳P⊥AQ,所以·＝0,即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,即＝0,即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,所以k＝－或k＝－；當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－x＋m,此時(shí)經(jīng)過A,舍去；當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－x＋m,恒過定點(diǎn)(,0),經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；綜上①②,直線l過定點(diǎn)(,0)．三、跟蹤檢測(cè)1．已知橢圓為右焦點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．2．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為D，斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，直線l恰好經(jīng)過D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過點(diǎn)D時(shí)，若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù)，求k的取值范圍.3．已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程．4．已知橢圓：（）過點(diǎn)，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為-0.5.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，橢圓上是否存在，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出，的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2022屆廣東省清遠(yuǎn)市高三上學(xué)期期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P為l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作C的切線,切點(diǎn)為Q,試判斷F是否在以為直徑的圓上．6．（2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為1時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖,若過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,求四邊形的面積的最大值.7．如圖,是過拋物線焦點(diǎn)F的弦,M是的中點(diǎn),是拋物線的準(zhǔn)線,為垂足,點(diǎn)N坐標(biāo)為.(1)求拋物線的方程；(2)求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.8．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),直線：,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、,設(shè)、的中點(diǎn)分別為M、N.求直線過定點(diǎn)D的坐標(biāo).9．中心在原點(diǎn)的雙曲線焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點(diǎn)；②該曲線的漸近線與圓相切；③點(diǎn)在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點(diǎn)能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由.10．己知橢圓的焦距為,短軸長(zhǎng)為2,直線l過點(diǎn)且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為1,求弦的長(zhǎng)；(3)若過點(diǎn)的直線與橢圓C交于E、G兩點(diǎn),且Q是弦的中點(diǎn),求直線的方程．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為,AB為橢圓的一條弦,直線y=kx（k>0）經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)M,與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè)直線AB的斜率為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,）（1）求橢圓C的方程；（2）求證：為定值.12．已知雙曲線：與點(diǎn)．（1）是否存在過點(diǎn)的弦,使得的中點(diǎn)為；（2）如果線段的垂直平分線與雙曲線交于、兩點(diǎn),證明：、、、四點(diǎn)共圓．13．李華找了一條長(zhǎng)度為8的細(xì)繩,把它的兩端固定于平面上兩點(diǎn)F1,F2處,|F1F2|＜8,套上鉛筆,拉緊細(xì)繩,移動(dòng)筆尖一周,這時(shí)筆尖在平面上留下了軌跡C,當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M處時(shí),經(jīng)測(cè)量此時(shí)∠F1MF2＝,且△F1MF2的面積為4．（1）以F1,F2所在直線為x軸,以F1F2的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求李華筆尖留下的軌跡C的方程（鉛筆大小忽略不計(jì)）；（2）若直線l與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的中點(diǎn)為N（2,1）,求△OAB的面積．14.若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

專題13點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用一、考情分析圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題是高考常見題型,在處理直線與圓錐曲線相交形成的弦中點(diǎn)的有關(guān)問題時(shí),我們經(jīng)常用到如下解法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為,代入圓錐曲線得兩方程后相減,得到弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線斜率的關(guān)系,然后加以求解,這即為“點(diǎn)差法”.二、解題秘籍(一)求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程求解此類問題的方法是設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),代入曲線方程相減求出斜率,再用點(diǎn)斜式寫出直線方程.特別提醒：求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程,求出直線方程后要檢驗(yàn)所求直線與雙曲線是否有2個(gè)交點(diǎn).【例1】過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦,使弦被點(diǎn)平分,求這條弦所在直線的方程.【解析】設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn)又、兩點(diǎn)在橢圓上,則,兩式相減得于是即,故所求直線的方程為,即.【例2】已知雙曲線,離心率,虛軸長(zhǎng)為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)能否作直線,使直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)?若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由．【解析】(1),,,．,．．∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)假設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在,設(shè)以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為,,可得,．由,在雙曲線上,可得：,兩式相減可得以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為：,則以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為．即為,代入雙曲線的方程可得,由,所以不存在這樣的直線．(二)求弦中點(diǎn)軌跡方程求弦中點(diǎn)軌跡方程基本類型有2類,一是求平行弦的中點(diǎn)軌跡方程,二是求過定點(diǎn)的直線被圓錐曲線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程.【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，求的最大值.【解析】（1）橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其離心率為．，，，，故橢圓的方程為：；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M與O重合，不合題意，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，則有，，直線的斜率為，，兩點(diǎn)在橢圓上，有，，兩式相減，，即，得，化簡(jiǎn)得，，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為【例4】直線與圓錐曲線相交所得弦的中點(diǎn)問題,是解析幾何重要內(nèi)容之一,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.引理：設(shè)、是二次曲線上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),且弦的斜率存在,則……（1）……（2）由（1）-（2）得,∵,,∴,∴,∴,∴直線的斜率.二次曲線也包括了圓、橢圓、雙曲線、拋物線等．請(qǐng)根據(jù)上述求直線斜率的方法（用其他方法也可）作答下題：已知橢圓.（1）求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程;（2）過點(diǎn)引橢圓的割線,求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),則,兩式相減得：,∵,,∴,∴,∴直線的斜率.直線AB的方程為,即.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部,成立.（2）由題意知：割線的斜率存在,設(shè)、是橢圓上兩點(diǎn),是弦的中點(diǎn),則,兩式相減得：,∵,,∴,∴,∴直線的斜率又,所以,化簡(jiǎn)得：,所以截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(三)求直線的斜率一般來說,給出弦中點(diǎn)坐標(biāo),可求弦所在直線斜率【例5】已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M,N在橢圓C上.(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求直線MN的斜率；(2)若M,N,O三點(diǎn)共線,直線NF1與橢圓C交于N,P兩點(diǎn),求△PMN面積的最大值.【解析】(1)設(shè),則,兩式相減,可得,則,解得,即直線MN的斜率為；(2)顯然直線NF1的斜率不為0,設(shè)直線NF1：,,聯(lián)立,消去x整理得,顯然,故,故△PMN的面積,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故△PMN面積的最大值為.【例6】已知橢圓上不同的三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.（1）求證：；（2）若線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為,求直線的斜率.【解析】（1）證 略.（2）解 ,設(shè)線段的中點(diǎn)為.又在橢圓上,,（1）,（2）得：,.直線的斜率,直線的方程為.令,得,即,直線的斜率.(四)點(diǎn)差法在軸對(duì)稱中的應(yīng)用【例7】（2023屆江蘇省南京市建鄴區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)合統(tǒng)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱【例8】已知橢圓過點(diǎn)，直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在兩點(diǎn)，使得關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的范圍．【解析】（1）設(shè)，則，即．因?yàn)锳，B在橢圓C上，所以，兩式相減得，即，又，所以，即．又因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)镻，Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以且點(diǎn)N在直線l上，即．又因?yàn)镻，Q在橢圓C上，所以．兩式相減得．即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓C內(nèi)，所以，所以所以實(shí)數(shù)的范圍為．(五)利用點(diǎn)差法可推導(dǎo)的結(jié)論在橢圓中,若直線l與該橢圓交于點(diǎn),點(diǎn)為弦AB中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則,對(duì)于雙曲線、拋物線也有類似結(jié)論,求自行總結(jié).【證明】設(shè)且,則,（1）,（2）得：,,.又,,（定值）.【例9】（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點(diǎn)為A,直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn),且P、Q均不是雙曲線的頂點(diǎn),M為PQ的中點(diǎn)．(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2,求k1·k2的值；(2)若＝,試探究直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則,說明理由．【解析】(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),因?yàn)镻、Q在雙曲線上,所以－＝1,－＝1,兩式作差得－＝0,即＝,即＝,即k1·k2＝；(2)因?yàn)椋?所以APQ是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,即AP⊥AQ；①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l：x＝t,代入－＝1得,y＝±b,由|t－a|＝b得,(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0,即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0,得t＝或a(舍),故直線l的方程為x＝；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l：y＝kx＋m,代入－＝1,得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0,Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1＋x2＝,x1x2＝－；因?yàn)锳P⊥AQ,所以·＝0,即(x1－a,y1)·(x2－a,y2)＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0,即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0,即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0,即＝0,即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0,即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0,所以k＝－或k＝－；當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－x＋m,此時(shí)經(jīng)過A,舍去；當(dāng)k＝－時(shí),直線l的方程為y＝－x＋m,恒過定點(diǎn)(,0),經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意；綜上①②,直線l過定點(diǎn)(,0)．三、跟蹤檢測(cè)1．已知橢圓為右焦點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為，聯(lián)立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因?yàn)镼為三條中垂線的交點(diǎn)，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點(diǎn)，故．（2）設(shè)，中點(diǎn)M坐標(biāo)為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當(dāng)t變化時(shí)，為定值．2．（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為D，斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，直線l恰好經(jīng)過D點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)當(dāng)l不過點(diǎn)D時(shí)，若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù)，求k的取值范圍.【解析】（1）由題意知，離心率，所以，設(shè)，兩式相減得，所以；所以直線為，即，所以，橢圓方程為；（2）設(shè)直線為，由得，則，，，所以，解得，，因?yàn)閘不過D點(diǎn)，則，即則，化簡(jiǎn)得，解得，，所以或.3．已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程．【解析】（1）設(shè)弦與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即(*)，因?yàn)椋?，，所以，代入上式并化?jiǎn)得，顯然滿足方程.所以點(diǎn)P的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．（2）設(shè)，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡(jiǎn)得點(diǎn)Q的軌跡方程為（在橢圓內(nèi)部分）．所以，點(diǎn)的軌跡方程（在橢圓內(nèi)部分）.（3）在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線方程為．4．已知橢圓：（）過點(diǎn)，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為-0.5.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，橢圓上是否存在，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出，的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，，則，即．因?yàn)?，在橢圓上，所以，，兩式相減得，即，又，所以，即．又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，直線的方程為．假設(shè)橢圓上存在，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，，的中點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，關(guān)于直線對(duì)稱，所以且點(diǎn)在直線上，即．又因?yàn)?，在橢圓上，所以，，兩式相減得，即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因?yàn)?，即點(diǎn)在橢圓外，這與是弦的中點(diǎn)矛盾，所以橢圓上不存在點(diǎn)，兩點(diǎn)，使得，關(guān)于直線對(duì)稱．5．（2022屆廣東省清遠(yuǎn)市高三上學(xué)期期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若的中點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)P為l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作C的切線,切點(diǎn)為Q,試判斷F是否在以為直徑的圓上．【解析】(1)設(shè),則所以,整理得,所以．因?yàn)橹本€的方程為,所以．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離為4,所以,得,故拋物線C的方程為．(2)設(shè),可知切線的斜率存在且不為0,設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程組得,由,得,即,所以方程的根為,所以,即．因?yàn)?所以,所以,即F在以為直徑的圓上．6．（2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為1時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖,若過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,求四邊形的面積的最大值.【解析】(1)設(shè),.由題意可得∴,即,∴.∵,∴,,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)根據(jù)對(duì)稱性知,,∴四邊形是平行四邊形,又,∴問題可轉(zhuǎn)化為求的最大值.設(shè)直線的方程為,代入,得.則,,∴.令,則,且,∴.記,易知在上單調(diào)遞增.∴.∴.∴四邊形的面積的最大值是6.7．如圖,是過拋物線焦點(diǎn)F的弦,M是的中點(diǎn),是拋物線的準(zhǔn)線,為垂足,點(diǎn)N坐標(biāo)為.(1)求拋物線的方程；(2)求的面積（O為坐標(biāo)系原點(diǎn)）.【解析】(1)點(diǎn)在準(zhǔn)線上,所以準(zhǔn)線方程為：,則,解得,所以拋物線的方程為：；(2)設(shè),由在拋物線上,所以,則,又,所以點(diǎn)M縱坐標(biāo)為是的中點(diǎn),所以,所以,即,又知焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為：,聯(lián)立拋物線的方程,得,解得或,所以,所以.8．在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),直線：,點(diǎn)在直線上移動(dòng),是線段與軸的交點(diǎn),,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦、,設(shè)、的中點(diǎn)分別為M、N.求直線過定點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】(1)依題意,點(diǎn)在直線：上移動(dòng),令直線交x軸于點(diǎn)K,而點(diǎn),又是線段與軸的交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K不重合時(shí),,而O為FK中點(diǎn),則點(diǎn)是線段的中點(diǎn),因,則是線段的垂直平分線,,又于點(diǎn)P,即是點(diǎn)到直線的距離,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí),點(diǎn)R與點(diǎn)O重合,也滿足上述結(jié)論,于是有點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)Q到直線l的距離,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為：,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.(2)顯然直線與直線的斜率都存在,且不為0,設(shè)直線AB的方程為,,令,,,由兩式相減得：,則,即,代入方程,解得,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,而,直線方程為,同理可得：N的坐標(biāo)為,當(dāng),即時(shí),直線：,當(dāng)且時(shí),直線的斜率為,方程為,整理得,因此,,直線：過點(diǎn),所以直線恒過定點(diǎn).9．中心在原點(diǎn)的雙曲線焦點(diǎn)在軸上且焦距為,請(qǐng)從下面3個(gè)條件中選擇1個(gè)補(bǔ)全條件,并完成后面問題：①該曲線經(jīng)過點(diǎn)；②該曲線的漸近線與圓相切；③點(diǎn)在該雙曲線上,、為該雙曲線的焦點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí),恰好.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過定點(diǎn)能否作直線,使與此雙曲線相交于、兩點(diǎn),且是弦的中點(diǎn)？若存在,求出的方程；若不存在,說明理由.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選①：由題意可知,雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,由雙曲線的定義可得,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選②：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑為,雙曲線的漸近線方程為,由題意可得,解得,即,因?yàn)?則,,因此,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.選③：由勾股定理可得,所以,,則,則,故,所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)假設(shè)滿足條件的直線存在,設(shè)點(diǎn)、,則,由題意可得,兩式作差得,所以,直線的斜率為,所以,直線的方程為,即.聯(lián)立,整理可得,,因此,直線不存在.10．己知橢圓的焦距為,短軸長(zhǎng)為2,直線l過點(diǎn)且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為1,求弦的長(zhǎng)；(3)若過點(diǎn)的直線與橢圓C交于E、G兩點(diǎn),且Q是弦的中點(diǎn),求直線的方程．【解析】(1)依題意,橢圓C的半焦距,而,則,所以橢圓C的方程為：.(2)設(shè),依題意,直線l的方程為：,由消去y并整理得：,解得,