2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題11拋物線中的切線問(wèn)題含答案及解析

專題11拋物線中的切線問(wèn)題一、考情分析對(duì)于拋物線特別是拋物線,可以化為函數(shù),從而可以借組導(dǎo)數(shù)研究求性質(zhì),這種關(guān)聯(lián)使得可以把拋物線與導(dǎo)數(shù)的幾何意義交匯,這是圓錐曲線中的一大亮點(diǎn),也是圓錐曲線解答題的一個(gè)熱點(diǎn).二、解題秘籍(一)利用判別式求解拋物線中的切線問(wèn)題求解直線拋物線相切問(wèn)題,可以把直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成一個(gè)一元二次方程,然后利用求解.【例1】（2023屆河南省新未來(lái)高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線C：,直線,都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)兩條直線與拋物線相切時(shí),兩切點(diǎn)間的距離為4．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線,分別與拋物線C依次交于點(diǎn)E,F和G,H,直線EH,FG與拋物線準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)A,B,證明：．【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為：,由消去y,得,,當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),,∵,∴,所以,解得,∴切點(diǎn)為,又∵兩切點(diǎn)間的距離為4,∴,即,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn),,,,設(shè)直線：,直線：,聯(lián)立消去,得,則,同理,,故,,直線EH的方程為,令,得,整理得,同理,,所以,∴．(二)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解拋物線中的切線問(wèn)題求解拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程,可先把化為,則,則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,切線方程為.【例2】（2023屆湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）在直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,當(dāng)在軸上時(shí),.(1)求拋物線的方程；(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.【解析】（1）當(dāng)在軸上時(shí),即,由題意不妨設(shè)則,設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為,與聯(lián)立得,由直線和拋物線相切可得,,所以由得,∴,,由可得,解得,∴拋物線的方程為；（2）,∴,設(shè),,則,又,所以即,同理可得,又為直線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則,,由兩點(diǎn)確定一條直線可得的方程為,即,∴直線恒過(guò)定點(diǎn),∴點(diǎn)到直線距離的最大值為.(三)拋物線中與切線有關(guān)的性質(zhì)過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線,則(1)切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上(2)切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對(duì)稱軸(3)切線交點(diǎn)與焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)連線垂直(4)切線交點(diǎn)與焦點(diǎn)連線與焦點(diǎn)弦垂直(5)弦AB不過(guò)焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí),切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對(duì)稱軸．反之：(1)過(guò)拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,則過(guò)兩切點(diǎn)的弦必過(guò)焦點(diǎn),該點(diǎn)與焦點(diǎn)連線垂直于過(guò)兩切點(diǎn)的弦(2)過(guò)準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,過(guò)兩切點(diǎn)的弦最短時(shí),即為通徑．【例3】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),,是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí),．(1)求拋物線C的方程；(2)證明：．【解析】（1）由題意,,當(dāng)軸時(shí),將代入有,解得,又故,解得.故拋物線C的方程為.（2）由（1）,設(shè),直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程有,故.又拋物線方程,故,故切線的方程為,即,同理可得切線的方程為,聯(lián)立可得,解得,代入有,代入韋達(dá)定理可得.故當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),因?yàn)?故,也滿足.故恒成立.又,故.所以,,故,故,故,即,即得證.【例4】已知直線過(guò)原點(diǎn),且與圓交于,兩點(diǎn),,圓與直線相切,與直線垂直,記圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過(guò)直線上任一點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,證明：①直線過(guò)定點(diǎn)；②．【解析】（1）如圖,設(shè),因?yàn)閳A與直線相切,所以圓Ａ的半徑為．由圓的性質(zhì)可得,即,化簡(jiǎn)得．因?yàn)榕c不重合,所以,所以的方程為．（2）證明：①由題意可知,與不重合．如圖,設(shè),,則,因?yàn)?所以切線的斜率為,故,整理得．設(shè),同理可得．所以直線的方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn)．②因?yàn)橹本€的方程為,由消去得,所以,．又,所以．三、跟蹤檢測(cè)1.（2023屆云南省名校高三上學(xué)期月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與E相切于點(diǎn)A.(1)當(dāng),時(shí),求E的方程；(2)若直線與l平行,與E交于B,C兩點(diǎn),且,設(shè)點(diǎn)F到的距離為,到l的距離為,試問(wèn)：是否為定值？若是,求出定值；若不是,說(shuō)明理由.2.（2023屆河南省北大公學(xué)禹州國(guó)際學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸的正半軸上,直線l：經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線,兩條切線相交于點(diǎn)P,求△ABP面積的最小值．3．（2022屆浙江省紹興市高三上學(xué)期12月選考）已知拋物線的焦點(diǎn)是,如圖,過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別是和,線段的中點(diǎn)為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線軸；（3）以線段為直徑作圓,交直線于,求的取值范圍．4．（2022屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末）已知拋物線E：（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A、B分別作拋物線的切線、,且、的交點(diǎn)為Q,、與y軸的交點(diǎn)分別為M、N．求面積的取值范圍．5.（2022屆百校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知曲線C上任意一點(diǎn)到,距離之和為,拋物線E：的焦點(diǎn)是點(diǎn).（1）求曲線C和拋物線E的方程；（2）點(diǎn)是曲線C上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q分別作拋物線E的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,求的面積的取值范圍．6．（2022屆四川省達(dá)州高三上學(xué)期診斷）過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)圓始終與直線：相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線分別交軸于B,D兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo).7．（2022屆四川省成都市高三上學(xué)期考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為.且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為.（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)在圓上,,是的兩條切線.,是切點(diǎn),求面積的最大值.8．（2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期中）已知拋物線：的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè),是拋物線上的不同兩點(diǎn),且軸,直線與軸交于點(diǎn),再在軸上截取線段,且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間,連接,過(guò)點(diǎn)作直線的平行線,證明是拋物線的切線.9.已知拋物線,點(diǎn)在拋物線C上,過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的切線,交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交線段OM于點(diǎn)Q,記EA,EB,EQ的斜率分別為,,,是否存在常數(shù)使得．若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．10．如圖,已知為二次函數(shù)的圖像上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn).(1)利用拋物線的定義證明：曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上,并指出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：成等差數(shù)列,成等比數(shù)列；(3)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,過(guò)作垂直準(zhǔn)線,垂足為,求證：.11．已知拋物線上的任意一點(diǎn)到的距離比到x軸的距離大1．(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,求重心G的軌跡方程．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)Q,且的面積為2．(1)求拋物線的方程．(2)若斜率不為0的直線l過(guò)焦點(diǎn)F,且交拋物線C于A,B兩點(diǎn),線段AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)M,證明：為定值．13．（2022屆新未來(lái)4月聯(lián)考）已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)且與拋物線C相切的兩條直線相交于點(diǎn)D,當(dāng)直線軸時(shí),．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值．14．過(guò)原點(diǎn)O的直線與拋物線C：（）交于點(diǎn)A,線段OA的中點(diǎn)為M,又點(diǎn),．在下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線處,并解答下列問(wèn)題：①,②；③的面積為．（1）______,求拋物線C的方程；（2）在（1）的條件下,過(guò)y軸上的動(dòng)點(diǎn)B作拋物線C的切線,切點(diǎn)為Q（不與原點(diǎn)O重合）,過(guò)點(diǎn)B作直線l與OQ垂直,求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分．15．已知拋物線,其焦點(diǎn)為F,拋物線上有相異兩點(diǎn),．（1）若軸,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求拋物線方程；（2）若,且,線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)C,求面積的最大值．16．設(shè)拋物線：（）的焦點(diǎn)為,點(diǎn)（）在拋物線上,且滿足．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),分別以,為切點(diǎn)的拋物線的兩條切線交于點(diǎn),求三角形周長(zhǎng)的最小值．17．已知圓與定直線,且動(dòng)圓與圓外切并與直線相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）已知點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軌跡的兩條切線,切點(diǎn)分別為、.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求證：.18.設(shè)拋物線：,其焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)為上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且,.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為外的一點(diǎn)且點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上,過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,連接,,證明：直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.

專題11拋物線中的切線問(wèn)題一、考情分析對(duì)于拋物線特別是拋物線,可以化為函數(shù),從而可以借組導(dǎo)數(shù)研究求性質(zhì),這種關(guān)聯(lián)使得可以把拋物線與導(dǎo)數(shù)的幾何意義交匯,這是圓錐曲線中的一大亮點(diǎn),也是圓錐曲線解答題的一個(gè)熱點(diǎn).二、解題秘籍(一)利用判別式求解拋物線中的切線問(wèn)題求解直線拋物線相切問(wèn)題,可以把直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成一個(gè)一元二次方程,然后利用求解.【例1】（2023屆河南省新未來(lái)高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線C：,直線,都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．當(dāng)兩條直線與拋物線相切時(shí),兩切點(diǎn)間的距離為4．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線,分別與拋物線C依次交于點(diǎn)E,F和G,H,直線EH,FG與拋物線準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)A,B,證明：．【解析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線為：,由消去y,得,,當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),,∵,∴,所以,解得,∴切點(diǎn)為,又∵兩切點(diǎn)間的距離為4,∴,即,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)點(diǎn),,,,設(shè)直線：,直線：,聯(lián)立消去,得,則,同理,,故,,直線EH的方程為,令,得,整理得,同理,,所以,∴．(二)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解拋物線中的切線問(wèn)題求解拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程,可先把化為,則,則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,切線方程為.【例2】（2023屆湖南省三湘名校教育聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）在直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,當(dāng)在軸上時(shí),.(1)求拋物線的方程；(2)求點(diǎn)到直線距離的最大值.【解析】（1）當(dāng)在軸上時(shí),即,由題意不妨設(shè)則,設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為,與聯(lián)立得,由直線和拋物線相切可得,,所以由得,∴,,由可得,解得,∴拋物線的方程為；（2）,∴,設(shè),,則,又,所以即,同理可得,又為直線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則,,由兩點(diǎn)確定一條直線可得的方程為,即,∴直線恒過(guò)定點(diǎn),∴點(diǎn)到直線距離的最大值為.(三)拋物線中與切線有關(guān)的性質(zhì)過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)作拋物線的切線,則(1)切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上(2)切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線平行于對(duì)稱軸(3)切線交點(diǎn)與焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)連線垂直(4)切線交點(diǎn)與焦點(diǎn)連線與焦點(diǎn)弦垂直(5)弦AB不過(guò)焦點(diǎn)即切線交點(diǎn)P不在準(zhǔn)線上時(shí),切線交點(diǎn)與弦中點(diǎn)的連線也平行于對(duì)稱軸．反之：(1)過(guò)拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,則過(guò)兩切點(diǎn)的弦必過(guò)焦點(diǎn),該點(diǎn)與焦點(diǎn)連線垂直于過(guò)兩切點(diǎn)的弦(2)過(guò)準(zhǔn)線上任一點(diǎn)作拋物線的切線,過(guò)兩切點(diǎn)的弦最短時(shí),即為通徑．【例3】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),,是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn)．當(dāng)軸時(shí),．(1)求拋物線C的方程；(2)證明：．【解析】（1）由題意,,當(dāng)軸時(shí),將代入有,解得,又故,解得.故拋物線C的方程為.（2）由（1）,設(shè),直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程有,故.又拋物線方程,故,故切線的方程為,即,同理可得切線的方程為,聯(lián)立可得,解得,代入有,代入韋達(dá)定理可得.故當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),因?yàn)?故,也滿足.故恒成立.又,故.所以,,故,故,故,即,即得證.【例4】已知直線過(guò)原點(diǎn),且與圓交于,兩點(diǎn),,圓與直線相切,與直線垂直,記圓心的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）過(guò)直線上任一點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,證明：①直線過(guò)定點(diǎn)；②．【解析】（1）如圖,設(shè),因?yàn)閳A與直線相切,所以圓Ａ的半徑為．由圓的性質(zhì)可得,即,化簡(jiǎn)得．因?yàn)榕c不重合,所以,所以的方程為．（2）證明：①由題意可知,與不重合．如圖,設(shè),,則,因?yàn)?所以切線的斜率為,故,整理得．設(shè),同理可得．所以直線的方程為,所以直線過(guò)定點(diǎn)．②因?yàn)橹本€的方程為,由消去得,所以,．又,所以．三、跟蹤檢測(cè)1.（2023屆云南省名校高三上學(xué)期月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與E相切于點(diǎn)A.(1)當(dāng),時(shí),求E的方程；(2)若直線與l平行,與E交于B,C兩點(diǎn),且,設(shè)點(diǎn)F到的距離為,到l的距離為,試問(wèn)：是否為定值？若是,求出定值；若不是,說(shuō)明理由.【解析】（1）由得,則,令,則,即,則,所以,故拋物線E的方程為.（2）設(shè),,,則切線l的斜率,則切線l的方程為：,即,.直線的方程為,化簡(jiǎn)得,因?yàn)?所以,由得,則,即,即.由,則,,所以.故是定值,定值為3.2.（2023屆河南省北大公學(xué)禹州國(guó)際學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸的正半軸上,直線l：經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線,兩條切線相交于點(diǎn)P,求△ABP面積的最小值．【解析】（1）由題意,設(shè)拋物線C的方程為,因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò),即拋物線C的焦點(diǎn),所以,解得,所以拋物線C的方程為.（2）設(shè)?,聯(lián)立方程組,整理得,因?yàn)?且,,,所以,由,可得,則,所以拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程是,將代入上式整理得,同理可得拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為,聯(lián)立方程組,解得,所以,所以到直線的距離,所以的面積,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),,所以面積的最小值為.3．（2022屆浙江省紹興市高三上學(xué)期12月選考）已知拋物線的焦點(diǎn)是,如圖,過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別是和,線段的中點(diǎn)為．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線軸；（3）以線段為直徑作圓,交直線于,求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為,由題意可得,所以,所以拋物線方程.（2）由（1）,因?yàn)?設(shè),直線的方程為,直線的方程為,聯(lián)立上述兩直線方程,得點(diǎn)坐標(biāo),又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)?所以直線軸：（3）因?yàn)辄c(diǎn),所以,則,圓心,直線的斜率為,直線方程為,,得,,,圓心到直線的距離為,半徑,,令,在時(shí)單調(diào)遞減,．4．（2022屆山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末）已知拋物線E：（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A、B分別作拋物線的切線、,且、的交點(diǎn)為Q,、與y軸的交點(diǎn)分別為M、N．求面積的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2,由拋物線的定義知解得（2）由上問(wèn)可知,拋物線方程E：設(shè),,（,）,設(shè)l：,聯(lián)立,得,判別式,故R,設(shè)：聯(lián)立方程組,消x得,所以所以則：,即,令,得,同理：,,聯(lián)立,得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為,∴∴面積的取值范圍是．5.（2022屆百校聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）已知曲線C上任意一點(diǎn)到,距離之和為,拋物線E：的焦點(diǎn)是點(diǎn).（1）求曲線C和拋物線E的方程；（2）點(diǎn)是曲線C上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q分別作拋物線E的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,求的面積的取值范圍．【解析】（1）依題意,曲線C是以,為左右焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,則短半軸長(zhǎng)有,曲線C的方程為：,即,在中,,即,所以曲線C的方程為：,拋物線E的方程為：.（2）顯然,過(guò)點(diǎn)Q的拋物線E的切線斜率存在且不為0,設(shè)切線方程為：,由消去x并整理得：,依題意,,設(shè)二切線斜率為,則,,設(shè)斜率為的切線所對(duì)切點(diǎn),斜率為的切線所對(duì)切點(diǎn),因此,,,于是得,,,直線MN上任意點(diǎn),,由得：,化簡(jiǎn)整理得：,則直線MN的方程為：,點(diǎn)Q到直線MN的距離,,則的面積,而點(diǎn)在曲線C上,即,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,于是有,則,有所以的面積的取值范圍是.6．（2022屆四川省達(dá)州高三上學(xué)期診斷）過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)圓始終與直線：相切.（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）動(dòng)點(diǎn)在直線上,過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線分別交軸于B,D兩點(diǎn),當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為,因?yàn)檫^(guò)定點(diǎn)的動(dòng)圓始終與直線：相切,可得,化簡(jiǎn)得,即動(dòng)圓圓心的軌跡方程：.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn),根據(jù)題意過(guò)點(diǎn)A作曲線C的切線斜率存在,設(shè)為,所以切線方程為,聯(lián)立方程組,整理得,且,因?yàn)橛袃刹坏葘?shí)根,所以有兩條切線,斜率分別設(shè)為,,所以,,切線交軸于點(diǎn),切線交軸于點(diǎn),所以,即,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.7．（2022屆四川省成都市高三上學(xué)期考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為.且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為.（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)在圓上,,是的兩條切線.,是切點(diǎn),求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為,,所以,與圓上點(diǎn)的距離的最小值為,解得；所以拋物線的方程為.（2）拋物線的方程為,即,對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得,設(shè)點(diǎn),,,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn),則,所以,點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程,所以,直線的方程為,聯(lián)立,可得,由韋達(dá)定理可得,,所以點(diǎn)到直線的距離為,所以,,,由已知可得,所以,當(dāng)時(shí),的面積取最大值.8．（2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期中）已知拋物線：的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè),是拋物線上的不同兩點(diǎn),且軸,直線與軸交于點(diǎn),再在軸上截取線段,且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間,連接,過(guò)點(diǎn)作直線的平行線,證明是拋物線的切線.【解析】（1）解：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,,聯(lián)立,得,則,所以,,因?yàn)?所以,化簡(jiǎn)得,所以,當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),則,故,又因?yàn)?則,所以,綜上所述,,所以；（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,則,設(shè)直線PQ的方程為,,聯(lián)立,消元整理得,則,即故,即,當(dāng)時(shí),,則,又因,且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間,則為的中點(diǎn),所以,則直線的斜率為,因?yàn)橹本€平行直線,所以直線的斜率為,故直線的方程為,即,聯(lián)立,消元整理得,,所以直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),有直線l斜率不為0,所以是拋物線的切線.9.已知拋物線,點(diǎn)在拋物線C上,過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的切線,交x軸于點(diǎn)P,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交線段OM于點(diǎn)Q,記EA,EB,EQ的斜率分別為,,,是否存在常數(shù)使得．若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)樵趻佄锞€C上,所以,所以所以拋物線C的方程為,即,則,所以切線的斜率為,所以過(guò)點(diǎn)M的切線方程為,即聯(lián)立,解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由題意可知過(guò)點(diǎn)的直線的斜率存在,設(shè)為,線段所在的直線為,聯(lián)立,解得Q點(diǎn)坐標(biāo)為,所以設(shè),,聯(lián)立,得,所以,．則所以,即存在滿足條件．10．如圖,已知為二次函數(shù)的圖像上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn).(1)利用拋物線的定義證明：曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上,并指出這條拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：成等差數(shù)列,成等比數(shù)列；(3)設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,過(guò)作垂直準(zhǔn)線,垂足為,求證：.【解析】（1）證明：令,直線：,曲線上任意一點(diǎn),又,則點(diǎn)到直線的距離,則,即曲線上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線：的距離相等,且點(diǎn)不在直線：上,所以曲線上的每一個(gè)點(diǎn)都在一條拋物線上,拋物線的方程即為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為；（2）解：對(duì)于,則,所以,,即過(guò)點(diǎn)、的切線方程分別為、,又,,所以、,由,解得,即,即,,又,所以、、成等差數(shù)列,、、成等比數(shù)列；（3）解：由（2）可知,,,所以,如圖,設(shè),,與軸分別交于點(diǎn)、、,則,,,又,,所以,,即,所以；11．已知拋物線上的任意一點(diǎn)到的距離比到x軸的距離大1．(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,求重心G的軌跡方程．【解析】（1）由拋物線的定義可得,∴拋物線的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在,設(shè)其為k,設(shè),則直線的方程為；代入拋物線方程得,則有,∵,∴,∴,即①同理可得②,①-②有,得,∴．∴又,設(shè),則,消k得,所以G的軌跡方程為．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),拋物線C在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)Q,且的面積為2．(1)求拋物線的方程．(2)若斜率不為0的直線l過(guò)焦點(diǎn)F,且交拋物線C于A,B兩點(diǎn),線段AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)M,證明：為定值．【解析】（1）將代入得,設(shè)拋物線的切線方程為,代入整理得：由題知,解得又,所以所以,解得所以拋物線的方程為（2）記AB中點(diǎn)為N,設(shè)直線AB方程為,代入整理得：,則所以因?yàn)镹為AB中點(diǎn),所以,所以直線MN的方程為則所以所以13．（2022屆新未來(lái)4月聯(lián)考）已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)且與拋物線C相切的兩條直線相交于點(diǎn)D,當(dāng)直線軸時(shí),．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最小值．【解析】（1）當(dāng)直線軸時(shí),,代入解得,∴,得,∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)．聯(lián)立得．∴①,∵直線恒過(guò)點(diǎn),且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,∴,當(dāng)直線和直線斜率存在時(shí),設(shè)直線,聯(lián)立∴,,∴,∴,同理,設(shè)直線,則,聯(lián)立∴由①可知,∴,即,∴點(diǎn)D在直線上．當(dāng)直線或直線斜率不存在時(shí),即直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí),,過(guò)原點(diǎn)的切線方程為,易知另外一點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)為,聯(lián)立,得,,解得,即切線方程．此時(shí)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為,在直線上,故的最小值為原點(diǎn)到直線的距離,即．14．過(guò)原點(diǎn)O的直線與拋物線C：（）交于點(diǎn)A,線段OA的中點(diǎn)為M,又點(diǎn),．在下面給出的三個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線處,并解答下列問(wèn)題：①,②；③的面積為．（1）______,求拋物線C的方程；（2）在（1）的條件下,過(guò)y軸上的動(dòng)點(diǎn)B作拋物線C的切線,切點(diǎn)為Q（不與原點(diǎn)O重合）,過(guò)點(diǎn)B作直線l與OQ垂直,求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）由題意知直線OA的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為,由得或即,所以線段OA的中點(diǎn)．因?yàn)?所以直線PM的斜率存在,．所以,解得,所以直線OA的方程為,．若選①,不妨令,由,得,解得（舍去）,所以拋物線C的方程為．若選②,因?yàn)?,所以點(diǎn)P到直線OA的距離為,即,解得（舍去）,所以拋物線C的方程為．若選③,不妨令,因?yàn)?點(diǎn)P到直線OA的距離,所以,解得（舍去）,所以拋物線C的方程為．（2）由題意可知切線BQ的斜率存在且不為0．設(shè),切線BQ的方程為,由得,（*）所以,解得,所以方程（*）的根為,代入得,所以切點(diǎn),于是,則,所以直線l的方程為,即,所以當(dāng)b變化時(shí),直線l恒過(guò)定點(diǎn)．15．已知拋物線,其焦點(diǎn)為F,拋物線上有相異兩點(diǎn),．（1）若軸,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),求拋物線方程；（2）若,且,線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)C,求面積的最大值．【解析】（1）拋物線,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)?所以,所以,又,所以,所