2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題1圓錐曲線的方程與軌跡方程含答案及解析

專題1圓錐曲線的方程與軌跡方程一、考情分析求圓錐曲線的方程,一般出現(xiàn)在圓錐曲線解答題的第（1）問,多用待定系數(shù)法,通過解方程確定待定系數(shù),考查頻率非常高,也比較容易得分；求圓錐曲線的軌跡方程一般用定義法,有時可用到直接法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法等,難度一般中等或中等以下.二、解題秘籍(一)用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定,要考慮是否有兩解,有時為了解題方便,也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,注意焦點(diǎn)F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值,當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定時,為了避免討論焦點(diǎn)的位置,常設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡化運(yùn)算.3.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.(2)求參數(shù)p的值.(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例1】（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知點(diǎn)在橢圓：（）上,且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由．【解析】（1）點(diǎn),在橢圓：（）上代入得：,點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為,則,解得,,故橢圓的方程為．（2）由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為（）,,,．聯(lián)立得．．∴,,∵直線與直線斜率之積為．∴,∴．化簡得,∴,化簡得,解得或．當(dāng)時,直線方程為,過定點(diǎn)．代入判別式大于零中,解得（）．當(dāng)時,直線的方程為,過定點(diǎn),不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)評】利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,一般需要兩個獨(dú)立的條件確定關(guān)于的等式.【例2】（2023屆廣東省開平市忠源紀(jì)念中學(xué)高三階段性檢測）已知雙曲線的離心率為,點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,化簡得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得,解得,所以的方程為.（2）設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程組消去得（1-,由題可知且,即且,所以.設(shè)存在符合條件的定點(diǎn),則,所以.所以,化簡得.因?yàn)闉槌?shù),所以,解得.此時該常數(shù)的值為,所以,在軸上存在點(diǎn),使得為常數(shù),該常數(shù)為.【點(diǎn)評】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值．注意用待定系數(shù)法確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意方程的個數(shù)要與未知數(shù)的個數(shù)相等.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學(xué)期診斷）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)在拋物線C上,過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于,兩點(diǎn),點(diǎn)H與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱,直線AH分別與直線OE,OB交于點(diǎn)M,N(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證：.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得,,解得.由拋物線的定義可得,整理得,解得或(舍去).故拋物線C的方程為.（2）由在拋物線C上可得,解得,所以,直線OE的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以,均不為0.由題意知直線l的斜率存在且大于0,設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立消去y,得.則,得,所以,.由直線OE的方程為,得.易知直線OB的方程為,故.要證,即證,即證,即證,即證,則,此等式顯然成立,所以.【點(diǎn)評】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,只需要確定p的值,因此只需要由已知條件整理出一個關(guān)于p的等式.(二)直接法求曲線軌跡方程1.直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟,但最后的證明可以省略．2.求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性．3.對方程化簡時,要保證前后方程解集相同,必要時可說明x,y的取值范圍．【例4】設(shè)動點(diǎn)在直線和上的射影分別為點(diǎn)和,已知,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過直線上的一點(diǎn)作軌跡的兩條切線和(,為切點(diǎn)),求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【分析】（1）利用直接法求軌跡方程,設(shè),把坐標(biāo)化,即可得到動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線斜率,設(shè),可得切線、的方程,聯(lián)立可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為,又點(diǎn)在直線上,代入可得,再代入到直線的方程即可得解.【解析】（1）設(shè),則,所以,由條件可得,整理可得點(diǎn)的軌方程為；（2）由（1）知,,求導(dǎo)可得,設(shè),則切線的方程為,即①,同理可得切線的方程為②,聯(lián)立①②,解得點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,即,又直線的斜率,所以直線的方程為：,即,又,代入可得,所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)評】利用直接法求曲線的軌跡方程一般是根據(jù)題中的一個等量關(guān)系式,將其坐標(biāo)化,即可得到曲線的軌跡方程.(三)定義法求曲線軌跡方程1.運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程．2.定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解．3.平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：(1)若a>c,則集合P為橢圓；(2)若a＝c,則集合P為線段；(3)若a<c,則集合P為空集．4.平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時,P點(diǎn)不存在．5.平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：(1)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點(diǎn),一條定直線及一個確定的比值.【例5】（2023屆河北省示范性高中高三上學(xué)期調(diào)研）已知圓A：,直線l（與x軸不重合）過點(diǎn)交圓A于C、D兩點(diǎn),過點(diǎn)B作直線的平行線交直線于點(diǎn)E.(1)證明為定值,并求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為,直線l與曲線交于M、N兩點(diǎn),線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P,是否存在實(shí)常數(shù)入,使得,若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）,得,當(dāng)時,如圖1所示,因?yàn)镈,C都在圓A上所以,即又因?yàn)?所以,所以,∴,所以當(dāng)時,如圖2所示,同理可得,因此,所以點(diǎn)E的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線,故,,即,,所以,∴為定值2,且點(diǎn)E的軌跡方程為.（2）由題知,直線l的斜率不為0,設(shè)l：,聯(lián)立消去x得,,于是,設(shè),,則有,,故,所以線段的中點(diǎn)為,從而線段的中垂線的方程為令得,,∴又故,于是即存在使得.【點(diǎn)評】利用雙曲線定義求軌跡方程,關(guān)鍵是利用題中條件,確定動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值.【例6】已知一定點(diǎn),及一定直線l：,以動點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切．（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）設(shè)P在直線l上,直線PA,PB分別與曲線C相切于A,B,N為線段AB的中點(diǎn)．求證：,且直線AB恒過定點(diǎn)．【解析】（1）動點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切,動圓圓心到定點(diǎn)F（0,1）與定直線y=-1的距離相等,

∴動圓圓心的軌跡為拋物線,其中F（0,1）為焦點(diǎn),y=-1為準(zhǔn)線,,∴動圓圓心軌跡方程為x2=4y．（2）依題意可設(shè),又故切線的斜率為,故切線同理可得到切線又,∴且,故方程有兩根∴,又為線段的中點(diǎn),又由得到：即同理可得到,故直線AB方程為：,故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)評】利用拋物線定義求軌跡方程關(guān)鍵是確定動點(diǎn)到一定點(diǎn)與定直線距離相等.(四)相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝fx，y，,y1＝gx，y；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程．【例7】（2023屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)．(1)求的重心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心,求證：．【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）設(shè),則有又,所以,即的重心的軌跡方程為；（2）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,利用等面積法有：結(jié)合橢圓定義：有,解得由?兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線的方程為根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有∴,∴∴,又化簡得,即∴,即由已知得,,則所以,即．(五)交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.【例8】（2022屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知拋物線,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),以為切點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn).（1）若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求直線的方程；（2）求動點(diǎn)的軌跡.【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線,根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)求出k即可；（2）寫出圓的切線方程,根據(jù)P是交點(diǎn)可得是方程的兩根,由（1）中代入化簡即可求出.【解析】（1）依題意有：直線的斜率必存在,故可設(shè)直線的方程為由可得：.設(shè),則有于是：,解得,故直線的方程為（2）設(shè),對于拋物線,于是：點(diǎn)處切線方程為,點(diǎn)在該切線上,故,即.同理：點(diǎn)坐標(biāo)也滿足于是：是方程的兩根,所以又由（1）可知：,于是,消k得,于是的軌跡方程為,點(diǎn)的軌跡是一條直線.【點(diǎn)評】求兩條動直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法三、跟蹤檢測1．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月階段測試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓的內(nèi)部,半徑為．,分別為橢圓和圓上的動點(diǎn),且,兩點(diǎn)的最小距離為．(1)求橢圓的方程；(2),是橢圓上不同的兩點(diǎn),且直線與以為直徑的圓的一個交點(diǎn)在圓上．求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)．2．（2023屆山西省忻州市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知雙曲線的離心率是,點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn),且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ),證明：.3．（2023屆廣東省茂名市高三上學(xué)期9月大聯(lián)考）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn),動點(diǎn)滿足,又點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過曲線上的點(diǎn)（）的直線與,軸的交點(diǎn)分別為和,且,過原點(diǎn)的直線與平行,且與曲線交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.4．（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期適應(yīng)性考試）點(diǎn)在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點(diǎn)（異于點(diǎn)）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).5．（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為為一動點(diǎn),點(diǎn)滿足向量關(guān)系式：．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)(在的左側(cè)),點(diǎn)為上一動點(diǎn)(且不與重合)．設(shè)直線軸與直線分別交于點(diǎn),取,連接,證明：為的角平分線．6．（2023屆云南省大理市轄區(qū)高三統(tǒng)一檢測）已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為其上一點(diǎn),且．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)R,試問的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值；若不存在,請說明理由．7．（2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)滿足,求直線斜率的最大值．8．（2023屆陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)、渭北中學(xué)等高三上學(xué)期聯(lián)考）已知拋物線,O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是C的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),,．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上,過Q作兩條互相垂直的直線,分別交C于A,B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．9．（2023屆廣東省潮陽實(shí)驗(yàn)、湛江一中、深圳實(shí)驗(yàn)三校高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,橢圓上一動點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,直線交橢圓于兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.①求證：直線恒過定點(diǎn)；②設(shè)和的面積分別為,求的最大值.10．（2022屆云南省紅河州高三檢測）在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓上的一個動點(diǎn).以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓與線段交于點(diǎn),作軸于點(diǎn),作于點(diǎn).（1）令,若,,,求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的軌跡為曲線,求曲線的方程；（3）設(shè)（2）中的曲線與軸的正半軸交于點(diǎn),與軸的正負(fù)半軸分別交于點(diǎn),,若點(diǎn)?分別滿足,,證明直線和的交點(diǎn)在曲線上.11.（2022屆廣東省六校高三上學(xué)期聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓：,,動圓經(jīng)過點(diǎn)且與圓相外切,記動圓的圓點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）試問,在軸上是否存在點(diǎn),使得過點(diǎn)的動直線交于,兩點(diǎn)時,恒有？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由.12.（2022屆廣東省高三上學(xué)期12月大聯(lián)考）已知圓的圓心為,點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）不過原點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在拋物線上,求直線的斜率的取值范圍.

專題1圓錐曲線的方程與軌跡方程一、考情分析求圓錐曲線的方程,一般出現(xiàn)在圓錐曲線解答題的第（1）問,多用待定系數(shù)法,通過解方程確定待定系數(shù),考查頻率非常高,也比較容易得分；求圓錐曲線的軌跡方程一般用定義法,有時可用到直接法、相關(guān)點(diǎn)法、交軌法等,難度一般中等或中等以下.二、解題秘籍(一)用待定系數(shù)法求圓錐曲線的方程1.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定形,再定量,即首先確定焦點(diǎn)所在位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定,要考慮是否有兩解,有時為了解題方便,也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0,n>0,m≠n)的形式．2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,注意焦點(diǎn)F1,F2的位置是雙曲線定位的條件,它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”,若x2項(xiàng)的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2項(xiàng)的系數(shù)為正,那么焦點(diǎn)在y軸上.確定方程的形式后,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值,當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)的位置不確定時,為了避免討論焦點(diǎn)的位置,常設(shè)雙曲線方程為Ax2＋By2＝1(A·B＜0),這樣可以簡化運(yùn)算.3.如果已知雙曲線的漸近線方程,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0),再由條件求出λ的值即可．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可表示eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．4.利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)依據(jù)條件設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.(2)求參數(shù)p的值.(3)確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【例1】（2023屆山西省長治市高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知點(diǎn)在橢圓：（）上,且點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn),是橢圓上不同的兩點(diǎn)（均異于）且滿足直線與斜率之積為．試判斷直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,說明理由．【解析】（1）點(diǎn),在橢圓：（）上代入得：,點(diǎn)到橢圓右頂點(diǎn)的距離為,則,解得,,故橢圓的方程為．（2）由題意,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為（）,,,．聯(lián)立得．．∴,,∵直線與直線斜率之積為．∴,∴．化簡得,∴,化簡得,解得或．當(dāng)時,直線方程為,過定點(diǎn)．代入判別式大于零中,解得（）．當(dāng)時,直線的方程為,過定點(diǎn),不符合題意．綜上所述：直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)評】利用待定系數(shù)法求橢圓的方程,一般需要兩個獨(dú)立的條件確定關(guān)于的等式.【例2】（2023屆廣東省開平市忠源紀(jì)念中學(xué)高三階段性檢測）已知雙曲線的離心率為,點(diǎn)在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及該常數(shù)的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,化簡得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得,解得,所以的方程為.（2）設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程組消去得（1-,由題可知且,即且,所以.設(shè)存在符合條件的定點(diǎn),則,所以.所以,化簡得.因?yàn)闉槌?shù),所以,解得.此時該常數(shù)的值為,所以,在軸上存在點(diǎn),使得為常數(shù),該常數(shù)為.【點(diǎn)評】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形,再定量,即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系,求出a,b的值．注意用待定系數(shù)法確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程要注意方程的個數(shù)要與未知數(shù)的個數(shù)相等.【例3】（2023屆甘肅省張掖市高三上學(xué)期診斷）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)在拋物線C上,過點(diǎn)的直線l與拋物線C交于,兩點(diǎn),點(diǎn)H與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱,直線AH分別與直線OE,OB交于點(diǎn)M,N(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證：.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得,,解得.由拋物線的定義可得,整理得,解得或(舍去).故拋物線C的方程為.（2）由在拋物線C上可得,解得,所以,直線OE的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱,所以,均不為0.由題意知直線l的斜率存在且大于0,設(shè)直線l的方程為,聯(lián)立消去y,得.則,得,所以,.由直線OE的方程為,得.易知直線OB的方程為,故.要證,即證,即證,即證,即證,則,此等式顯然成立,所以.【點(diǎn)評】用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,只需要確定p的值,因此只需要由已知條件整理出一個關(guān)于p的等式.(二)直接法求曲線軌跡方程1.直接法求曲線方程的關(guān)鍵就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟,但最后的證明可以省略．2.求出曲線的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性．3.對方程化簡時,要保證前后方程解集相同,必要時可說明x,y的取值范圍．【例4】設(shè)動點(diǎn)在直線和上的射影分別為點(diǎn)和,已知,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過直線上的一點(diǎn)作軌跡的兩條切線和(,為切點(diǎn)),求證：直線經(jīng)過定點(diǎn).【分析】（1）利用直接法求軌跡方程,設(shè),把坐標(biāo)化,即可得到動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線斜率,設(shè),可得切線、的方程,聯(lián)立可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為,又點(diǎn)在直線上,代入可得,再代入到直線的方程即可得解.【解析】（1）設(shè),則,所以,由條件可得,整理可得點(diǎn)的軌方程為；（2）由（1）知,,求導(dǎo)可得,設(shè),則切線的方程為,即①,同理可得切線的方程為②,聯(lián)立①②,解得點(diǎn)的坐標(biāo)為,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以,即,又直線的斜率,所以直線的方程為：,即,又,代入可得,所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)評】利用直接法求曲線的軌跡方程一般是根據(jù)題中的一個等量關(guān)系式,將其坐標(biāo)化,即可得到曲線的軌跡方程.(三)定義法求曲線軌跡方程1.運(yùn)用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程．2.定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解．3.平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：(1)若a>c,則集合P為橢圓；(2)若a＝c,則集合P為線段；(3)若a<c,則集合P為空集．4.平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時,P點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時,P點(diǎn)不存在．5.平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：(1)定直線l不經(jīng)過定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個定值,分別為一個定點(diǎn),一條定直線及一個確定的比值.【例5】（2023屆河北省示范性高中高三上學(xué)期調(diào)研）已知圓A：,直線l（與x軸不重合）過點(diǎn)交圓A于C、D兩點(diǎn),過點(diǎn)B作直線的平行線交直線于點(diǎn)E.(1)證明為定值,并求點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡方程為,直線l與曲線交于M、N兩點(diǎn),線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P,是否存在實(shí)常數(shù)入,使得,若存在,求出的值；若不存在,請說明理由.【解析】（1）,得,當(dāng)時,如圖1所示,因?yàn)镈,C都在圓A上所以,即又因?yàn)?所以,所以,∴,所以當(dāng)時,如圖2所示,同理可得,因此,所以點(diǎn)E的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線,故,,即,,所以,∴為定值2,且點(diǎn)E的軌跡方程為.（2）由題知,直線l的斜率不為0,設(shè)l：,聯(lián)立消去x得,,于是,設(shè),,則有,,故,所以線段的中點(diǎn)為,從而線段的中垂線的方程為令得,,∴又故,于是即存在使得.【點(diǎn)評】利用雙曲線定義求軌跡方程,關(guān)鍵是利用題中條件,確定動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之差的絕對值為定值.【例6】已知一定點(diǎn),及一定直線l：,以動點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切．（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）設(shè)P在直線l上,直線PA,PB分別與曲線C相切于A,B,N為線段AB的中點(diǎn)．求證：,且直線AB恒過定點(diǎn)．【解析】（1）動點(diǎn)M為圓心的圓M過點(diǎn)F,且與直線l相切,動圓圓心到定點(diǎn)F（0,1）與定直線y=-1的距離相等,

∴動圓圓心的軌跡為拋物線,其中F（0,1）為焦點(diǎn),y=-1為準(zhǔn)線,,∴動圓圓心軌跡方程為x2=4y．（2）依題意可設(shè),又故切線的斜率為,故切線同理可得到切線又,∴且,故方程有兩根∴,又為線段的中點(diǎn),又由得到：即同理可得到,故直線AB方程為：,故直線過定點(diǎn).【點(diǎn)評】利用拋物線定義求軌跡方程關(guān)鍵是確定動點(diǎn)到一定點(diǎn)與定直線距離相等.(四)相關(guān)點(diǎn)法求曲線軌跡方程“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)；(2)求關(guān)系式：求出兩個動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝fx，y，,y1＝gx，y；))(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動點(diǎn)的軌跡方程．【例7】（2023屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)．(1)求的重心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心,求證：．【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）設(shè),則有又,所以,即的重心的軌跡方程為；（2）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,利用等面積法有：結(jié)合橢圓定義：有,解得由?兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線的方程為根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有∴,∴∴,又化簡得,即∴,即由已知得,,則所以,即．(五)交軌法求曲線軌跡方程求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時,可由方程直接消去參數(shù),或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系,然后消去參數(shù)來得到軌跡方程,稱之交軌法.若動點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn),可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的軌跡方程,也可以解方程組先求出交點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程,再化為普通方程.【例8】（2022屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期月考）已知拋物線,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),以為切點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn).（1）若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求直線的方程；（2）求動點(diǎn)的軌跡.【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線,根據(jù)韋達(dá)定理及中點(diǎn)求出k即可；（2）寫出圓的切線方程,根據(jù)P是交點(diǎn)可得是方程的兩根,由（1）中代入化簡即可求出.【解析】（1）依題意有：直線的斜率必存在,故可設(shè)直線的方程為由可得：.設(shè),則有于是：,解得,故直線的方程為（2）設(shè),對于拋物線,于是：點(diǎn)處切線方程為,點(diǎn)在該切線上,故,即.同理：點(diǎn)坐標(biāo)也滿足于是：是方程的兩根,所以又由（1）可知：,于是,消k得,于是的軌跡方程為,點(diǎn)的軌跡是一條直線.【點(diǎn)評】求兩條動直線交點(diǎn)軌跡方程一般用交軌法三、跟蹤檢測1．（2023屆廣東省廣東廣雅中學(xué)高三上學(xué)期9月階段測試）已知橢圓：（）的離心率為．圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）在橢圓的內(nèi)部,半徑為．,分別為橢圓和圓上的動點(diǎn),且,兩點(diǎn)的最小距離為．(1)求橢圓的方程；(2),是橢圓上不同的兩點(diǎn),且直線與以為直徑的圓的一個交點(diǎn)在圓上．求證：以為直徑的圓過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓的長半軸為,短半軸為,半焦距為,由圓的性質(zhì),當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時,當(dāng)處于上下頂點(diǎn)時最小,故,即依題意得,解得,所以的方程為.（2）因?yàn)橹本€與以為直徑的圓的一個交點(diǎn)在圓上,所以直線與圓相切.（i）當(dāng)直線垂直于軸時,不妨設(shè),,此時,所以,故以為直徑的圓過點(diǎn).（ii）當(dāng)直線不垂直于軸時,設(shè)直線的方程為,,.因?yàn)榕c圓相切,所以到直線的距離,即.由得,所以,,,,,所以,故以為直徑的圓過點(diǎn).綜上,以為直徑的圓過點(diǎn).2．（2023屆山西省忻州市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知雙曲線的離心率是,點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn),且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ),證明：.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設(shè),其漸近線方程為,因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以,因?yàn)殡p曲線的離心率是,所以,,解得所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在,設(shè),直線.聯(lián)立整理得,所以,.故.設(shè)直線的斜率為,同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ),所以,所以,則,即,所以.3．（2023屆廣東省茂名市高三上學(xué)期9月大聯(lián)考）如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn),動點(diǎn)滿足,又點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過曲線上的點(diǎn)（）的直線與,軸的交點(diǎn)分別為和,且,過原點(diǎn)的直線與平行,且與曲線交于、兩點(diǎn),求面積的最大值.【解析】（1）法一：由題意,設(shè),,由得,且,由得,則,得,代入整理得,故動點(diǎn)的軌跡的方程為.法二：設(shè),,,設(shè),則由得,消去得,故動點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）如圖,設(shè)（）,又直線的斜率存在且,設(shè)直線為：,可得：,,由,則,故,,聯(lián)立,可得：,即,又,故直線的方程為,聯(lián)立,得：,即、的橫坐標(biāo)為,,點(diǎn)到直線的距離,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,面積的最大值為2..4．（2023屆湖南省永州市高三上學(xué)期適應(yīng)性考試）點(diǎn)在雙曲線上,離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)是雙曲線上的兩個動點(diǎn)（異于點(diǎn)）,分別表示直線的斜率,滿足,求證：直線恒過一個定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意點(diǎn)在雙曲線上,離心率可得；,解出,,所以,雙曲線的方程是（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時,則可設(shè),代入,得,則,即,解得或,當(dāng)時,,其中一個與點(diǎn)重合,不合題意；當(dāng)時,直線的方程為,它與雙曲線不相交,故直線的斜率存在；②當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程代入,整理得,,設(shè),則,由,所以所以,,即,整理得,即,所以或,若,則,直線化為,過定點(diǎn)；若,則,直線化為,它過點(diǎn),舍去綜上,直線恒過定點(diǎn)5．（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為為一動點(diǎn),點(diǎn)滿足向量關(guān)系式：．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)(在的左側(cè)),點(diǎn)為上一動點(diǎn)(且不與重合)．設(shè)直線軸與直線分別交于點(diǎn),取,連接,證明：為的角平分線．【解析】（1）設(shè)點(diǎn),,則由點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為,可得點(diǎn)G的軌跡是以為焦點(diǎn)且長軸長為的橢圓,其軌跡方程為,由,可得,代入點(diǎn)G的軌跡方程,可得：,所以點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn),則,即,,令,得,,則點(diǎn)到直線的距離為：,要證ER為的角平分線,只需證,又,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,又在上,則,即,代入上式可得恒成立,為的角平分線．6．（2023屆云南省大理市轄區(qū)高三統(tǒng)一檢測）已知為橢圓C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為其上一點(diǎn),且．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)R,試問的面積是否存在最大值？若存在,求出這個最大值；若不存在,請說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,則解之得：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖所示,設(shè)直線,則消去x整理得,設(shè)的面積為S,又,則,令,則,又設(shè),則,∴在上為增函數(shù),,∴,所以,存在當(dāng)時,即直線l的方程為的面積有最大值,其最大值為37．（2022屆福建省福州第十八中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2．(1)求的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上,點(diǎn)滿足,求直線斜率的最大值．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,由題意,該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,所以該拋物線的方程為；（2）設(shè),則,所以,由在拋物線上可得,即,據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為,所以直線的斜率,當(dāng)時,；當(dāng)時,,當(dāng)時,因?yàn)?此時,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立；當(dāng)時,；綜上,直線的斜率的最大值為.8．（2023屆陜西師范大學(xué)附