人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題含答案

第第頁人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題含答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．二面角(1)二面角的定義

①半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

②二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的表示

①棱為AB，面分別為，的二面角記作二面角-AB-，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角-l-，如圖(1).②若在，內(nèi)分別取不在棱上的點P，Q，這個二面角可記作二面角P-AB-Q，如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角P-l-Q，如圖(2).(3)二面角的平面角①自然語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②圖形語言③符號語言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.(4)二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

②當二面角的兩個半平面重合時，規(guī)定二面角的大小是；當二面角的兩個半平面合成一個平面時，規(guī)定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范圍是.2．面面垂直的定義及判定定理(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與垂直，記作⊥.(2)兩個平面互相垂直的畫法

如圖，畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直.(3)平面與平面垂直的判定定理①自然語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.②圖形語言③符號語言.該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.3．平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)平面與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.②圖形語言③符號語言.(2)性質(zhì)定理的作用①證明線面垂直、線線垂直；

②構(gòu)造面的垂線.4．直線、平面位置關(guān)系中的相關(guān)結(jié)論及其轉(zhuǎn)化(1)判定直線與直線垂直的方法

①定義法：兩條直線所成的角為，則這兩條直線互相垂直.

②利用直線與平面垂直的性質(zhì)來判定.

③若一條直線垂直于兩平行直線中的一條，則該直線也垂直于另一條.

(2)判定直線與平面垂直的方法

①定義法：一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與這個平面垂直.

②利用直線與平面垂直的判定定理來判定.

③利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理來判定.

④如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，即a∥b，a⊥b⊥.

⑤如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么該直線也垂直于另一個平面，即∥，a⊥a⊥.(3)平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論

①如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).②如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.③如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).④如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.⑤三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.(4)線、面垂直位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(5)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化【題型1求二面角】【方法點撥】求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即過二面角的一個半平面內(nèi)不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．(1)證明：PB⊥AC；(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的體積為13，求二面角P－BC－A【變式1-1】（高一課時練習）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為45°(1)二面角B?PC?D的大?。?2)直線PB與平面PCD所成的角的大?。咀兪?-2】（2023春·江蘇常州·高三開學考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點M,N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN(1)若平面A1MN∩平面A1(2)若三棱錐A1?AMN的體積為1，求二面角【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習）已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，點M為線段PC上一動點.(1)當點M為PC中點時，證明：BM⊥AC；(2)當平面ABC與平面ABM所成二面角為60°時，試確定點M的位置.【題型2面面垂直判定定理的應用】【方法點撥】利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.【例2】（河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．(1)證明：平面PBC⊥平面PCD；(2)求四棱錐E?ABCD的體積；【變式2-1】如圖，四棱錐P?ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點．(1)求證：直線BE//平面PAD；(2)平面PBC⊥平面PDC．【變式2-2】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6(1)求證：平面BED⊥平面BCC(2)求三棱錐E?BCD的體積.【變式2-3】（貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點，AC與BM交于點E，AB=62，AD=6，K為PA上一點，PK=(1)證明：K，E，M，N四點共面；(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK．【題型3面面垂直性質(zhì)定理的應用】【方法點撥】在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直.【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點.(1)求證：直線BC⊥平面PQB；(2)求三棱錐A?BMQ的體積.【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC為邊長為2的正三角形，D為BC的中點，AA(1)證明：C1(2)求三棱錐B1【變式3-2】（四川南充·四川模擬預測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求證：NF//平面C1(2)試求三棱錐N?C【變式3-3】（陜西寶雞·模擬預測）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四邊形ABB1A1是邊長為2的菱形，△ABC(1)若AB1//平面PDE，請確定點P(2)若點P為AC的中點，求三棱錐C?PDE的體積．【題型4垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化】【方法點撥】在有關(guān)垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理應用是證明垂直問題的關(guān)鍵.【例4】（2023秋·四川內(nèi)江·高二期末）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，AB=2，EF=FA=1(1)求證：BE⊥平面DEF；(2)求直線BD與平面BEF所成角的大?。咀兪?-1】（全國·高三專題練習）如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A、B的動點，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F(xiàn)是DE的中點．(1)求證：OF//平面BCE(2)求證：平面ADE⊥平面BCE．【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=2，∠BAC=90°．以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，E,F分別為(1)證明：AC⊥EF；(2)設EF=3，求BD【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知(1)求證：A1(2)求A1E與平面【題型5點、線、面的距離問題】【方法點撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)點到平面的距離、線面距、面面距的定義，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：平面A1BD⊥平面(2)若∠ACB=90°,AB=2，求點B【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，PD的中點為(1)求證：PB//平面ACF；(2)求直線PB到面ACF的距離.【變式5-2】（河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥BC，PA=PB，∠APC=∠BPC．(1)證明：PC⊥AD；(2)若AB∥CD，PD⊥AD，PC=3，且點C到平面PAB的距離為62，求【變式5-3】（全國·高三專題練習）如圖多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA//BF，(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)求點B到平面CEF的距離.【題型6平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合應用】【方法點撥】根據(jù)線、面平行的判定和性質(zhì)、線、面垂直的判定和性質(zhì)等知識，結(jié)合具體問題，進行求解即可.【例6】（河北·高三學業(yè)考試）如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，BD與AC相交于O點，M，N分別是AB，PC的中點.(1)求證：MO//平面PAD(2)若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.【變式6-1】（2023秋·四川遂寧·高二期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD為正方形，PD=DC=2，E,F,G分別是AB,(1)求證：EF⊥DC；(2)求證：平面EFG//平面PAD.【變式6-2】（2022·上?！つM預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點在平面ABCD內(nèi)的射影為A，且PA=AB=2，E為PD中點.(1)證明：PB//平面AEC(2)證明：平面PCD⊥平面PAD.【變式6-3】（2023秋·廣東汕尾·高二期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C(1)求證：EF//平面ACD(2)求證：平面ACD1⊥參考答案【題型1求二面角】【方法點撥】求二面角的關(guān)鍵是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂線法來作平面角，即過二面角的一個半平面內(nèi)不在棱上的一點作另一個半平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角.【例1】（2022秋·貴州遵義·高二期末）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，點H為線段PB上一點（不含端點），平面AHC⊥平面PAB．(1)證明：PB⊥AC；(2)若AB=AC=1，四棱椎P－ABCD的體積為13，求二面角P－BC－A【解題思路】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理與線面垂直性質(zhì)定理，結(jié)合公理2，可得線面垂直，可得答案；（2）根據(jù)二面角的平面角定義作圖，利用等面積法以及棱錐體積公式，求得邊長，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，可得答案.【解答過程】（1）∵PA⊥平面ABCD，且C∈平面ABCD，∴過點C所有垂直于PA的直線都在平面ABCD內(nèi)，∵平面AHC⊥平面ABP，且C∈平面AHC，∴存在一條過C的直線l⊥平面ABP，且l?平面AHC，∵PA?平面ABP，∴l(xiāng)⊥PA，則l?平面ABCD，∵平面ABCD∩平面AHC=AC，∴l(xiāng)與AC為同一條直線，即AC⊥平面ABP，∵PB?平面ABP，∴AC⊥PB.（2）在平面ABCD內(nèi)，過A作AE⊥BC，且AE∩BC=E，連接PE，作圖如下：∵PA⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，同理可得PA⊥AE，∵AE⊥BC，AE∩PA=A，AE,PA?平面PAE，∴BC⊥平面PAE，∵PE?平面PAE，∴∠PEA為二面角P?BC?A的平面角，在Rt△ABC中，S△ABC=12在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD的面積S=AB?AC=1，則其體積V=13?PA?S=在Rt△PAE中，cos故二面角P?BC?A的余弦值為63【變式1-1】（高一課時練習）已知PA⊥平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為45°(1)二面角B?PC?D的大小；(2)直線PB與平面PCD所成的角的大小．【解題思路】（1）作BE⊥PC于E，連接ED，由已知推導出∠BED就是二面角B?PC?D的平面角，由此根據(jù)余弦定理得出cos∠BED（2）還原棱錐為正方體ABCD?PB1C1D1，作BF⊥CB1于F，連接【解答過程】（1）∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠PBA就是異面直線PB與CD所成的角，即∠PBA=45∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，∴PA=AB，作BE⊥PC于E，連接ED，在△ECB與△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，∴△ECB?△ECD，∴∠CED=∠CEB=90∴∠BED就是二面角B?PC?D的平面角，設AB=a，則BD=PB=2a，則BE=DE=PB?BC則cos∠BED=BE∴二面角B?PC?D的大小為120°（2）還原棱錐為正方體ABCD?PB1C1D∵平面PB1C∴BF⊥B∴BF⊥平面PB連接PF，則∠BPF就是直線PB與平面PCD所成的角，BF=22a∴sin∠BPF=1∴直線PB與平面PCD所成的角為30°【變式1-2】（2023春·江蘇常州·高三開學考試）如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，平行于BC的直線分別交線段AB,AC于點M,N.將△AMN沿著MN折起至△A1MN(1)若平面A1MN∩平面A1(2)若三棱錐A1?AMN的體積為1，求二面角【解題思路】（1）利用線線平行證明線面平行，再利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行.（2）由已知求證得M,N分別為AB,AC中點，利用二面角的定義，作輔助線，利用幾何法求二面角的正弦值.【解答過程】（1）證明：∵BC//MN，BC?平面A1MN，∴BC//平面A1MN，又∵BC?平面A1BC∴l(xiāng)//（2）設AM=x，過A1作A1D⊥MN∵二面角A1?MN?B為直二面角，∴A∴VA1?AMN=13過B作BE⊥MN于點E，因為A1D⊥BE，A1D∩MN=D，∴BE⊥平面A1MN，∴BE⊥過E作EF⊥A1M于點F，連接BF所以A1F⊥平面BEF∴∠BFE即為二面角N?A1M?B且BE=2sin60°=3，EM=1∴sin二面角N?A1M?B【變式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二階段練習）已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長為2的等邊三角形，PA⊥平面ABC，∠PCA=45°，點M為線段PC上一動點.(1)當點M為PC中點時，證明：BM⊥AC；(2)當平面ABC與平面ABM所成二面角為60°時，試確定點M的位置.【解題思路】（1）設E為AC的中點，連接ME,BE,證明AC⊥平面MBE，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）作出平面ABC與平面ABM所成二面角的平面角，利用平面角的度數(shù)求得相關(guān)線段的長，計算MC=35PC【解答過程】（1）設E為AC的中點，連接ME,BE,由于點M為PC中點，故ME∥PA,而PA⊥平面ABC，故ME⊥平面AC?平面ABC，故ME⊥AC;又底面ABC是等邊三角形，故BE⊥AC,而ME∩BE=E,ME,BE?平面MBE，所以AC⊥平面MBE，又BM?平面MBE，故AC⊥BM即BM⊥AC.（2）如圖，過點M作MN⊥AC,垂足為N,由于PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，故PA⊥AC,且PA,MN?平面PAC,故PA∥MN,則MN⊥平面而AB?平面ABC，故MN⊥AB,作NF⊥AB,垂足為F,連接MF,MN∩NF=N,MN,NF?平面MNF，故AB⊥平面MNF，MF?平面MNF,所以AB⊥MF,又NF?平面ABC,MF?平面ABM,即∠MFN為平面ABC與平面ABM所成二面角的平面角，即∠MFN=60°，設NF=x，則MN=3x，因為∠PCA=45°，故NC=3又底面ABC是等邊三角形，∠FAN=60°，故AN=x而AC=2,故23則MC=6x=625即M點位于CP的35處，即MC=【題型2面面垂直判定定理的應用】【方法點撥】利用判定定理證明面面垂直的一般方法：先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的垂線存在，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若這樣的垂線不存在，則需通過作輔助線來證明.【例2】（河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點．(1)證明：平面PBC⊥平面PCD；(2)求四棱錐E?ABCD的體積；【解題思路】（1）作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到BE⊥PC和BE⊥AB，從而得到線面垂直，證明面面垂直；（2）求出四棱錐P?ABCD的體積，進而由E為棱PC的中點得到四棱錐E?ABCD的體積.【解答過程】（1）∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB,AC?平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AP=2，AB=1，∴PB=PAD⊥AB,AB//DC，且AD=DC=2,AB=1，過點B作BM⊥CD于點M，連接AE，則DM=CM=1，BM=CD=2，由勾股定理得：BC=B故PB=BC，又點E為棱PC的中點，BE⊥PC，由勾股定理得AC=A∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點，∴AE=1∵BE=2∴由AE2=B又AB//CD,CD∩CP=C，故BE⊥面PCD，又所以平面PBC⊥平面PCD；（2）四邊形ABCD的面積為12故VP?ABCD∵點E為棱PC的中點，∴VE?ABCD【變式2-1】如圖，四棱錐P?ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E為PC中點．(1)求證：直線BE//平面PAD；(2)平面PBC⊥平面PDC．【解題思路】(1)取中點證明平行四邊形，應用線面平行判定定理證明即可；(2)先證明線面垂直，再應用面面垂直判斷定理證明.【解答過程】（1）取PD中點F，連接EF，AF，由E為PC中點，∴EF//DC，EF=12DC，又AB//DC,AB=1∴BE//AF，又AF?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE//平面PAD．（2）由已知有BA⊥AP，BA⊥AD，AD∩AP=A，AD?平面APD，AP?平面APD，∴BA⊥平面APD，又AF?平面APD，∴BA⊥AF，AB∥CD，AF⊥DC，又PA=AD，∴AF⊥PD，PD∩DC=D，DC?平面PDC,DP?平面PDC∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，∴BE⊥平面PDC，又BE?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC．【變式2-2】（2023春·河南·高三開學考試）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6(1)求證：平面BED⊥平面BCC(2)求三棱錐E?BCD的體積.【解題思路】（1）由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；（2）由等體積法求體積，VE?BCD【解答過程】（1）連接B1D，因為A1所以DB因為E是B1C的中點，所以因為BB1=BC=6，E是B因為BE∩DE=E，且BE、DE?平面BED，所以B1C⊥平面因為B1C?平面BCC1B（2）因為AD∥BB1，BB1?平面BCE，AD?所以VE?BCDS△BCE設G為BC的中點，因為AB=AC，所以AG⊥BC，由條件知AC=5，CG=3，所以AG=4，所以VA?BCE=1【變式2-3】（貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分別為CD，PD的中點，AC與BM交于點E，AB=62，AD=6，K為PA上一點，PK=(1)證明：K，E，M，N四點共面；(2)求證：平面PAC⊥平面BMNK．【解題思路】（1）根據(jù)三角形中等比例性質(zhì)證明KE∥PC，再證明MN∥PC，從而KE∥MN，所以K，（2）先通過線面垂直性質(zhì)定理證明PA⊥BM，再由勾股定理證明AC⊥BM，最后由線面垂直證明面面垂直【解答過程】（1）證明：連接KE∵四邊形ABCD是矩形，M為CD的中點，∴CM∥AB且∴CE∵PK=1∴PK=1∴PK∴KE∥∵M，N分別是CD，PD的中點，∴MN∥∴KE∥∴K，E，M，N四點共面．（2）證明：∵PA⊥底面ABCD且BM?平面ABCD，∴PA⊥BM，∵AB=62，AD=6，M為CD∴CM=32，AC=63，∴EM=13BM=∴CE∴∠MEC=π2，∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BM⊥平面PAC，∵BM?平面BMNK，∴平面PAC⊥BMNK.【題型3面面垂直性質(zhì)定理的應用】【方法點撥】在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，若沒有與交線垂直的直線，則一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直.【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD,Q,M分別為AD,PC的中點.(1)求證：直線BC⊥平面PQB；(2)求三棱錐A?BMQ的體積.【解題思路】（1）在梯形中證明BCDQ是矩形，得BC⊥BQ，然后由面面垂直的性質(zhì)定理得PQ與平面ABCD垂直，從而有PQ⊥BC，由此得證線面垂直．（2）由棱錐的體積公式轉(zhuǎn)化計算：VA?BMQ【解答過程】（1）因為AD∥BC,Q為AD的中點，BC=12AD又因為BC∥QD，所以四邊形BCDQ為平行四邊形，因為∠ADC=90°，所以平行四邊形BCDQ是矩形，所以因為PA=PD,AQ=QD，所以PQ⊥AD，又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ?平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD，因為BC?平面ABCD，所以PQ⊥BC，又因為PQ∩BQ=Q,PQ?BQ?平面PQB，所以BC⊥平面（2）因為PA=PD=2所以PQ=AQ=1，由PQ⊥平面ABCD,M為PC中點，所以點M到平面ABCD的距離等于12所以VA?BMQ【變式3-1】（2023春·青海西寧·高三開學考試）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC為邊長為2的正三角形，D為BC的中點，AA(1)證明：C1(2)求三棱錐B1【解題思路】（1）在△C1CD中，利用余弦定理可求得C（2）由面面平行性質(zhì)可知點A到平面A1B1C1的距離即為點D【解答過程】（1）∵D為BC中點，BC=2，∴CD=1，又CC1=A∴C1D2=C又平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1∴C1D⊥平面ABC，又AB?平面ABC（2）由三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：平面ABC//平面A∴點A到平面A1B1C1的距離即為點D又S△∴V【變式3-2】（四川南充·四川模擬預測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求證：NF//平面C1(2)試求三棱錐N?C【解題思路】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）根面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合等體積計算即可.【解答過程】（1）取CC1的中點為G，連接在△C1D1C和△A所以FG//D1C又在平行六面體ABCD?A1B1C因此四邊形NEGF為平行四邊形，所以NF//EG，又因NF?平面C1CE，EG?平面C1（2）由（1）知NF//平面C1CE知，點N、F到平面所以VN?在三角形CC1F∴S過點A作AM⊥CD于M，因側(cè)面DCC1D側(cè)面DCC1D1∩平面ABCD=CD所以AM⊥平面DCC1D1，因AB//DC，CD?平面C1CD1D因此點A、E到平面C1EC的距離相等，則AM的長為點E到平面C1所以VN?【變式3-3】（陜西寶雞·模擬預測）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，四邊形ABB1A1是邊長為2的菱形，△ABC(1)若AB1//平面PDE，請確定點P(2)若點P為AC的中點，求三棱錐C?PDE的體積．【解題思路】（1）連接B1C與DE相交于F，連接PF，連接BC1交B1C于點M，由線面平行的性質(zhì)得到AB1//（2）取AB的中點O，連接OC，OA1，即可得到OA1⊥AB，再由面面垂直的性質(zhì)得到OA1⊥平面ABC，求出A1O的長度，即可得到點【解答過程】（1）解：如圖，連接B1C與DE相交于F，連接PF，連接BC1交∵AB1//平面PDE，平面AB1C∩平面∴AB∵BE=CE，CD=DC∴ED//BC1，CF=FM，又∵AB1//∴AP=3PC，∴點P是線段AC上靠近點C的四等分點；（2）解：如圖，取AB的中點O，連接OC，OA∵四邊形ABB1A∴A1B=2，∵OA=OB，△AA1B為等邊三角形，∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABOA1?∴OA1⊥又由AB=2，P為AC的中點，E為BC的中點，可得PE=CE=CP=1，∵四邊形ABB1A1為邊長為2的菱形，∴A1∵D為CC1的中點，平面ABC//∴點C1到平面ABC的距離?與點A1到平面∴?=3∵D為CC1的中點，∴點D到平面ABC的距離為∴三棱錐D?PCE的體積為13【題型4垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化】【方法點撥】在有關(guān)垂直問題的證明過程中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理應用是證明垂直問題的關(guān)鍵.【例4】（2023秋·四川內(nèi)江·高二期末）如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，AB=2，EF=FA=1(1)求證：BE⊥平面DEF；(2)求直線BD與平面BEF所成角的大小．【解題思路】（1）設正方形ABCD的對角線AC與BD交于O，連接FO、EO，利用勾股定理逆定理推導出BE⊥DE，BE⊥EF，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知直線BD與平面BEF所成角為∠BDE，求出∠BDE的正弦值，即可求得∠BDE的大小.【解答過程】（1）證明：設正方形ABCD的對角線AC與BD交于O，連接FO、EO，因為平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，AF⊥AC，AF?平面ACEF，∴AF⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則AC=2在直角梯形ACEF中，EF//AC，O為AC的中點，則AO=EF且又因為AF=EF，AF⊥AC，故四邊形AFEO是邊長為1的正方形，所以，AF//所以，EO⊥平面ABCD，且EO=AF=1，∵BD?平面ABCD，∴EO⊥BD，則BE=DE=E所以，BE2+D∵AF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴AF⊥AB，∵BF=AB2+AF∵DE∩EF=E，DE、EF?平面DEF，∴BE⊥平面DEF.（2）解：由（1）可知，BE⊥平面DEF，所以，直線BD與平面BEF所成角為∠BDE，∵BE⊥DE，sin∠BDE=又因為0<∠BDE≤π2，故∠BDE=π4，因此，直線BD與平面【變式4-1】（全國·高三專題練習）如圖，AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A、B的動點，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F(xiàn)是DE的中點．(1)求證：OF//平面BCE(2)求證：平面ADE⊥平面BCE．【解題思路】（1）取CE的中點G，連接FG、BG，證明出四邊形OBGF為平行四邊形，可得出OF//（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出AD⊥平面ABE，可得出BE⊥AD，由圓的幾何性質(zhì)可得BE⊥AE，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【解答過程】（1）證明：取CE的中點G，連接FG、BG，∵F、G分別為DE、CE的中點，則FG//CD且因為四邊形ABCD為矩形，則AB//CD且∵O為AB的中點，則OB//CD且OB=12CD所以，四邊形OBGF為平行四邊形，所以，OF//∵OF?平面BCE，BG?平面BCE，∴OF//平面BCE（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，則AD⊥AB，因為平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，∴BE⊥AD，因為AB為圓O的直徑，E是圓O上不同于A、B的動點，則BE⊥AE，∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，∴BE⊥平面ADE，∵BE?平面BCE，所以，平面ADE⊥平面BCE.【變式4-2】（2022秋·河南·高三階段練習）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=2，∠BAC=90°．以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，E,F分別為(1)證明：AC⊥EF；(2)設EF=3，求BD【解題思路】（1）取AC的中點G，由平行關(guān)系可得EG⊥AC,FG⊥AC，由線面垂直判定可得AC⊥平面EFG，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）利用余弦定理可求得∠EGF=120°，得到∠DCM=60°；由線面垂直的判定可知AC⊥平面CDM，由此得到平面CDM⊥平面ABCM；作DH⊥CM，由面面垂直性質(zhì)可得DH⊥平面【解答過程】（1）取AC的中點G，連接EG,FG，∵EG//CD，CD⊥AC，∵FG//AB，AB⊥AC，又EG∩FG=G，EG,FG?平面EFG，∴AC⊥平面EFG，又EF?平面EFG，∴AC⊥EF.（2）在△EFG中，EG=FG=1，EF=3由余弦定理得：cos∠EGF=EG∵CD//EG，F(xiàn)G//∵AC⊥CM，AC⊥CD，CM∩CD=C，CM,CD?平面CDM，∴AC⊥平面CDM，又AC?平面ABCM，∴平面CDM⊥平面ABCM；作DH⊥CM，垂足為H，連接BH，∵DH?平面CDM，平面CDM∩平面ABCM=CM，∴DH⊥平面ABCM，又BH?平面ABCM，∴DH⊥BH，∵DC=CM=AB=2，∠DCM=60∴DH=DC?sin60°∵∠BAC=90°，AB=AC，CM//AB，∴∠ACM=90由余弦定理得：BH=B在Rt△BDH中，BD=【變式4-3】（2022秋·江蘇南通·高二期中）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知(1)求證：A1(2)求A1E與平面【解題思路】（1）要證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明BD⊥面AA（2）首先證明平面A1BD⊥平面A1【解答過程】（1）連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)A1在正四棱柱ABCD?A1B1C又∵BD?ABCD，∴A∵四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC又∵AA1∩AC=A，AA1，AC?面AA1C1C∴BD⊥（2）由（1）知：BD⊥面AA1C1C，又BD?平面A1BD又面A1BD∩面∴∠OA1E為直線A∵正四棱柱ABCD?A1B1C分別在Rt△A1AO，解得A1O=32所以cos∠O故A1E與平面A1【題型5點、線、面的距離問題】【方法點撥】結(jié)合具體條件，根據(jù)點到平面的距離、線面距、面面距的定義，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（陜西咸陽·校考一模）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：平面A1BD⊥平面(2)若∠ACB=90°,AB=2，求點B【解題思路】（1）分別取A1B，A1B1的中點E，F(xiàn)（2）由題知A1C1⊥平面【解答過程】（1）證明：分別取A1B，A所以，F(xiàn)E//B因為D為CC所以C1所以，C1所以，四邊形C1DEF因為A1C1=B所以，C因為在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AA所以AA因為A1B所以C1F⊥又C所以DE⊥平面ABB1A1所以平面A1BD⊥平面（2）解：因為在直三棱柱ABC?A1B1C1中,CC所以CC因為∠ACB=90°，所以∠A因為CC1所以A1C1⊥平面BCC設點B1到面A1所以，在三棱錐B1?A1BD因為AB=2，AC=BC=A所以S在△A1BD中，所以，62??=1×所以，點B1到平面A1BD【變式5-1】（2023秋·重慶巫山·高二期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA=AB=2，PD的中點為(1)求證：PB//平面ACF；(2)求直線PB到面ACF的距離.【解題思路】（1）連接BD交AC于O，連接FO，得OF//PB，根據(jù)線面平行的判定可得PB//平面ACF；（2）根據(jù)線面平行，將線到面的距離化為點到面的距離，再根據(jù)等體積法可求出結(jié)果.【解答過程】（1）連接BD交AC于O，連接FO，∵F為AD的中點，O為BD的中點，則OF//PB，∵PB?平面ACF，OF?平面ACF，∴PB//平面ACF.（2）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，所以PA⊥平面ABCD.由于PB//平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離.又因為F為PD的中點，點P到平面ACF的距離與點D到平面ACF的距離相等.取AD的中點E，連接EF，CE，則EF//PA，因為PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，因為CE?平面ABCD，所以EF⊥CE，因為菱形ABCD且∠ABC=60°，所以CE=3，EF=1則CF=EF2+CE2=設點D到平面ACF的距離為?D，由V13即直線PB到平面ACF的距離為221【變式5-2】（河南·高三階段練習）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC⊥BC，PA=PB，∠APC=∠BPC．(1)證明：PC⊥AD；(2)若AB∥CD，PD⊥AD，PC=3，且點C到平面PAB的距離為62，求【解題思路】（1）連接AC，利用線面垂直的判定定理證明PC⊥平面ABCD，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得異面直線垂直即可；（2）取AB的中點E，連接PE，CE，過C作CH⊥PE于H，利用且點C到平面PAB的距離為62以及三角形等面積法求得CE的值，在利用直線與平面，平面與平面位置關(guān)系，證明四邊形AECD為矩形，即可得AD【解答過程】（1）證明：如圖，連接AC，∵PA=PB，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△PAC≌△PBC，∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AC．∵PC⊥BC，AC∩BC=C，AC,BC?平面ABCD∴PC⊥平面ABCD，又AD?平面ABCD，∴PC⊥AD．（2）解：取AB的中點E，連接PE，CE，過C作CH⊥PE于H.∵PA=PB，E為AB中點∴PE⊥AB，由（1）知AC=BC，E為AB中點，∴CE⊥AB，∵PE∩CE=E，PE,CE?平面PCE，∴AB⊥平面PCE，又AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCE，又平面PAB∩平面PCE=PE，CH⊥PE，CH?平面PCE∴CH⊥平面PAB，由條件知CH=62．由（1）有PC⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，∴PC⊥CE，設CE=m，又PC=3∵S△PCE=12PC?CE=12PE?CH，∵PD⊥AD，AD⊥PC，PC∩PD=P，PC,PD?平面PCD，∴AD⊥平面PCD，又CD?平面PCD∴AD⊥CD，∵AB∥CD，∴AD⊥AB，∴四邊形AECD為矩形，∴AD=CE=3【變式5-3】（全國·高三專題練習）如圖多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA//BF，(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)求點B到平面CEF的距離.【解題思路】(1)利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明；(2)利用VB?CEF=V【解答過程】（1）證明：取EC的中點G，連接BD交AC于N，連接GN，GF，因為ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC的中點，所以GN//AE且GN=12AE所以GN//BF且GN=BF，所以四邊形所以GF//又EA⊥平面ABCD，BN?平面ABCD，所以EA⊥BN，又因為AC∩EA=A，AC,EA?平面EAC，所以NB⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC，又GF?平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC；（2）設B到平面CEF的距離為d，因為EA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD,所以EA⊥AC,因為EA//BF,EA⊥平面ABCD，所以BF⊥平面且BC?平面ABCD,所以BF⊥BC,因為∠ABC=60°，AB=2，所以AC=2，所以EC=AC2EF=2所以FG⊥EC且FG=C所以S△CEF取AB中點為M，連接CM,因為ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以△ABC為等邊三角形，所以CM⊥AB,且CM=2又因為EA⊥平面ABCD，CM