2023版人教版初中數(shù)學同步講義練習8年級下冊第十七章 勾股定理 專題17.1 勾股定理 （教師版）

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專題17.1勾股定理1、掌握勾股定理的用途：已知直角三角形的兩邊求第三邊及已知直角三角形的一邊，求另外兩邊的關系；2、能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題；3、掌握勾股定理的證明方法，能夠熟練地運用勾股定理解決弦圖等相關問題；4、熟練掌握重要的數(shù)學思想：方程思想。知識點01勾股定理【知識點】勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。注意：1）僅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理則需要有直角三角形或通過輔助線構造直角三角形）；2）由于直角三角形的斜邊最長，故運用勾股定理時，一定要抓住直角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，只有c是斜邊時才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。3）利用勾股定理，若無法直接找出其中的兩條邊，則可設定一條邊長為未知數(shù)，根據(jù)題目已知的條件能表示其他的邊（可以是設定的未知數(shù)表示，也可以是具體的數(shù)字），再建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.【知識拓展1】勾股定理中的面積問題例1．（2022·廣東湛江·八年級期末）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，則正方形C的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【詳解】解：由題意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面積依次為6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的幾何意義，知道直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．【即學即練】1．（2022·貴州銅仁·八年級期中）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為且，則___________；以的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為，則三者之間的關系為___________．【答案】

12；

s1+s2=s3【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與Rt△ABC的三邊關系，然后根據(jù)勾股定理找到Rt△ABC的三邊之間的關系，并由此得到三個正方形的面積關系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角形面積公式與勾股定理，得到S1，S2，S3三者之間的關系，完成解答．【詳解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的邊長，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三邊向外作等邊三角形，其面積為S1，S2，S3，∴S1==×AC2，同理可得：S2=×BC2，S3=×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關鍵在于靈活運用勾股定理．2．（2022·廣東珠?！ぐ四昙壠谀┤鐖D為直角三角形，斜邊，以兩條直角邊為直徑構成兩個半圓，則兩個半圓的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)圓的面積公式表示出，整理解得得出答案．【詳解】解：∵為直角三角形，斜邊，∴，∴故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的內(nèi)容．【知識拓展2】勾股樹例2．（2022·河南八年級期末）如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“”（n≥3），依此規(guī)律即可得出結論．【詳解】解：在圖中標上字母，如圖所示．∵正方形的邊長為2，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，S，…，∴．當時，，故選：A．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題關鍵是找出規(guī)律“”，解決該題目時，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關鍵．【即學即練】1．（2022·云南九年級一模）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（1）中共有3個正方形，圖（2）在圖（1）的基礎上增加了4個正方形，圖（3）在圖（2）的基礎上增加了8個正方形，……，照此規(guī)律“生長”下去，圖（6）應在圖（5）的基礎上增加的正方形的個數(shù)是（）A．12 B．32 C．64 D．128【答案】C【分析】通過觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，圖（4）比圖（3）多出16個正方形，……，以此類推可得圖形的變換規(guī)律．【詳解】解：由題可得，圖（2）比圖（1）多出4個正方形，圖（3）比圖（2）多出8個正方形，；圖（4）比圖（3）多出16個正方形，；圖（5）比圖（4）多出32個正方形，；照此規(guī)律，圖（n）比圖（n-1）多出正方形的個數(shù)為：故圖（6）比圖（5）多出正方形的個數(shù)為：；故答案為：C．【點睛】此題考查了圖形的變化類問題，主要考核學生的觀察能力和空間想象能力．首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．2．（2022·廣東揭陽·八年級期末）如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的邊長為4．若按照圖①至圖③的規(guī)律設計圖案，則在第個圖中所有等腰直角三角形的面積和為（）A． B． C． D．32【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出等腰直角三角形直角邊的長，求出每個圖形中等腰三角形面積和，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而求出即可．【詳解】解：在圖①中，正方形的邊長為4，∴等腰直角三角形①的直角邊長為：∴等腰直角三角形①的面積=在圖②中，最大的正方形的邊長是4，最大的等腰直角三角形①的直角邊長是故可得等腰直角三角形②和③的直角邊長都是2∴如圖③，同理可求等腰直角三角形④⑤⑥⑦的直角邊長均為∴====由此可得規(guī)律：第n個圖形中，所有等腰直角三角形的面積和為4n，故選A．【點睛】此題主要考查了運用勾股定理求等腰直角三角形直角邊的長，解題的關鍵是求出每個圖形中等腰直角三角形面積和．【知識拓展3】勾股定理的方程思想與分類討論思想例3．（2022·陜西·西安八年級階段練習）如圖，高速公路上有、兩點相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個服務站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意設出的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，應建在距點處．故選：．【點睛】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．【即學即練】1.（2022·江蘇八年級期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．【答案】【分析】在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再設AD=x，則AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，設AD=x，則AB=AC=AD+CD=x+6，在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2，代入數(shù)據(jù)：(x+6)2=x2+82，解得x=，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關鍵是設AD=x，進而將AB用x的代數(shù)式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．2.（2022·山東八年級期中）中，，高，則BC的長為（）A．14 B．14或4 C．4 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況討論，再分別在中，利用勾股定理解得CD的長，在中，利用勾股定理解得BD的長，最后計算線段的和差解題．【詳解】解：分兩種情況討論：若是鈍角三角形，如圖，是的高，在中，，在中，，；若是銳角三角形，如圖，是的高，在中，，在中，，；故BC為：14或4，故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理并分情況討論是解題的關鍵.【知識拓展4】勾股定理中的折疊（翻折）問題解題步驟：（1）找：找痕，折痕前后的圖形；（2）設：設未知數(shù)，盡可能表達所需線段；（3）列：根據(jù)勾股定理列方程。例4．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根據(jù)全等三角形的性質可得出GF=GP、EF=BP，設BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依據(jù)AF2+AD2=DF2，可得到x的值．【詳解】解：根據(jù)折疊可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，設BF=EP=CP=x，則AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，∴（4-x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用，設要求的線段長為x，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程是解決問題的關鍵．【即學即練】1．（2022·貴州遵義·八年級期末）在中，，，，點、分別是直角邊和斜邊上的點，把沿著直線折疊，點恰好落在邊的中點上，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】由折疊的性質可得AE＝DE，則DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理構建方程求出BE即可．【詳解】解：由折疊的性質可得AE＝DE，∵，，，點是邊的中點，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，利用勾股定理得出關于BE的方程是解題的關鍵．2．（2022·安徽·合肥市八年級期中）如圖，在中，，，．將折疊，使點B恰好落在邊AC上．與點重合，AE為折痕，則的長為（

）A．12 B．25 C．20 D．15【答案】D【分析】由勾股定理可求出AC，再由折疊的性質可知，，進而可得，設，在中，由勾股定理列方程即可求解．【詳解】解：∵在中，，，，，∵折疊，點B與點重合，，，，，設，則，又，在中，，即，解得：，．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質，熟練掌握折疊的性質以及勾股定理列方程是解題的關鍵．【知識拓展5】勾股定理的實際應用例5．（2022·成都市棕北中學八年級月考）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長是多少？（2）求小巷的寬．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【分析】（1）先利用勾股定理求出梯子AB的長度，（2）由（1）知梯子AB的長度，利用勾股定理求出BD的長，即可得到答案.【詳解】（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的長是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的寬度為2.7米．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握利用勾股定理求有關線段的長度的方法．【即學即練】1．（2021·江西八年級期末）如圖，有人在岸上點C的地方，用繩子拉船靠岸，開始時，繩長CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉動繩子將船從點B沿BA方向行駛到點D后，繩長CD＝12米．（1）試判定△ACD的形狀，并說明理由；（2）求船體移動距離BD的長度．【答案】（1）△ACD是等腰直角三角形，理由見解析；（2）船體移動距離BD的長度為4米【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的長，進而得出△ACD的形狀；（2）利用勾股定理得出AB的長，進而得出BD的長．【詳解】解：（1）由題意可得：AC=12m，m，∠CAD=90°，∴∴∴△ACD是等腰直角三角形；（2）∵AC=12m，BC=20m，∠CAD=90°，∴，∴BD=AB-AD=4m．答：船體移動距離BD的長度為4米．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，根據(jù)題意正確應用勾股定理是解題關鍵．2．（2022·河南八年級期末）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗）有一道“蕩秋干”的問題，“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，5尺人高曾記，仕女家人爭蹴．良工高士素好奇，算出索長有幾？”此問題可理解為：如圖，有一架秋千，當它靜止時，踏板離地距離PA的長為1尺，將它向前水平推送10尺時，即尺，秋千踏板離地的距離就和身高5尺的人一樣高，秋千的繩索始終拉得很直，則秋千的繩索長為________尺．【答案】14.5【分析】設秋千的繩索長為x尺，由題意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根據(jù)勾股定理列方程即可得出結論．【詳解】解：設秋千的繩索長為x尺，由題意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）2+102=x2，解得：x=14.5，故答案為：14.5．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，由勾股定理建立方程是解題的關鍵．3．（2022·云南廣南·八年級期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離AB是4米．求竹子折斷處與根部的距離CB．【答案】3米【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面的高度是x米，則斜邊為（8x）米．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：由題意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，∴設BC長為x米，則AC長為（）米，∴在Rt△CBA中，有，即：，解得：，∴竹子折斷處C與根部的距離CB為3米．【點睛】此題考查勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．4．（2022·貴州六盤水·八年級期中）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖所示，有一臺風中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線上的兩點A，B的距離分別為：，以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）請計算說明海港C會受到臺風的影響；（2）若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】（1）計算見解析；（2）臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進而得出臺風影響該海港持續(xù)的時間．【詳解】解：（1）如圖，過點C作于點D∵∴∴是直角三角形∴∴∴∵以臺風中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域∴海港C會受臺風影響；（2）當時，臺風在上運動期間會影響海港C在中在中∴∵臺風的速度為20千米/小時∴（小時）答：臺風影響該海港持續(xù)的時間為7小時．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾股定理解答．知識點02勾股定理的驗證【知識點】據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達400多種了。由于篇幅有限，我們就重點介紹最具代表性的“勾股圓方圖”（即趙爽弦圖）的證法。方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.（趙爽的證法）圖（1）中，所以.圖（1）圖（2）方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.（畢達哥拉斯的證法）圖（2）中，所以.注意：趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學創(chuàng)新的重大意義。以后的數(shù)學家大多繼承了這一風格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補略有不同而已?！局R拓展1】勾股定理的證明與應用例1．（2022·河南初二期中）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)即可得證．【解析】如圖，過點D作，交BC延長線于點F，連接BD，則，由全等三角形的性質得：，，，，即，整理得：．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握“面積法”是解題關鍵．【即學即練1】1．（2022·行唐縣八年級月考）勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一．中國古代最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的，其中，．（1）請利用面積相等證明勾股定理；（2）在圖1中，若大正方形的面積是13，，求小正方形的面積；（3）圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，求邊的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）1；（3）4【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積證明可得結論；（2）由勾股定理可得AF的長，從而可得小正方形的邊長，進一步可求出小正方形的面積；（3）分別求出正方形，正方形，正方形的邊長，求出其面積，代入，進一步整理可得解．【詳解】解：（1）∵∴，∴小正方形的邊長=又大正方形的邊長為∴正方形的面積為，4個全等直角三角形的面積和為，正方形的面積為，由“大正方形的面積=4個全等直角三角形的面積+小正方形的面積”得;∴經(jīng)過整理可得（2）∵大正方形的面積是13，∴∵，且∴∴(負值舍去)∴∴小正方形的面積為1；（3）∵正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，∴，，∴正方形的邊長為，∴正方形的面積為．而正方形的邊長為，正方形的邊長為，∴正方形的面積為，正方形的面積為，∴，整理得，，∴（負值舍去）【點睛】此題考查的是勾股定理的證明和應用，能夠準確識圖是解答本題的關鍵．【知識拓展2】例2．（2022·河北初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．給出四個結論：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】觀察圖形可知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，根據(jù)勾股定理即可得到大正方形的邊長，從而得到①正確，根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=大正方形的面積-小正方形的面積，從而得到③正確，根據(jù)①③可得②正確，④錯誤.【解析】解：∵直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，∴斜邊的平方=a2+b2，由圖知，大正方形的邊長為直角三角形的斜邊長，∴大正方形的面積=斜邊的平方=a2+b2，即a2+b2=49，故①正確；根據(jù)題意得4個直角三角形的面積=4××ab=2ab，4個直角三角形的面積=S大正方形-S小正方形=49-4=45，即2ab=45，故③正確；由①③可得a2+b2+2ab=49+45=94，即(a+b)2=94，∴a+b≠9，故④錯誤，由①③可得a2+b2-2ab=49-45=4，即(a-b)2=4，∵a-b>0，∴a-b=2，故②正確．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，完全平方公式的運用等知識．熟練運用勾股定理是解題的關鍵．【即學即練2】1．（2022·福建·廈門一中八年級期中）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，若，則的值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【詳解】解：設全等的直角三角形的兩條直角邊為、且，由題意可知：，，，因為，即，，所以，的值是．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．2．（2022.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結，交于點P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．【答案】16【分析】先證明△AEP≌△CGM（ASA），則S△AEP=S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設AE=x，BE=8-x，根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+（8-x）2=48，則2x2-16x=-16，整體代入可得結論．【詳解】解：∵正方形ABCD的面積為48，∴AB2=48，設AE=x，∵AE+BE=8，∴BE=8-x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，∴x2+（8-x）2=48，∴2x2-16x=-16，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP=∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE=CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，∴S△CFP-S△AEP=S△CFP-S△CGM=S梯形FPMG=（MG+PF）?FG=EF?FG=S正方形EHGF，∵S矩形EHGF=S正方形ABCD-4S△AEB=48-4×x（8?x）=2x2-16x+48=-16+48=32，則S△CFP-S△AEP的值是16；故答案為：16．【點睛】本題考查了“趙爽弦圖”，多邊形的面積，勾股定理等知識點，首先要求學生正確理解題意，然后會利用勾股定理和三角形全等的性質解題．題組A基礎過關練1．（2022·山西九年級期中）在勾股定理的學習過程中，我們已經(jīng)學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領域中的許多數(shù)學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．統(tǒng)計思想 B．分類思想 C．數(shù)形結合思想 D．函數(shù)思想【答案】C【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，據(jù)此回答即可．【詳解】解：根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，如勾股定理的推導是根據(jù)圖形面積轉換得以證明的，由圖形到數(shù)學規(guī)律的轉化體現(xiàn)的數(shù)學的思想為：數(shù)形結合思想，故選：C．【點睛】本題是對數(shù)學思想的考查，理解各種數(shù)學思想的本質特點是解決本題的關鍵．2．（2022·河南信陽·八年級期末）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m，梯子頂端到地面的距離AC為2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5m，則小巷的寬為（）．A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m【答案】D【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB長，再在Rt△A′BD中利用勾股定理計算出BD長，然后可得CD的長．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5m，∴A′B=2.5m，在Rt△A′BD中，BD==2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握利用勾股定理求有關線段的長度的方法．3．（2022·浙江·樂清八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來表示它們的面積，那么下列結論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可得甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，依此即可求解．【詳解】解：連接AC，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，∴甲的面積+乙的面積=丙的面積+丁的面積，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個正方形的面積之間的關系．4．（2022·吉林琿春·八年級期中）我國古代數(shù)學家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a、b（b>a），則（a+b）2的值為（）．A．24 B．25 C．49 D．13【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理，可得，再由四個全等的直角三角形的面積之和等于大正方形的面積減去小正方形的面積，可得，然后利用完全平方公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，四個全等的直角三角形的面積之和為，∴，即，∴．故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式的應用，勾股定理，完全平方公式是解題的關鍵．5．（2022·廣東清新·八年級期中）如圖，大正方形是由4個小正方形組成，小正方形的邊長為2，連接小正方形的三個頂點，得到△ABC，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】根據(jù)題意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．【詳解】如圖所示，∵大正方形是由4個小正方形組成，小正方形的邊長為2，∴由題意可得，＝S正方形DEFA－故選：B．【點睛】此題考查了割補法求三角形面積，解題的關鍵是根據(jù)題意正確得到＝S正方形DEFA－．6．（2022·江蘇泗陽·八年級期中）勾股定理與黃金分割并稱為幾何學中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學史上的里程碑，2000多年來，人們對它進行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關面積的等量關系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用面積與恒等式，②中矩形面積等于兩個直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個直角邊分別為a，b的直角三角形與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積之和；④中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和；⑤中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：②中矩形面積等于兩個直角三角形面積之和，都為ab，無法證明勾股定理；③中梯形面積等于兩個直角邊分別為a，b的直角三角形與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；④中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；⑤中大正方形的面積等于4個小直角三角形面積與一個小正方形面積之和，即，整理得：，可以證得勾股定理；所以可以證明勾股定理的圖形有③④⑤，共3個．故選：C【點睛】本題主要考查了勾股定理的證明，熟練掌握梯形，正方形的面積的不同求法是解題的關鍵．7．（2022·湖南·武岡市第二中學八年級階段練習）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，則a2+b2+c2＝_____．【答案】18【分析】根據(jù)勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，將c＝3代入計算即可求解．【詳解】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2，∵c＝3，∴a2+b2+c2＝2×32＝18．故答案為：18．【點睛】本題考查了勾股定理，解題關鍵是熟練運用勾股定理，整體代入求值．8．（2022·湖南八年級期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝13cm，D是腰AB上一點，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理得出AB，進而利用三角形面積公式解答即可．【詳解】證明：（1）∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2，∴△BDC為直角三角形；（2）設AB＝xcm，∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝xcm，∵△BDC為直角三角形，∴△ADC也為直角三角形，∴AD2+CD2＝AC2，∴x2＝（x﹣5）2+122，解得：，∴．【點睛】此題考查等腰三角形的性質、勾股定理以及逆定理的應用，關鍵是勾股定理的逆定理解答．9．（2022·江蘇南通·八年級階段練習）學過《勾股定理》后，八（1）班數(shù)學興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度．小華測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長1米（如圖1），小明拉著繩子的下端往后退，當他將繩子拉直時，小凡測得此時小明拉繩子的手到地面的距離CD為1米，到旗桿的距離CE為8米（如圖2）．(1)設AB長為x米，繩子為米，AE為米（用x的代數(shù)式表示）；(2)請你求出旗桿的高度AB．【答案】(1)x＋1，x－1(2)旗桿的高度AB是16米【分析】（1）根據(jù)圖形標出的長度，可以知道AB和AC的長度差值是1，則繩長AC=x+1，由CD=BE=1可得AE=AB-BE=x-1；（2）由AC=x+1，AE=x-1；以及CE＝8，構造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出旗桿的高度．(1)解：設AB長為x米，則繩子長為（x＋1）米，AE的長度為（x?1）米．故答案是：（x＋1）；（x?1）；(2)解：在Rt△ACE中，AC＝（x＋1）米，AE＝（x?1）米，CE＝8米，由勾股定理可得，（x?1）2＋82＝（x＋1）2，解得：x＝16．答：旗桿的高度為16米．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，表示出AE與AC長度利用勾股定理求出，善于挖掘題目的隱含信息是解決本題的關鍵．題組B能力提升練1．（2022·貴州遵義·八年級期末）如圖是數(shù)學史上著名的“希波克拉底月牙問題”：在中，，，，，分別以的各邊為直徑向外作半圓，則圖中兩個“月牙”，即陰影部分的面積為________．（用含，，的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)題意得：陰影部分的面積等于兩個小半圓的面積之和加上直角三角形ABC的面積減去大半圓的面積，由勾股定理得到，代入即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：陰影部分的面積等于兩個小半圓的面積之和加上直角三角形ABC的面積減去大半圓的面積，∵在中，，，，，∴，∴陰影部分的面積等于．故答案為：【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，根據(jù)題意得到陰影部分的面積等于兩個小半圓的面積之和加上直角三角形ABC的面積減去大半圓的面積是解題的關鍵．2．（2022·浙江·杭州八年級階段練習）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三邊為邊作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于點J．三個正方形沒有重疊的部分為陰影部分，設四邊形BGFJ的面積為S1，四邊形CHIJ的面積為S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，則正方形BCFG的面積為（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】設BC＝a，AC＝b，AB＝c，由正方形面積和三角形面積得S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，再由勾股定理得a2﹣b2＝c2，則c2＝16，求出c＝4，后求出b＝2，則a2＝b2+c2＝20，即可求解．【詳解】解：設BC＝a，AC＝b，AB＝c，∵S1＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ，S2＝S正方形ACHI﹣S△ACJ，∴S1﹣S2＝S正方形BCFG﹣S△ABC﹣S△ACJ﹣S正方形ACHI+S△ACJ＝S正方形BCFG﹣4﹣S正方形ACHI＝12，∴S正方形BCFG﹣S正方形ACHI＝16，即a2﹣b2＝16，∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴a2﹣b2＝c2，∴c2＝16，∴c＝4（負值已舍去），∴S△ABC＝bc＝2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2+c2＝16+22＝20，∴正方形BCFG的面積為20，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，設參數(shù)表示三角形的邊長，根據(jù)已知條件求得a2﹣b2＝16是解題的關鍵．3．（2022·杭州市建蘭中學初三月考）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，則下列關于S1、S2、S3的說法正確的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8【答案】D【分析】根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，，再根據(jù)三個正方形面積公式列式相加：，求出的值，從而可以計算結論即可．【解析】解：八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理和正方形、全等三角形的性質，根據(jù)已知得出是解決問題的關鍵．4．（2023·廣西八年級期末）如圖，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，則CD的長是______．【答案】【分析】過點作于，根據(jù)角平分線的性質和已知條件分別求得，再根據(jù)三角形面積公式求得，進而求得．【詳解】過點作于，AD平分∠BAC，，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，，，，，，，，，即，．故答案為．【點睛】本題考查了勾股定理，角平分線的性質，理解角平分線的性質是解題的關鍵．5．（2022·沭陽縣八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點與BC邊的中點D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．【答案】【分析】設，在中利用勾股定理求出x即可解決問題．【詳解】解：∵是的中點，，，∴，由折疊的性質知：，設，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案為：【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關鍵是利用翻折不變性解決問題，學會轉化的思想，利用方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022·廣州市八年級期中）如圖，有兩條公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向離O點160米處有一所學校A，當重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛時，在以P為圓心，100米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車噪聲的影響，且卡車P與學校A的距離越近噪聲影響越大．若已知重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為36千米/時，則對學校A的噪聲影響最大時卡車P與學校A的距離是___米；重型運輸卡車P沿道路ON方向行駛一次給學校A帶來噪聲影響的時間是____秒．【答案】8012【分析】作于，求出的長即可解決問題，如圖以為圓心m為半徑畫圓，交于、兩點，求出的長，利用時間計算即可．【詳解】解：作于，，m，m，即對學校的噪聲影響最大時卡車與學校的距離m．如圖以為圓心m為半徑畫圓，交于、兩點，，，在中，m，m，重型運輸卡車的速度為36千米時米秒，重型運輸卡車經(jīng)過的時間（秒，故卡車沿道路方向行駛一次給學校帶來噪聲影響的時間為12秒．故答案為：80，12．【點睛】本題考查勾股定理的應用、解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解題意，學會添加常用輔助線構造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．7．（2022·四川八年級期末）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點E．若為直角三角形，則BD的長是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長，由折疊可知對應邊相等，對應角相等，當為直角三角形時，可以分為兩種情況進行考慮，分別利用勾股定理可求出的長．【詳解】解：在中，，（1）當時，如圖1，過點作，交的延長線于點，由折疊得：，，設，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當時，如圖2，此時點與點重合，由折疊得：，則，設，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是：分類討論思想的應用注意分類的原則是不遺漏、不重復．8．（2022·甘肅慶陽八年級期末）交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學八年級數(shù)學活動小組的同學進行了測試汽車速度的實驗．如圖，先在筆直的公路旁選取一點，在公路上確定點，使得米，．這時，一輛轎車在公路上由向勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為3秒，并測得．此路段限速每秒22米，試判斷此車是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】此車超速了，理由見解析．【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質可得米，再根據(jù)直角三角形的性質、勾股定理可得的長，然后根據(jù)線段的和差可得AB的長，最后求出速度即可得．【詳解】米，，是等腰直角三角形，米，在中，，，米，米，（米），此車從處行駛到處的速度為（米/秒），，此車超速了．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理，熟練掌握直角三角形的性質、勾股定理是解題關鍵．9．（2022·綿陽市·八年級專題練習）如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發(fā)寫出一個表示a、b、c的關系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有_______個．(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】(1)(2)3(3)7.5【分析】（1）梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和．即可得：；（2）根據(jù)勾股定理可得三個圖形中面積關系滿足的有3個；（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結論：，進而求解．(1)解：四邊形ABED的面積可以表示為：，也可以表示為，所以，整理得；(2)設直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則，圖③，∵，∴，圖④，∵∴，圖⑤，∵∴，故答案為：3．(3)∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關鍵是掌握勾股定理．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·廣東福田·八年級期末）如圖，四邊形是邊長為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點落在邊上的點處，點的對應點為點，，則的長為（）A．1.8 B．2 C．2.3 D．【答案】B【分析】連接BM，MB′，由于CB′=3，則DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【詳解】解：連接BM，MB′，設AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，∵折疊，∴MB=MB′，∴AB2+AM2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，故選：B．【點睛】本題考查了翻折的性質，對應邊相等，利用了勾股定理建立方程求解．2．（2022·浙江·溫州市第十二中學八年級期中）如圖1，我國漢代趙爽在注解《周牌算經(jīng)》時給出四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，人們稱它為“趙爽弦圖”如圖2，連結，，，，記陰影部分面積為，空白部分面積為，若，則________；如圖3，連結，相交于點，與相交于點．若，則________．【答案】

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##【分析】設直角三角形較短直角邊長為，較長的直角邊長為，斜邊長為，分別表示出，根據(jù)即可求解，根據(jù)，以及等腰三角形的性質，求得，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】設直角三角形較短直角邊長為，較長的直角邊長為，斜邊長為，，，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，．故答案為：，．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，設參數(shù)求解是解題的關鍵．3．（2022·江蘇八年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若圖中陰影部分的面積S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，則S4＝_____．【答案】2.5【分析】分別交、于點、點；設AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，由此構建關系式，通過計算即可得到答案．【詳解】如圖，分別交、于點、點∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，設AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，∵∴∵，，∴∴故答案為：2.5．【點睛】本題考查了等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形、勾股定理的性質，從而完