金榜預(yù)測(cè)卷02（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)金榜預(yù)測(cè)卷(北京卷)

2023年高考金榜預(yù)測(cè)卷（二）數(shù)學(xué)（北京卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合,則(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】,解得,,解得,,.故選:C.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【詳解】∵，則，∴.故選：A.3．“”是“函數(shù)具有奇偶性”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，則定義域?yàn)?，，故為奇函?shù)，充分性成立；若具有奇偶性，當(dāng)為偶函數(shù)，則，所以恒成立，可得；當(dāng)為奇函數(shù)，則，所以恒成立，可得或；所以必要性不成立；綜上，“”是“函數(shù)具有奇偶性”的充分而不必要條件.故選：A4．某中學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，有甲?乙?丙?丁四位同學(xué)參加100米短跑決賽，現(xiàn)將四位同學(xué)隨機(jī)地安排在這4個(gè)跑道上，每個(gè)跑道安排一名同學(xué)，則甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①若甲在道上，剩下3人任意安排在其他3個(gè)跑道上，有種排法，②若甲不在道上，甲的安排方法有2種，乙的安排方法也有2種，剩下2人任意安排在其他2個(gè)跑道上，有2種安排方法，此時(shí)有種安排方法，故共有種不同的安排方法，現(xiàn)將四位同學(xué)隨機(jī)地安排在這4個(gè)跑道上，共有.由古典概型的概率公式得所求的概率為.故選：B．5．若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有共同的對(duì)稱軸，且知在上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的對(duì)稱軸，即，函數(shù)的圖像對(duì)稱軸，時(shí)，對(duì)稱軸為，因?yàn)閷?duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，在上單調(diào)遞減，所以在的左側(cè)，此時(shí)的最大值為.故選：D6．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，與另一條漸近線交于點(diǎn)P，與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若Q為線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，平行的一條漸近線為，則直線，，即.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以.把代入得：，化簡(jiǎn)得，即，則.故選：C7．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【答案】D【詳解】因?yàn)樵黾恿藘蓚€(gè)新節(jié)目．將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，所以原來5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的2個(gè)節(jié)目插入到6個(gè)空中，共有種插法.故選：D.8．已知正方體的棱長(zhǎng)為是線段上的動(dòng)點(diǎn)且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)，平面，平面，故，，，故平面..故選：C9．在平面直角坐標(biāo)系中，是直線上的兩點(diǎn)，且.若對(duì)于任意點(diǎn)，存在使成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，滿足，則點(diǎn)P在圓上，又存在，使成立，則點(diǎn)P又在以為直徑的圓上，P是圓上任意一點(diǎn)，，是直線上的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿足圓上點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離小于等于5，原點(diǎn)到直線的距離為，則只需滿足，解得.故選：B.10．在數(shù)列中，，若存在常數(shù)c，對(duì)任意的，都有成立，則正數(shù)k的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，由于滿足上式，故當(dāng)時(shí)，有趨近于時(shí)，趨近于此時(shí)沒有最大值，故不滿足題意，舍去；所以，當(dāng)時(shí)，可證對(duì)任意的，都有，由題知，若存在常數(shù)c，對(duì)任意的，都有成立，則，以下進(jìn)行證明：存在常數(shù)，對(duì)任意的，都有成立.當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即則，則存在常數(shù)，對(duì)任意的，都有成立故正數(shù)k的最大值為.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題：本題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分．11．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【詳解】的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.12．點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為___________.【答案】1【詳解】由已知得，焦點(diǎn)為，故點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為，則根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可得，得到，焦點(diǎn)，故，得到，所以故答案為：113．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，若，且為的中點(diǎn)，則______.【答案】5【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，則，，所以.故答案為：5.14．在函數(shù)中，若a，b，c成等比數(shù)列且，則有最_________值（填“大”或“小”），且該值為___________．【答案】

大

-3【詳解】由已知得，，a，b，c成等比數(shù)列，，a<0，所以，有最大值，最大值為故答案為：大；-3.15．已知函數(shù).①若，則函數(shù)的零點(diǎn)有______個(gè)；②若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】

2

【詳解】空1：若，則函數(shù)，令，則有：當(dāng)時(shí)，，解得或或（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得（舍去）；故函數(shù)的零點(diǎn)為，共2個(gè).空2：對(duì)于函數(shù)，則，令，則∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，令，則，由題意可得：與有3個(gè)交點(diǎn)，如圖，在同一坐標(biāo)系作出與的圖象，則有：當(dāng)時(shí)，存在，使得與有3個(gè)交點(diǎn)，即成立；當(dāng)時(shí)，與至多有2個(gè)交點(diǎn)，即不成立；當(dāng)時(shí)，存在，使得與有3個(gè)交點(diǎn)，即成立；當(dāng)時(shí)，與至多有2個(gè)交點(diǎn)，即不成立；故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：2；.三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．在中，．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)；(2)3.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即有，又因?yàn)椋?；?）解：因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最小值為：3.17．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【詳解】（1）如圖（1），設(shè)中點(diǎn)為，連接，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)．，且，而又，,且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）選條件①：連結(jié),過作交于點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)也是中點(diǎn)，連結(jié)，，為的中點(diǎn)，則,又底面為正方形，,，,在中，,平面平面，平面平面，平面，如圖（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，,,平面，是平面的一個(gè)法向量，;設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令,則，；.故二面角的余弦值為．選擇條件②：取的中點(diǎn)為，連結(jié),又平面平面，平面平面，平面，過作交于點(diǎn)，連結(jié),又是中點(diǎn)，所以點(diǎn)也是中點(diǎn)，平面，平面,,設(shè)，則,，,，，，，故在中，,即，解得，即，如圖（3）以為原點(diǎn)，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，,,平面，是平面的一個(gè)法向量，;設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令,則，；.故二面角的余弦值為．18．某家電專賣店試銷三種新型電暖器，銷售情況如下表所示：第一周第二周第三周第四周A型數(shù)量（臺(tái)）10914B型數(shù)量（臺(tái)）13914C型數(shù)量（臺(tái)）71213(1)從前三周隨機(jī)選一周，求該周型電暖器銷售量最高的概率；(2)為跟蹤調(diào)查電暖器的使用情況，根據(jù)銷售記錄，從該家電專賣店第一周和第二周售出的電暖器中分別隨機(jī)抽取一臺(tái)，求抽取的兩臺(tái)電暖器中A型電暖器臺(tái)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)直接寫出一組的值，使得表中每行數(shù)據(jù)的方差相等.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)【詳解】（1）解：記事件M為“型電暖器銷售量最高”，三周中第二周型電暖器銷售量最高，則；（2）由題可知，在第一周抽取A型電暖器的概率為，第二周抽取A型電暖器的概率為，的可能取值為0，1，2，則，，，故的分布列為：X012P.（3）因?yàn)榉讲?，且表中每行方差相等，所以，，，其中，，，，觀察數(shù)據(jù)：第一組10，9，14，a；第二組13，9，14，b；第三組7，12，13，c，故可以將每組數(shù)據(jù)補(bǔ)成兩對(duì)相鄰數(shù)據(jù)，且和能被4整除，即，則，，，，符合題意，所以.19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，證明：.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，令，，則，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.20．已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B為橢圓E的右頂點(diǎn)．記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【詳解】（1）橢圓過點(diǎn)，離心率為，故，，，，橢圓方程為.（2），直線：，聯(lián)立方程，得到，方程的一個(gè)解為，故另外一個(gè)解為.當(dāng)時(shí)，，即，，，，，得證21．已知無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，其中表示這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．(1)若數(shù)列的前4項(xiàng)為1，2，2，4，寫出的值；(2)證明：對(duì)任意的，均有；(3)證明：存在正整數(shù)，當(dāng)