中考數(shù)學(xué)幾何專項沖刺專題27三角形的內(nèi)切圓（提優(yōu)）含答案及解析

專題27三角形的內(nèi)切圓（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，已知等邊△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為3，則AB的長為（）A．33 B．35 C．63 D．652．如圖，在△ABC中，∠C＝58°，點O為△ABC的內(nèi)心，則∠AOB的度數(shù)為（）A．119° B．120° C．121° D．122°3．如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．43 B．23 C．2 D．44．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°5．下列說法正確的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的內(nèi)心到三個頂點的距離相等 C．外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形 D．直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為125°6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則OD的長是（）A．5 B．2 C．3 D．37．如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是其內(nèi)心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，則AC的長為（）A．4 B．32 C．22 D．8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，若OI⊥AD，則sin∠CAD的值為（）A．12 B．22 C．529．將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°形成扇形COB，過C作CD⊥OB，垂足為D，⊙E是△COD的內(nèi)切圓，OB＝6，則OE的長為（）A．33 B．33?3 C．33+3 10．如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是（）A．13?1 B．13+1 C．3.2 11．如圖，△ABC內(nèi)切圓是⊙O，折疊矩形ABCD，使點D、O重合，F(xiàn)G是折痕，點F在AD上，G在ABC上，連接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半徑為1，則下列結(jié)論不成立的是（）A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23?3 C．BC+AB＝23+4 D．BC﹣12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則△BIC的外接圓半徑為（）A．7 B．73 C．722 二．填空題13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIA的度數(shù)是°．14．如圖，點O、I分別是銳角△ABC的外心、內(nèi)心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，則∠AOI﹣∠CIO＝°．15．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．16．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，若∠ACB＝70°，則∠DBI＝°．17．如圖，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，點D，E分別為邊AB，AC上的點，且DE為⊙I的切線，DE∥BC．若△ABC的周長為8，則DE的最大值為．18．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA＝．19．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點，正方形DEFG的一邊DG在直線AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點E在半圓弧上，已知DE＝9，則△ABC的面積為．20．如圖，⊙O是△ABC內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，則∠DFE度數(shù)是度．三．解答題21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，連接IE、IF．（1）四邊形IECF是什么特殊的四邊形？并說明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求半徑IE的長．22．如圖，△ABC內(nèi)接于以AB為直徑的⊙O中，且點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與BC交于點F，與⊙O交于點D，⊙O的切線PD交AB的延長線于點P．（1）試判斷△BDE的形狀，并給予證明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的長．23．如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度數(shù)；（2）求證：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的長．24．如圖，P為等腰△ABC內(nèi)一點，AB＝BC，∠BPC＝108°，D為AC中點，BD與PC相交于點E，已知P為△ABE的內(nèi)心．（1）求證：∠PEB＝60°；（2）求∠PAC的度數(shù)；25．已知I為Rt△ABC的內(nèi)心，∠A＝90°，BI，CI的延長線分別交AC，AB于點D，E，S△BIC＝12，求S四邊形EDCB．26．如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC內(nèi)心，AI交⊙O于D點，交BC于點E，連接BD，BI．（1）求證BD＝ID；（2）連接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的長．27．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，P為半圓上任意兩點，過點P作PE⊥OC于點E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為點M，連接OM，PM，CM，CP．（1）求∠OMP的度數(shù)；（2）試判斷△CMP的形狀．28．如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓⊙O相交于點D，過D作直線DG∥BC．（1）求證：DG是⊙O的切線；（2）若DE＝6，BC＝62，求陰影部分的面積．29．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線與△ABC的外接圓⊙O交于點D，與AC交于點E，延長CD、BA相交于點F，∠ADF的平分線交AF于點G．（1）求證：DG是⊙O的切線；（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的長．30．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O的直徑，點E為△ABC的內(nèi)心，連接AE并延長交⊙O于D點，連接BD并延長至F，使得BD＝DF，連接CF、BE．（1）求證：DB＝DE；（2）求證：直線CF為⊙O的切線；（3）若CF＝4，求圖中陰影部分的面積．專題27三角形的內(nèi)切圓（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，已知等邊△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為3，則AB的長為（）A．33 B．35 C．63 D．65【分析】過內(nèi)心向正三角形的一邊作垂線，連接頂點與內(nèi)切圓心，構(gòu)造直角三角形求解即可．【解答】解：過O點作OD⊥BC，則OD＝3；∵O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBD＝30°；Rt△OBD中，∠OBD＝30°，OD＝3，∴OB＝6，∴BD＝33，∴AB＝BC＝2BD＝63．故選：C．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是將正三角形的半徑、內(nèi)切圓半徑和正三角形邊長的一半構(gòu)成一個直角三角形，解這個直角三角形．2．如圖，在△ABC中，∠C＝58°，點O為△ABC的內(nèi)心，則∠AOB的度數(shù)為（）A．119° B．120° C．121° D．122°【分析】根據(jù)三角形的三個內(nèi)角的平分線相交的點為內(nèi)心，可知∠BAO=12∠CAB，∠ABO=12∠CBA，由∠C的度數(shù)和三角形內(nèi)角和為180°，可求出∠CAB+∠【解答】解：∵點O為△ABC的內(nèi)心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO=12∠CAB，∠ABO=1∴∠AOB＝180°?12（∠CAB+∠∵∠C＝58°，∴∠CAB+∠CBA＝122°，∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故選：A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)．根據(jù)是根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)，得出三角形兩內(nèi)角平分線的夾角與第三個角之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．則△DBC的面積是（）A．43 B．23 C．2 D．4【分析】過點B作BH⊥CD的延長線于點H．由點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，則∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：過點B作BH⊥CD的延長線于點H．∵點D為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=1∴∠BDC＝90°+12∠A＝90°則∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，BH＝23，∵CD＝2，∴△DBC的面積=12CD?BH=1故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)心的相關(guān)計算，熟練運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【分析】如圖，連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．【解答】解：如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF=12∠故選：B．【點評】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．5．下列說法正確的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的內(nèi)心到三個頂點的距離相等 C．外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形 D．直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為125°【分析】利用三角形內(nèi)心以及三角形外心的性質(zhì)判斷得出即可．【解答】解：A、三角形的外心不一定在三角形的外部，錯誤；B、三角形的內(nèi)心到三個邊的距離相等，錯誤；C、外心和內(nèi)心重合的三角形一定是等邊三角形，正確；D、直角三角形內(nèi)心到兩銳角頂點連線的夾角為135°，錯誤；故選：C．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)外心的區(qū)別，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則OD的長是（）A．5 B．2 C．3 D．3【分析】根據(jù)勾股定理可得AB＝10，再根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得正方形CGOF，根據(jù)切線長定理可求得內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)勾股定理即可求得OD的長．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，設(shè)⊙O與△ABC的三邊的切點為E、F、G，連接OE、OF、OG，得正方形CGOF設(shè)OF＝OE＝OG＝CG＝CF＝x，則AG＝AE＝6﹣x，BE＝BF＝8﹣x，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得x＝2，∴AE＝6﹣x＝4，∵點D是斜邊AB的中點，∴AD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理，得OD=O故選：A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、直角三角形斜邊上的中線，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．7．如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是其內(nèi)心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，則AC的長為（）A．4 B．32 C．22 D．【分析】延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，可得BD＝ID＝AI．易證BD=CD，則OD⊥BC，作IG⊥AB于G，又∠DBE＝∠IAG，則BD＝AI，所以Rt△BDE≌Rt△AIG，從而得出AB+AC＝2【解答】證明：如圖1，延長AI交⊙O于D，連接OA、OD、BD和BI，∵OA＝OD，OI⊥AD，∴AI＝ID，又∠DBI＝∠DBC+∠CBI＝∠DAC+∠CBI，=12（∠BAC+∠ABC）＝∠因此，BD＝ID＝AI，∵I是其內(nèi)心，∴AD是∠BAC的平分線，∴BD=∴OD⊥BC，記垂足為E，∴BE=12作IG⊥AB于G，∵∠DBE＝∠IAG，BD＝AI，∴△BDE≌△AIG（AAS），∴AG＝BE=12如圖2，過O作OM⊥AC，ON⊥BC，∵I是其內(nèi)心，∴AG＝AM，CM＝CN，BG＝BN，∴AG＝AC﹣CM＝AC﹣（BC﹣BN）＝AC﹣BC+BN＝AC﹣BC+（AB﹣AG），∴AG=12（AB+AC﹣∴AB+AC＝2BC，∵AB＝2，BC＝3，∴AC＝4，故選：A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，若OI⊥AD，則sin∠CAD的值為（）A．12 B．22 C．52【分析】延長AD交⊙O于R，連接BI，BR，易證△BRI為等腰直角三角形，OI為△ABR的中位線，設(shè)OI＝a，則BR＝2a＝IR＝AI，則OA=5a，則sin∠CAD＝sin∠OAI=【解答】解：如圖，延長AD交⊙O于R，連接BI，BR，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠CAR＝∠BAR，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAR＝∠CBR，∴∠RIB＝∠IAB+∠IBA＝∠CAR+∠CBI＝∠CBR+∠CBI＝∠RBI，∴RB＝BI，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BRA＝90°，∴△BRI為等腰直角三角形，∵O是AB中點，OI∥BR，∴I是AR的中點，∴OI為△ABR的中位線，設(shè)OI＝a，則BR＝2a＝IR＝AI，在Rt△AOI中，根據(jù)勾股定理，得OA=AI∴sin∠CAD＝sin∠OAI=OI所以sin∠CAD的值為55故選：D．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理、三角形的外接圓與外心、解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．9．將線段OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°形成扇形COB，過C作CD⊥OB，垂足為D，⊙E是△COD的內(nèi)切圓，OB＝6，則OE的長為（）A．33 B．33?3 C．33+3 【分析】解直角三角形得到OD=12OC＝3，CD=OC2?OD2=6【解答】解：∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，∵∠BOC＝60°，OC＝OB＝6，∴OD=12∴CD=OC2∵⊙E是△COD的內(nèi)切圓，點F是切點，∴∠EFO＝90°，∠EOF＝30°，EF=CD+OD?OC∴OE＝2EF＝33?故選：B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．10．如圖，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，點P為BC邊上的中點，點Q是△ACD的內(nèi)切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則PM的最大值是（）A．13?1 B．13+1 C．3.2 【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠D＝90°，CD＝AB＝8，由勾股定理得出AC=AD2+CD2=10，設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12×10r+12×8r+12×6r=12×8×6，解得r＝2，連接BQ，易證PM是△BCQ的中位線，得出PM=12BQ，當BQ經(jīng)過圓心O時，BQ最長，則此時PM最長，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，則BF＝AB﹣AF＝6，OF【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝8，∴AC=A設(shè)△AD的內(nèi)切圓O的半徑為r，則12×10r+12×8r解得：r＝2，連接BQ，∵P是BC邊上的中點，點M是CQ的中點，∴PM是△BCQ的中位線，∴PM=12當BQ經(jīng)過圓心O時，BQ最長，則此時PM最長，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，則BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=BF2∴BQ＝BO+OQ＝213+∴PM=12BQ故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、矩形的性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC內(nèi)切圓是⊙O，折疊矩形ABCD，使點D、O重合，F(xiàn)G是折痕，點F在AD上，G在ABC上，連接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半徑為1，則下列結(jié)論不成立的是（）A．CD+DF＝4 B．CD﹣DF＝23?3 C．BC+AB＝23+4 D．BC﹣【分析】設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OG＝DG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．求得BC﹣AB＝2．設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理得到a2+b2＝（a+b﹣2）2，求得BC+AB＝23+4．再設(shè)DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+3，OF＝x，ON＝1+3，根據(jù)勾股定理得到CD﹣DF=3，CD【解答】解：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，∴OG＝DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC＝90°，∵∠MOG+∠MGO＝90°，∴∠MOG＝∠DGC，在△OMG和△GCD中，∠OMG=∠DCG=90°∠MOG=∠DGC∴△OMG≌△GCD，∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．∵AB＝CD，∴BC﹣AB＝2．設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=12（a+b﹣∴c＝a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，解得a＝1+3或a＝1?∴BC+AB＝23+再設(shè)DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+3?1﹣x，OF＝x，ON＝1+3由勾股定理可得（2+3?x）2+（3）2＝x解得x＝4?3∴CD﹣DF=3+1﹣（4?3）＝23?3，CD+DF綜上只有選項A錯誤，故選：A．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為3，則△BIC的外接圓半徑為（）A．7 B．73 C．722 【分析】設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點D，在圓O上取點F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，根據(jù)三角形內(nèi)心定義可得S△ABC=12lr=12×20×3=12AB?CD，可得bc＝40，根據(jù)勾股定理可得BC＝a＝7，再根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，可得IB平分∠ABC【解答】解：如圖，設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點D，在圓O上取點F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD=12CD＝AC?sin60°=32∴BD＝AB﹣AD＝c?12∵△ABC周長為l＝20，△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=3∴S△ABC=12lr=12×20∴203=32b∴bc＝40，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，即a2＝（c?12b）2+（32b整理得：a2＝c2+b2﹣bc，∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，∵I是△ABC內(nèi)心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，∴BE＝CE=72，∠∴OB=BE故選：D．【點評】本題屬于圓的綜合，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．屬于中考選擇題的壓軸題，很有難度．二．填空題13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIA的度數(shù)是135°．【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠C＝90°，求出∠CAB+∠CBA＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓得出∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，求出∠IAB+∠IBA=【解答】解：∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=∴∠IAB+∠IBA=12（∠CAB+∠∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案為：135．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵．14．如圖，點O、I分別是銳角△ABC的外心、內(nèi)心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，則∠AOI﹣∠CIO＝30°．【分析】連接OC，如圖，先計算出∠OAC＝6°，再利用外心性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA＝∠OAC＝6°，則∠AOC＝168°，利用圓周角定理得到∠ABC＝84°，接著計算出∠ACB＝48°，從而得到BA＝BC，利用等腰三角形的性質(zhì)可判斷BO垂直平分AC，OB平分∠ABC，所以△ABC的內(nèi)心I在OB上，延長BO交AC于H，如圖，則BH⊥AC，然后分別計算出∠AOI和∠CIO，最后求它們的差即可．【解答】解：連接OC，如圖，∵8∠OAC＝48°，∴∠OAC＝6°，∵O點為△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝6°，∴∠AOC＝180°﹣6°﹣6°＝168°，∴∠ABC=12∠∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣84°＝48°，∴BA＝BC，∵BO垂直平分AC，OB平分∠ABC，∴△ABC的內(nèi)心I在OB上，延長BO交AC于H，如圖，則BH⊥AC，∴∠AOI＝∠AHO+∠OAH＝90°+6°＝96°，∴I為△ABC的內(nèi)心，∴CI平分∠ACB，∴∠BCI=12∠同理可得∠CBI=12∠∴∠CIO＝∠CBI+∠BCI＝42°+24°＝66°，∴∠AOI﹣∠CIO＝96°﹣66°＝30°．故答案為30．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了三角形的外心和圓周角定理．15．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分的面積為26﹣2π（結(jié)果保留π）．【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠A＝90°，證出四邊形AEOF是正方形，得OE＝OF=12（AB+AC﹣BC）＝2，正方形AEOF的面積＝22＝4，求出扇形EOF的面積＝π，得扇形OEDF的面積＝3π，求出△【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OD⊥BC，OE＝OF＝OD，∴四邊形AEOF是正方形，∴∠EOF＝90°，OE＝OF=12（AB+AC﹣BC）=12（5+12﹣13）＝2，正方形∴扇形EOF的面積=14×π×22∴扇形OEDF的面積＝π×22﹣π＝3π，∵△ABC的面積=12AB×AC∴陰影部分的面積＝30﹣（4﹣π）﹣3π＝26﹣2π；故答案為：26﹣2π．【點評】本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、正方形的判定與性質(zhì)、扇形面積公式等知識；熟練掌握勾股定理的逆定理，熟記直角三角形內(nèi)切圓半徑=116．如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，若∠ACB＝70°，則∠DBI＝55°．【分析】由三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性質(zhì)和圓周角的性質(zhì)可得∠BID＝∠DBI，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【解答】解：∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝70°，∴∠BID＝∠DBI=180°?70°故答案為：55．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與圓心，圓周角的定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明∠BID＝∠DBI是本題的關(guān)鍵．17．如圖，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，點D，E分別為邊AB，AC上的點，且DE為⊙I的切線，DE∥BC．若△ABC的周長為8，則DE的最大值為1．【分析】根據(jù)DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，因為相似三角形周長的比等于相似比，可列出等式，設(shè)BC＝x，再根據(jù)切線長定理可得，點A到⊙I的兩切線之和為：8﹣2x，進而整理可得關(guān)于DE的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出DE的最大值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，因為相似三角形周長的比等于相似比，即DEBC設(shè)BC＝x，根據(jù)切線長定理可知：點A到⊙I的兩切線之和為：8﹣2x，所以DE=2(4?x)所以DE=14x(4?x)=?14所以當x＝2時，DE的最大值為1．故答案為：1．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)．18．如圖，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA＝2．【分析】設(shè)圓O與AC切于點F，與BC切于點H，與AB切于點E，連接OF、OH、OE，先由等面積法算出內(nèi)切圓半徑，再求出DE即可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)圓O與AC切于點F，與BC切于點H，與AB切于點E．連接OF、OH、OE，則OF⊥AC，OH⊥BC，OE⊥AB，OF＝OH＝OE，∵∠C＝90°，∴四邊形CHOF為正方形，其邊長設(shè)為r，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB中點，∴AD＝5，∵S△ACB=12BC?AC=12（AB+BC+∴r=48∴AE＝AF＝AC﹣CF＝4，∴DE＝AD﹣AE＝1，∴tan∠ODA=OE故答案為：2．【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理，三角形面積公式、解直角三角形等知識點．求出內(nèi)切圓半徑是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點，正方形DEFG的一邊DG在直線AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點E在半圓弧上，已知DE＝9，則△ABC的面積為81．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD＝AM，CM＝CN＝r，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，于是得到AD?DB=12AC?BC，由射影定理得AD?DB＝DE【解答】解：設(shè)⊙I切AC與M，切BC于N，半徑為r，則AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r=12（AC+BC﹣∵AB為半圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，∴AD?DB＝AM?BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC?12（AC+BC﹣AB）][BC?12（AC+=14（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=14（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC?BC）=由射影定理得AD?DB＝DE2＝81，∴S△ABC=12AC?故答案為：81．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，射影定理，三角形的面積的計算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．20．如圖，⊙O是△ABC內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，則∠DFE度數(shù)是60度．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠B＝60°．根據(jù)切線的性質(zhì)定理和四邊形的內(nèi)角和定理求得∠DOE＝120°，再根據(jù)圓周角定理求得∠DFE＝60°．【解答】解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°，∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠DFE＝60°．【點評】此題綜合運用了切線的性質(zhì)定理、三角形的內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理．三．解答題21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，連接IE、IF．（1）四邊形IECF是什么特殊的四邊形？并說明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求半徑IE的長．【分析】（1）根據(jù)⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓，證明四邊形IECF是矩形，由IE＝IF，可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理可得AB的長，設(shè)半徑IE的長為x，根據(jù)切線長定理列出方程即可求得半徑的長．【解答】解：（1）四邊形IECF是正方形，理由如下：∵⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓，即AC、BC都是⊙I的切線，∴∠IEC＝∠IFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形IECF是矩形，∵IE＝IF，∴四邊形IECF是正方形；（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=A由切線長定理可知：AE＝AD，BD＝BF，CE＝CF，設(shè)半徑IE的長為x，則CE＝CF＝x，∴AE＝AD＝8﹣x，BD＝BF＝6﹣x，∴（8﹣x）+（6﹣x）＝10，解得x＝2，∴IE的長為2．【點評】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心．22．如圖，△ABC內(nèi)接于以AB為直徑的⊙O中，且點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線與BC交于點F，與⊙O交于點D，⊙O的切線PD交AB的延長線于點P．（1）試判斷△BDE的形狀，并給予證明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的長．【分析】（1）如圖，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1＝∠2，∠3＝∠6，則利用圓周角定理得到∠4＝∠6，則可證明∠5＝∠DBE，從而得到DB＝DE，接著利用AB為直徑得到∠ADB＝90°，從而可判斷△BDE為等腰直角三角形；（2）連接OD，如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BD＝DE=2，再利用切線的性質(zhì)得到∠ODP＝90°，則可計算出∠POD＝60°，所以∠PAD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出AD，從而得到AE【解答】解：（1）△BDE為等腰直角三角形，證明如下：如圖，∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，∵∠1＝∠2，∠3＝∠6，而∠4＝∠6，∴∠2+∠3＝∠1+∠4，而∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠4，即∠5＝∠DBE，∴DB＝DE，∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形；（2）連接OD，如圖，∵△BDE為等腰直角三角形，∴BD＝DE=22BE=2∵⊙O的切線PD交AB的延長線于點P，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，∵∠APD＝30°，∴∠POD＝90°﹣∠OPD＝60°，∴∠PAD=12∠在Rt△ABD中，AD=3BD=∴AE＝AD﹣DE=6【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．也考查了圓周角定理和切線的性質(zhì)．23．如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度數(shù)；（2）求證：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的長．【分析】（1）根據(jù)∠ABC＝40°，∠C＝80°，利用三角形內(nèi)心定義和同弧所對圓周角相等即可求∠CBD的度數(shù)；（2）理解BE，根據(jù)三角形內(nèi)心定義和同弧所對圓周角相等∠DEB＝∠DBE，從而依據(jù)等角對等邊即可證明DB＝DE；（3）利用已知AB＝6，AC＝4，和角平分線性質(zhì)可得ABAC=BFFC=32，由BC＝5，可得BF和FC的值，再證明△BDF∽△ACF和△DBF【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵點E是△ABC的內(nèi)心，∴∠CAD＝∠BAD=12∴∠CBD＝∠CAD＝30°．答：∠CBD的度數(shù)為30°；（2）證明：如圖，連接BE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2＝∠6，∴∠1＝∠6，∵∠5＝∠1+∠3，∠DBE＝∠6+∠4＝∠1+∠3，∴∠5＝∠DBE，∴DB＝DE；（3）∵∠1＝∠2，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴ABAC∴BF＝3，CF＝2，∵∠6＝∠2，∠D＝∠C，∴△BDF∽△ACF，∴BDDF=AC∴DF=12DF?AF＝BF?CF＝6，∵∠1＝∠2＝∠6，∠BDF＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴BDDA∴BD2＝DF?DA＝DF（AF+DF）＝DF?AF+DF2＝6+（12BD）2解得BD＝22，∴DE＝BD＝22．答：DE的長為22．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)心定義、同弧所對圓周角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確理解三角形的內(nèi)心定義．24．如圖，P為等腰△ABC內(nèi)一點，AB＝BC，∠BPC＝108°，D為AC中點，BD與PC相交于點E，已知P為△ABE的內(nèi)心．（1）求證：∠PEB＝60°；（2）求∠PAC的度數(shù)；【分析】（1）因點P為△ABE內(nèi)心，所以PB、PE、PA分別是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分線，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）由（1）△ABE≌△CBE可得∠BEC＝∠BEA，進而可求出∠PAC的度數(shù)．【解答】解：（1）因點P為△ABE內(nèi)心，所以PB、PE、PA分別是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分線，即：∠PBE+∠PEB+∠PAE＝90°，又∠BPC＝108°，所以∠PBE+∠PEB＝72°，所以∠PAE＝18°，∠BAE＝36°，因為AB＝BC，且D是AC中點，所以∠ABE＝∠CBE，又BE＝BE，AB＝CB，所以△ABE≌△CBE，即∠BCE＝36°，又∠BPC＝108°，所以∠CBP＝36°，又∠CBE＝∠ABE＝2∠PBE，所以∠CBE＝24°，所以∠PEB＝∠BCE+∠CBE＝60°，（2）由（1）△ABE≌△CBE，所以∠BEC＝∠BEA，易知∠CED＝∠AED＝∠PEB＝60°，所以∠EAD＝30°，所以∠PAC＝30°+18°＝48°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．25．已知I為Rt△ABC的內(nèi)心，∠A＝90°，BI，CI的延長線分別交AC，AB于點D，E，S△BIC＝12，求S四邊形EDCB．【分析】將△EBI，△DCI分別沿BD，CE翻折，點E、D落在BC邊上的E1、D1處根據(jù)翻折的性質(zhì)及內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，∠EID＝135°，∠D1IE1＝45°，EI＝IE1，DI＝ID1，進而可以證明S△EID=S△E1ID1【解答】解：將△EBI，△DCI分別沿BD，CE翻折，點E、D落在BC邊上的E1、D1處，∵I為Rt△ABC的內(nèi)心，∴∠EIB＝∠IBC+∠ICB=12（∠ABC+∠∴∠E1IB＝∠EIB＝45°，∴∠EID＝135°，同理：∠DIC＝∠D1IC＝45°，∴∠D1IE1＝45°，∵EI＝IE1，DI＝ID1，作DH⊥EC，D1H′⊥E1I于點H、H′，∴DH＝DI?sin45°，D1H′＝D1I?sin45°，∴S△EID=12×EI?DH=1S△E1ID1=12×E1I?D1H′∴S△EID∵S△BEI＝S△BE1I，S△CDI＝∴S四邊形EDCB＝2S△BIC＝24．答：S四邊形EDCB為24．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明三角形DEI和三角形IE1D1的面積相等．26．如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是△ABC內(nèi)心，AI交⊙O于D點，交BC于點E，連接BD，BI．（1）求證BD＝ID；（2）連接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的長．【分析】（1）根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，可得∠BAD＝∠CAD，進而得∠DBI＝∠DIB，從而證明BD＝ID；（2）先根據(jù)垂徑定理證明AI＝DI，再證明△AGI≌△BHD，可得AG＝BH＝3．根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，即可得AC的長．【解答】解：（1）證明：∵I是△ABC內(nèi)心，∴∠BAD＝∠CAD，∴CD=∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）連接OD，∵CD=根據(jù)垂徑定理，得OD⊥BC于點H，CH＝BH=12∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于點G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．過點I作IM⊥BC，IN⊥AC于點M、N，∵I是△ABC內(nèi)心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的長為8．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、垂徑定理、三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是區(qū)分三角形的內(nèi)心和外心．27．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，P為半圓上任意兩點，過點P作PE⊥OC于點E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為點M，連接OM，PM，CM，CP．（1）求∠OMP的度數(shù)；（2）試判斷△CMP的形狀．【分析】（1）根據(jù)點M是△OPE的內(nèi)心，可得OM和PM平分∠EOP和∠EPO，進而可以求∠OMP的度數(shù)；（2）根據(jù)已知條件可以證明△COM≌△POM，可得CM＝PM，∠CMO＝∠PMO＝135°，再求出∠CMP＝90°，進而可以判斷△OMP的形狀．【解答】解：（1）∵PE⊥OC，∴∠PEO＝90°，∵點M是△OPE的內(nèi)心，∴OM和PM平分∠EOP和∠EPO，∴∠MOP+∠MPO=12（∠EOP+∠∴∠OMP＝135°；（2）∵OM平分∠EOP，∴∠COM＝∠POM，在△COM和△POM中，CO=PO∠COM=∠POM∴△COM≌△POM（SAS），∴CM＝PM，∠CMO＝∠PMO＝135°，∴∠CMP＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴△CMP是等腰直角三角形．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是