專(zhuān)題7-1 均值不等式及其應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專(zhuān)題7-1均值不等式及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】基礎(chǔ)型：公式“取等”條件 2【題型二】基礎(chǔ)型：型 3【題型三】湊配“對(duì)鉤”型 4【題型四】常數(shù)代換型 5【題型五】分式型湊配 5【題型六】“積、和”化“1”型 6【題型七】“和、積”解不等式型 7【題型八】消元型 7【題型九】分子代換分離型 8【題型十】均值用兩次 8【題型十一】齊次同除型 9【題型十二】多元均值 10【題型十三】代數(shù)式換元 11【題型十四】三角函數(shù)式換元 11【題型十五】“萬(wàn)能K”法 12【題型十六】因式分解型 12【題型十七】權(quán)方和不等式應(yīng)用 13【題型十八】復(fù)雜的求“和”型 14【題型十九】公式擴(kuò)展：不等式鏈 14真題再現(xiàn) 15模擬檢測(cè) 16綜述：均值不等式1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）;若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）【題型一】基礎(chǔ)型：公式“取等”條件【典例分析】（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方【變式演練】1.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知，用基本不等式求的最小值時(shí)，有，則取得最小值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．32.（2021·新疆·烏魯木齊市第四中學(xué)高三模擬）已知正數(shù)，滿足，則取得最小值時(shí)，的值為（

）A．2，2 B．2，4 C．4，4 D．4，23.（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）在均值不等式中，令，，則得到的對(duì)應(yīng)結(jié)論為（

）A．如果，都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立B．如果，都是正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立C．如果，都不為零，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立D．如果，都不為零，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立【題型二】基礎(chǔ)型：型【典例分析】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【提分秘籍】基本規(guī)律形如，要分類(lèi)討論正負(fù)1.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）【變式演練】1.（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）若，，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．23.（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）代數(shù)式的最小值是（

）．A．4 B．2 C．k D．不能確定【題型三】湊配“對(duì)鉤”型【典例分析】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【提分秘籍】基本規(guī)律湊配“對(duì)鉤”型：添常數(shù)湊配.【變式演練】1.（2022·甘肅·蘭州市第二中學(xué)高三期末）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2021·云南省楚雄天人中學(xué)高三階段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，（

）A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值3.（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）代數(shù)式的最小值是（

）．A．4 B．2 C．k D．不能確定【題型四】常數(shù)代換型【典例分析】（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2【提分秘籍】基本規(guī)律條件和所求式子中有與a+b，可以借助m=來(lái)來(lái)構(gòu)造替換，進(jìn)而展開(kāi)用均值不等式【變式演練】1.（2021·江蘇高三單元測(cè)試）已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值不可能為（

）A． B． C． D．22.（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．43.（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．6【題型五】分式型湊配【典例分析】（2021·河南開(kāi)封高三模擬）若正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律形如a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代換來(lái)求解。其中可以任意調(diào)換a、b系數(shù)，來(lái)進(jìn)行變換湊配?！咀兪窖菥殹?.（2022·甘肅·張掖市第二中學(xué)高三期末）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C．8 D．32.（2021·江蘇淮安高三模擬）當(dāng)0<x<1時(shí)，最小值為（

）A．0 B．9 C．10 D．183.（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【題型六】“積、和”化“1”型【典例分析】（2022·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律有和有機(jī)無(wú)常數(shù)型等式，可以同除積，再進(jìn)行“1”的代換【變式演練】1.（2022·湖北宜昌高三模擬）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．2.（2021·黑龍江·鐵人中學(xué)高三模擬）已知，則和的最小值分別是（

）A．16，32 B．16，64 C．18，32 D．18，643.（2021·湖南岳陽(yáng)高三模擬）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【題型七】“和、積”解不等式型【典例分析】（2022·河南三門(mén)峽高三期末）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【變式演練】1.（2021·江蘇高三專(zhuān)題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是（）A．12 B． C．8 D．3.已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（多選題）A．的最大值為2B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為【題型八】消元型【典例分析】（2021·全國(guó)高三單元測(cè)試）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律如果不容易直接觀察出均值，可以反解代入消元，在構(gòu)造“單變量”均值形式求解【變式演練】1.（2021·重慶八中高三模擬）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．2.（2022·山東臨沂高三期末）已知，且，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值3.（2021·廣東·廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足x2+2xy-3=0，則2x+y的最小值是（

）A．1 B．3C．6 D．12【題型九】分子代換分離型【典例分析】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【變式演練】1.已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值是___________.2.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（）A． B． C．1 D．3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則的最小值是_____．【題型十】均值用兩次【典例分析】設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____．【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下均值用兩次，要保證相同字母“取等”條件和數(shù)值一致。【變式演練】1.設(shè)，，則當(dāng)___________時(shí)，的最小值為_(kāi)__________.2.若，則的最小值為_(kāi)___________．3.是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．【題型十一】齊次同除型【典例分析】若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．2天津市南開(kāi)區(qū)2019屆高三上學(xué)期末數(shù)學(xué)試卷（文)【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，滿足（1）分式；（2）分子分母齊次。則可以同除構(gòu)造單變量來(lái)求最值。【變式演練】1.已知，，則的最小值為_(kāi)___．2.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.3.已知，，則的最大值是．【題型十二】多元均值【典例分析】己知，，，且，則的最小值為．【變式演練】1.已知正數(shù)滿足，則的最小值是()A． B． C． D．2..設(shè)是三個(gè)正實(shí)數(shù)，且，則的最大值為_(kāi)______．3.（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．13 B．6 C．8 D．62.【題型十三】代數(shù)式換元【典例分析】（2019·天津高考模擬（文））已知，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________【變式演練】1.（黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬）設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)_2.若實(shí)數(shù)x,y滿足,則的取值范圍是．3.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，不等式恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【題型十四】三角函數(shù)式換元【典例分析】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2+2x2y=0，則|x|+|y|的最大值為A.2 B.4 C. D.【變式演練】1.已知x2?23xy+5y2.（2021嘉興期末）已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則的取值范圍是___3.設(shè)a，b∈R，a2+2b2=6,則a+b的最小值是().A.B.C. D.【題型十五】“萬(wàn)能K”法【典例分析】（2021·湖南·邵陽(yáng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下的“萬(wàn)能K法”設(shè)K法的三個(gè)步驟：⑴、問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值?！咀兪窖菥殹?.已知正數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________．2.已知，若，則的最小值是（）A. B. C. D.3.已知x+y=1x+4yA．53B．9C．4+26【題型十六】因式分解型【典例分析】若實(shí)數(shù)、、，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【提分秘籍】基本規(guī)律1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開(kāi)就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見(jiàn)的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【變式演練】1.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知，且，則的最小值是___．3.已知，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【題型十七】權(quán)方和不等式應(yīng)用【典例分析】（2019·赤峰二中高三月考（理））若正數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本規(guī)律：二元結(jié)構(gòu)形式：取，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.三元結(jié)構(gòu)形式：取，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【變式演練】1.已知正數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)_________．2.已知實(shí)數(shù)m,n∈(0,+∞)且m+n=1，則43m+n3.【2019屆徐州市12月月考12】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．【題型十八】復(fù)雜的求“和”型【典例分析】【變式演練】1.（2019·浙江高三期末）已知，，且，則的最小值為A． B． C．5 D．92.已知，且滿足，則的最小值為【題型十九】公式擴(kuò)展：不等式鏈【典例分析】（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）若不等式對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，則實(shí)數(shù)x的最大值為A． B．3 C． D．1【提分秘籍】基本規(guī)律均不等式鏈：【變式演練】1.（2020·重慶十八中高三階段練習(xí)）已知，且，則最大值與最小值的和為（

）A．16 B．15 C．14 D．132.（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）的最大值為（

）A． B．13 C． D．3.（2020·浙江高三期末）若，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．1,（2021·全國(guó)·高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．2．（2020·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．（·重慶·高考真題（文））f(x)=x+（x＞2），在x=a處取最小值，則a=A．1+ B．1+ C．3 D．44．（山東·高考真題（文））設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為A． B． C． D．5．（2022·全國(guó)·高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．6．（2020·海南·高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．7．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為_(kāi)___________．8．（2020·天津·高考真題）已知，且，則的最小值為_(kāi)________．9．（2020·江蘇·高考真題）已知，則的最小值是_______．10．（2019·天津·高考真題（文））設(shè)，，，則的最小值為_(kāi)_________.11．（2019·天津·高考真題（理））設(shè)，則的最小值為_(kāi)_____.12．（·浙江·高考真題（理））設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是___________．13．（·浙江·高考真題（文））_____14．（·江蘇·高考真題）的最小值為_(kāi)______________．1.（2021·江蘇高三專(zhuān)題練習(xí)）不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y2.（2021·安徽省六安中學(xué)高三模擬）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是①已知，由，求得的最小值為2②由，求得的最小值為2③已知，由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，把代入得的最小值為4.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3.（2019·江西師大附中高三模擬）的最小值是()A． B． C． D．4.（2021·江蘇高三單元測(cè)試）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．5.（2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)